Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 41
Текст из файла (страница 41)
А как теперь сделать узел на оси х, т. е. при у=О? Используя ту же идею, что и для одномерной струны, можно добавить волну, описываемую комплексной функцией — ехр (ссог) ехр ( — с(й„х) — с(?суд)). 19г Суперпозиция этих волн в результате дает нулевое перемещение при К=О независимо от того, каковы будут значения х и ~.
(Хотя эти функции будут определены и для отрицательных значений у там, где никакого барабана нет и колебаться нечему, но на это можно не обращать никакого внимания. Ведь нам хотелось устранить перемещение при у=-О, и мы добились этого.) Вторую функцию в этом случае можно рассматривать как отраженную волну. Однако нам нужно получить узел не только на линии у=О, ко я на линии у=Ь. Как же это сделать? Решение такой задачи связано с некоторыми вещами, которыми мы занимались при изучении отражения света от кристалла. Волны, гасящие друг друга при у=О, могут сделать то же самое и при у=Ь, только когда 2Ь з)в О равно целому числу длин волн ) (Π— угол, показанный на фиг.
49.4): т)с = 2Ь з1в О, (49.7) Точно таким ясе образом, т. е. слоксением еще двух функций [ — ехр(си1Е))ехр(г(сскх)+с(ссиу)) и (+ ехр(ссог))ехр(с(йкт) — с(йиу)), каждая из которых представляет отражение другой от линии х=О, можно устроить узел и на оси у. Условие того, что линия к=а будет тоже узловой, получается так же, как и условие при у=Ь, т. е. 2асозО должно быть равно целому числу длин волн: я й = 2а соз О.
(49.8) Тогда окончательный результат таков: волны, «заключенные» в ящике, имеют вид стоячей волны, т. е. образуют какие-то определенные собственные гармоники. Таким образом, если мы хотим иметь дело с собственными гармониками, то должны удовлетворить двум папксанным выше условиям. Для начала давайте найдем длину волны. Исключив из уравнений (49.7) и (49.8) угол О, можно выразить длину волны через а, Ь, п и т. Легче всего это сделать так: сначала разделить обе части уравнений соответственно на Ф и г. бр.б.
Колебание прямоугольной пластинки. $92 2Ь и 2а, а затем возвести их в квадрат и сложить. В результато мы получим уравнение яп'0 ф сов'0=1=. ( — ) +( —,) которое легко разрешить относительно к: 4 ка ща Ха 4аа+ 4за (49.9) Итак, мы определили длину волны через два целых числа, а по длине волны мы немедленно получаем частоту <о, ибо, как известно, частота равна 2яс, деленной на длину волны, Этот результат настолько важен и интересен, что необходимо теперь получить его строго математически без использования аналогий с отражением. Давайте представим колебание в виде суперпозиции четырех волн, подобранных таким образом, чтобы все четыре линии х=О, х=а, у=-О и у=-Ь были узловыми.
Потребуем еще, чтобы все зтн волны имели одинаковую частоту, т. е. чтобы результирующее движение представляло собственное колебание. Из главы об отражении света мы уаке знаем, что функция ехр(йет)ехр( — а(й„х)+айку)) описывает волну, идущую в направлении, указанном на фиг. 49.4. По-прежнему остается справедливым уравнение (49.6), т.
е, й=ю/с, с той разницей, что теперь (49 10) Хотя выглядит зто довольно неприглядно, сумма таких экспо- нент, в сущности, не так уж громоздка. Их можно свернуть в синусы, так что перемещение, как оказывается, приобретает вид (49.116) гр =- ( — 4 я в й„х я и йку) (е'"'). Другими словами, получились знакомые синусоидальные колебания, форма которых тоже синусоидальна как в направлении оси х, так и в направлении оси у. Граничные условия при и=О и у=О удовлетворяются автоматически. Однако мы хотим, кроме того, чтобы ~р обращалось в нуль при и=а и р= — Ь. Для этого мы должны наложить два дополнительных условия, а именно й„а ий„Ь должны быль равны целому числу я (эти целые числа могут быть разными дчя йка и йвЬ!). Но поскольку, как мы видели, й„=-й соз О и йа — — й япО, то отсюда немедленно 7 заказ гв заза, вык, !ч Из рисунка ясно, что й„=йсозО, а й, =-й з(п О. Таким образом, наше выражение для перемещения прямоугольной перепонки барабана (назовем это перемещение ~р) запишется в виде ф еим(е-а(а,а-а,ю е'м, ~ага) — е '<л акааи> река "-ааю).
(49.11а) (!!а) ! па+ т ! (49.12) В табл. 49.1 перечислено несколько простых гармоник и ка- чественно показана их форма. Таблица бвм ° ПРОСТЫВ ГАРМОНИКИ и ИХ ФОРМА Форма собошвеяяоы зармояок (а'Расо) а!!!'оо 1 1 + 1 2,00 1,4! 1 1 1 1 + 1 — 1 + 1 1 1 ! Д25 !,80 2 1 4,25 2,06 2 2 Д00 224 Следует отметить наиболее вая1ную особенность этого частного случая — частоты не кратны ни друг другу, ни какому-то другому числу. Представление о том, что собственные частоты гармонически связаны друг с другом, в общем слувае неверно. Оно неверно ни для системы размерности, большей единицы, $94 получаются уравнения (49.7) и (49.8), а из них следует окончательный результат (49.9). Возьмем теперь для примера прямоугольник, ширина которого вдвое больше высоты.
