Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

Однако на самом деле здесь не два неизвестных, нбо общие масштабы движения нельзя найти нз этих уравнений. Они могут дать нам только отношение А и В, »грачев» оба уравнения доллени дать одинаковую величину. Тре бование согласованности уравнений друг с другом накладывает требование на частоту: опа должна быть какой-то очень специальной. 11о найти частоту в этом частном случае довольно легко. Если перемножить оба уравнения, то мы получим ( з г» ' (Ь'~з лгу ( зг» (49.1») (49.18) Более того, если подставить эти значения частот снова в уравнения (49.16), то для первой частоты мы получим А =-В, т.

е. пружина вообще не будет растягиваться и оба маятника колеблются с частотой ыз, как если бы пружины вообще не было. В другом решении, когда А=- — В, пружина увеличивает восстанавливающую силу н частота возрастает, Более интересен случай, когда маятники имеют различные длины. Анализ этого случая, который очень пахов» на то, что мы недавно проделали, рекомендуем в качестве упражнения провести самим читателям. тэ заказ ш ззвь змк, шг В обеих сторонах можно сократить произведение АВ, за исключением тех случаев, когда либо А, либо В равно нулю, что означает отсутствие движения вообще.

Но если движение есть, то должны быть равны мегкду собой и другие сомножители, что приводит к квадратному уравнению. В результате получаются две возможныо частоты: ф Ю. Лтх»»ейн»ме сио»мелы Давайте теперь подытожим рассмотренные выше идеи, которые все являются аспектами, по-видимому, наиболее общего и удивительного принципа математической физики. Нели у нас есть линейная система, характеристики которой не зависят от времени, то движение ее, вообще говоря, не обязано быть каким-то особенно простым. На самом деле оно может быть чрезвычайно сложным, однако существуют такие особые движения (обычно их целый ряд), при которых форма колебания синусоидально зависит от времени.

Дчя колеблющихся систем, о которых сейчас шла речь, мы обычно получали мнимую экспоненту, но вместо того, чтобы сказать «экспоненциально», я предпочел сказать «сннусокдально», Однако если стремиться к большей общности, то нужно говорить о каких-то особых двив ениях, очень специальной формы, изменяющихся экспоненцнально со временем. Наиболее общее движение систем всегда можно представить в виде суперпозицни движений, включающих каждую пз различных экспонент. Есть смысл подчеркнуть еще раз специально для случая синусондального движения: линейная система пе обязательно должна двигаться чисто сннусоидально, т. е. с одной определенной частотой, но как бы она ни двигалась, это движение моя»но представить в виде суперпозицин чисто синусоидальных колебании.

Частота каждого из этих колебаний, как и форма волны, зависит от свойств системы. Общее движение любой такой системы характеризуется заданием амплитуды и фазы каждой нз гарлюник прн нх сложении, Можно сказать это и по-другому: колебание любой линейпоп системы эквивалентно набору гармонических независимых осцилляторов, частоты которых соответствуют частотам собственных гармоник данной системы. Эту главу мы закончим замечанием о связи гармоник с квантовой механикой.

Колеблющимися объектами и величинами, которые изменяются со временем в квантовой механике, являются амплитуды вероятности, которые определяют вероятности обнаружения электрона или системы электронов в данном месте. Эта амплитуда может изменяться в пространство и времени и удовлетворяет линейному уравнению. Но при переходе к квантовой механике происходит переименование.

То, что мы называли частотой амплитуды вероятности, переходит в энергию в ее классическом смысле. Поэтому установленный выше принцип можно перевестн на язык квантовой механики, заменив слово частота словом энерзия. Получится примерно так'. квантовомеханическая система, например атом, не обязательно обладает определенной зяергией, точно так же, как простая механическая система не обязательно имеет опре- 198 деленную частоту, но каково бы ни было поведение системы, его всегда можно представить в виде суперпозиции состояний с определенной знергией.