Если положить а=26 н воспользоваться уравнениями (49.4) и (49.9), то можно вычислить частоты всех гармоник: ни даже для одномерной системы, болев сложной, чем однородная и равномерно натянутая струна. Простейшим примером может служить подвешенная цепочка, натяжение которой вверху меньше, чем внизу. Если возбудить в такой цепочке гармонические колебания, то возникнут собственные гармоники с различными частотами, однако частоты не будут просто кратными какому-то числу, да и сама форма гармоник больше не будет синусоидальной.
Еще причудливей оказываются гармоники более сложных систем. Человеческий рот, например, представляет собой полость, расположенную над голосовыми связками. Движением языка и губ моя но создать либо трубу с открытым концом, либо трубу с закрытым концом, причем диаметры и формы этол трубы будут различными.
В общем это страшно сложный резонатор, но тем не менее все же резонатор. При разговоре мы с помощью голосовых связок создаем какой-то тон. Тон этот довольно сложен, в него входит множество звуков, но благодаря различным резонансным частотам полость рта еще больше модифицирует его. Певец, например, может петь различные гласные: «а», «о», «у» и еще другие с той же самой высотой, но звучат они по-разному, нбо различные гармоники по-разяому резонируют в этой полости. Огромную роль резонансных частот полости в образовании голосовых звуков можно продемонстрировать на очень простом опыте.
Как известно, скорость звука обратно пропорциональна квадратному корню из плотности, поэтому для разных газов она различна. Если вместо воздуха мы используем гелий, плотность которого меньше, то скорость звука в нем окажется болыпе и все резонансные частоты полости будут больше. Следовательно, если бы мы могли перед тем, как начать говорить, наполнить наши легкие гелием, то, хотя голосовые связки по-прежнему колебались бы с той же частотой, характер нашего голоса резко изменился бы. ф 4. Сеяла»»нь«е .кантика Напоследок необходимо подчеркнуть, что гармоники возникают не только в сложных непрерывных системах, но и в очень простых механических системах.
Хорошим примером этого служит рассмотренная в предыдущей главе система двух связанных маятников. Там мы показали, что общее движение э~ой системы можно рассматривать как суперпозицию двух типов гармонических движений с различными частотами, так что даже такую систему можно рассматривать с точки зрения собственных гармоник.
В струне возбуждаетоя бесконечное число собственных гармоник, у двумерной поверхности их тоже бесконечно много. В каком-то смысле здесь получается даже двойная бесконечность (если бы мы только знали, как работать с 195 Ф и г. вй.в. Два ввяванник маям ° ника. бесконечяостями1). Но в простом механическом устройстве, обладающем только двумя степенями свободы н требующем для своего описания лишь двух переменных, возбуждаются всего две гармоники. Попробуем найти математически этн две гармоники для случая, когда длины маятников одинаковы.
Пусть отклонение одного маятника будет х, а другого — у, как зто показано на 4виг. 49.5. Прн отсутствии пружины сила тяжести, действующая на первый маятник, пропорциональна его отклонению. Если бы здесь не было пружины, то для одного маятника появилась бы некоторая собственная частота аз„а уравнение движения в этом случае приобрело бы вид авх 2 т — =- — твеах. Нвв (49.13) яви 3 т — =- — тывх — й (х — у), Шв (49.14) а у 2 твзву й (у х). ИР Чтобы найти движение, при котором оба маятника колеблются с одинаковой частотой, мы должны определить, насколько отклоняется каждый нз них. Другими словами, маятник А 196 Второй маятник прн отсутствии пруя'ины качался бы точно так же, как и первый.
Однако при наличии пружины з дополнение к восстанавливающей силе, возникающей в результате гравитации, появляется еще добавочная сила от пружины, которан стремится «стянуть» маятники. Эта сила зависит от превышения отклонения х над отклонением у н пропорцнональна пх разности, т. е. ока равна некоторой постоянной, зависящей только от геометрии, умноккевной на (х — у).
Та же сила, но в обратном направлении действует на второй маятпик. Поэтому уравнения движения, которые мы должны решить, будут следующими: и маятник В будут колебаться с одинаковой частотой и с какими-то амплитудами А и В, отношение которых фиксировано. Давайте проверим, насколько подходит такое решение: х = Аег"', у = Веигг. (49.15) Если подставить ого в уравнения (49.14) и собрать подобные члены, то получим ( 3 г»» з г» з ог — ьг — — ! А = — В ( ) = у'» ь ог ога / вз/ и (49.16) При выводе этих уравнений мы сократили общий множитель е' и разделили все на т. Теперь мы видим, что получились два уравнения для, казалось бы, двух неизвестных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