Энергия каждого состояния, как и форма амплитуды, которая дает вероятность нахождения частицы в различных местах, определяется свойствами атома. Общее движение может быть описано заданием амплитуд каждого из различных знергетнческих состояний. Именно здесь кроется причина возникновения знергетическнх уровней в квантовой механике. Поскольку квантовая механика все описывает в виде волн, то прн некоторых обстоятельствах, когда электрон не обладает достаточной энергией, чтобы бесповоротно оторваться от протона, он представляет собой просто волну в ограниченном пропираналае. Поэтому, так же как и для ограниченной струны, прирешеннн волнового уравнения в квантовой механике в подобном случае возникают определенные дискретные частоты.

В квантовомеханической интерпретации зто будут определенные знергии. Следовательно, квантовомеханнческая система, вследствие того что она описывается с помощью волн, может иметь определенные состояния с фиксированной энергией; примером могут служить дискретные энергетические уровни атомов. т~ь «'.лава 50 ГАРМОНИКИ ф 1. Муза«киль«аз«в звуки Говорят, что Пифагор первый обнаружил тот интересный факт, что одновременное звучание двух одинаковых струн различной длины приятнее для слуха, если длины этих струн относятся друг к другу как неболыппе целые числа. Если длины струн относятся как 1: 2, то это — музыкальная октава; если они относятся как 2: 3, то это соответствует интервалу между нотами до и соль и называется квинтой.

Эти интервалы считаются «приятноз звучащими аккордами. Па Пифагора произвело такое впечатление это открытие, что на его основе он создал школу «пнфагорийцев», как их называли, которые мистически верили в великую силу чисел. Они полагали, что немо подобное будет открыто и в отношении планет, или «сферы Иногда «южно услышать такое выражение: «музыка сфер». Смысл его в том, что в природе предполагалось существование числовой связи мев<ду орбитами планет или мея.ду другими вещами. Это считается чеи-то вроде суеверия древних греков. Но далеко ли от этого ушел наш сегодняшний научный интерес к количественным соотношениях«? Открытие Пифагора, помимо геометрии, было первым примером установления числовых связей в природе.

Поистине доъкно быть было удивительно вдруг неожиданно обнаружить, что в природе есть такие факты, которые описываются простыми числовыми соотношениями. Обычное измерение длин позволяет предсказать то, что, казалось бы, не имеет никакого отношения к геометрии, — создание «приятныхэ звуков, Это открытие привело к мысли, что арифметика и математический анализ, по- й 1. Музыкальные звуки к 2. Ряд Фурье 3. Кач~ство и гармония к 4.

Коэффициент« Фурье 5. 'Георсма об энергии й 6. Нелинейная реакция Вг н г. 50.г. даеленне как функцня ере,ненн. о — длл ньнльа; д — длл нгн гнкальнага а~ко. видимому, могут служить хорошим орудием в понимании природы. Результаты современной науки полностью подтверждают такую точку зрения. Пифагор смог сделать свое открытие лишь с помощью экспериментальных наблюдений.

Однако все значение этого открытия, по-видимому, не было ему ясно. Л случись это, и развитие физики началось бы гораздо раныпе. (Впрочем, всегда легко рассуждать о том, что сделал кто-то когда-то и что на его месте следовало бы сделать!) Можно отметить еще одну, третью сторону этого интересного открытия: оно касается двух нот, которые звучат ирилигио для слуха. Но далеко ли ушли мм от Пифагора в понимании того, идчвму только некоторые звуки приятны для слухае Общая теория эстетики, по-видимому, ненамного продвинулась со времен Пифагора. Итак, одно это открытие греков имеет три аспекта: эксперимент, математические соотношения и эстетику. Физики пока добились успеха только в первых двух. В этой главе мы расскажем о современном понимании открытия Пифагора. Среди звуков, которые мы слышим, есть такой сорт, который называется шумом.

Ему соответствуют какие-то нерегулярные колебания барабанной перепонки уха, вызванные нерегулярными колебаниями находящихся поблизости объектов. Если начертить диаграмму зависимости давления воздуха на барабанную перепонку (а следовательно, и перемещения ее) от времени, то график, соответствующий шуму, будет выглядеть так, как это изображено на фиг.

Характеристики

Список файлов книги