Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Тогда рв сократится и у нас останется д'Х д'Х (47.13) Обозначим с,'=-к, тогда можно написать д т 1 двв дх' ."- дм в" (47.14) Это и есть волновое уравнение, которое описывает распростра- нение звука в среде. ф 4. Резыенил волгсовоео у/ровне>вил Посмотрим теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные своаства звуковых волн в среде. Прежде всего мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмущение, двиявется с постоянной скоростью.
Кроме того, нам нужно доказать, что два различных колебания могутсвободнопроходить друг через друга, т. е. принцип суперпозиции. Ыы хотим еще доказать, что звук мовкет распространяться и вправо ивлево. Все зти свойства должны содержаться в нашем одном уравнении. Раньше мы отмечали, чтолюбое возмущение, имеющее внд плоской волны н движущееся с постоянной скоростью, записывается в виде /(х — в1). Посмотрим теперь, является ли /(х — ае) решением волнового уравнения. Вычисляя дт/дх, получаем производную функции д)(/дх=/'(х — ш). Дифференцируя еще раз, находим д'Х вЂ”., =/" (х — И), (47.
15) Дифференцируя зту же функцию т по 1, получаем значение — и, умноженное на производную, илп д)(/д1= — с/'(х — Ш); вторая производная по времени дает д2Х вЂ ,, = с'/" (х — сг). (47.16) с,= хчч =( — „) тем самым лы связали сяорепиь звуковых волн со свойствамп среды. 6 зевав гв 2005 выв. гу Очевидно, что /(х — с1) удовлетворяет волновопу уравнению, если в равно с,, Таким образом, из законов механини мы получаем, что любое звуковое воамущение распространяется со скоростью с, и, кроме того, Легко увидеть, что звуковая волна может распространяться и в направлении отрицательных х, т.
е. звуковое возмущение вида й(х, 0 =у(х+И) таки<о удовлетворяет волновому уравнению. Единственное отличие этой волны от той, которая распространялась слева направо, заключается в знаке и, но знак д'т/дР не зависит от выбора х+ш или х — ш, потому что в зту производную входит только гз.
Отсюда следует, что решение уравнения описывает волны, бегущие в;побои направлении со скоростью с,. Особый интерес представляет вопрос осуперпозиции решений. Допустим, мы нашли одно решение, скажем т,. Это значит, что вторая производная т по х равна второй производной у, по 1, умноженной на 1/с',. И пусть есть второе решение т„ обладающее тем же свойством.
Сложим эти два решения, тогда получается й(х, «) =т,(х, 1)+~,(х, ~). (47.17) Теперь мы хотим удостовериться, что т(х, О тон е представляет некую волну, т. е. т ко~не удовлетворяет волновому уравнению. Это очень просто доказать, так как д'Х д'Х, д'Х, (47.18) и вдобавок (47.19) Отсюда следует, что д'у/дх'=(1/с,')д-'~(/дР, так что справедливость принципа суперпозиции проверена. Само существование принципа суперпозиции связано с тем, что волновое уравнение линейно по т. Теперь естественно было бы ожидать, что плоская световая волна, распространяющаяся вдоль оси х и поляризованная так, что электрическое поле направлено по оси у, тоже удовлетворяет волновому уравнению (47.20) где с — скорость света.
Волновое уравнение для световой волны есть одно из следствий уравнений Максвелла. Уравнения электродинамики приводят к волновому уравнению для света точно так же, как уравнения механики приводят к волновому уравнению для звука. ф д. Скорость наума При выводе волнового уравнения для звука мы получили формулу, которая связывает при нормальном давлении скорость движения волны и относительное изменение давления с плот- 162 костью: с'= ~ — ) (47. 21) Чтобы оценить скорость изменения давления, очень важно знать, как прн этом меняется температура.
Мон<но ожидать, что в местах сгущения звуковой волны температура повысится, а в местах разрежения — понизится. Ньютон первым вычислил скорость изменения давления с плотностью, предположив, что теьшература при этом не меняется. Он считал, что тепло передается из одной области звуковой волны в другую так быстро, что температура измениться не успеет. Способ Ньютона дает иэотермическую скорость звука, что неправильно. Правильное вычисление было сделано поз~ко Лапласом, считавшим вопреки Ньютону, что давление и температура в звуковой волне меняются адиабатически. Поток тепла из области сгущения в область разрежения пронебрежимо мал, если только длина волны волика по сравнению с длиной свободного пробега. При этих условиях ничтожная утечка тепла в звуковой волне не влияет на скорость звука, хотя и приводит к небольшому поглощению звуковой энергии.
Мы можем, естественно, ожидать, что поглощение тепла усилится, когда длина волны приблизится к длине свободного пробега, но такие длины волн примерно в миллион раз меньше длины волны слышимого звука. Итак, для звука истинная скорость изменения давления с плотностью должна вычисляться без учета отвода тепла. Это соответствует аднабатическому изменению давления, для которого мы нашли, что РУ'=-сопзФ, где У вЂ” объем. Поскольку плотность р обратно пропорциональна объему, связь Р и р для адпабатических процессов дается соотношением Р = сопз$. р', (47. 22) откуда мы получаем ЫР/лр=уР/р. Тогда для скорости звука возникает соотношение с,' = ~ (47.23) Можно еще написать с,'=уРК/рК и использовать сооттюшение РУ=-ГЧ'яТ. Мы видим, кроме того, что рт' есть масса газа, которую моя<но записать как Хш или р, где т — масса молекулы, а р — молекулярный вес, Таким образом, находим с,' = — = —, (47.
24) /Д ш дг2) $ 3 (47.25) 163 откуда видно, что скорость звука зависит только от температуры газа и не вависит от давления или плотности. Мы уже отмечали, что с,=(~' ) де (47.26) Ото равенство означает, что скорость звука есть средняя скорость молекул воздуха (точнее, корень квадратный из средней квадратичной скорости), умнов енная на некоторое число, грубо говоря, на 1/(3) ь. Другими словами, она того же порядка величины, что и скорость молекул, но на самом деле несколько меньше средней скорости молекул.
В оощем-то мы могли этого ожидать, потому что такое возмущение, как изменение плотности, перодается в конечном счете двин'епнеи молекул. Однако подобного рода соображения не подсказывают нам точного значения скорости; могло ведь оказаться, что звук переносится самьнш быстрыми или самыми медленными молекулами. Разумно и весьма утешительно, что скорость звука оказалась равной приблизительно половине средней молекулярной скорости, где (вз) — средняя квадратичная скорость молекул.
Отсюда следует, что с,* у)3<аз>, илн тливо 48 ВИЕИИЯ й' 1. Сложение двух волн ф 1. Сложение двух волн Не так давно мы довольно подробно обсуждали свойства световых волн и их интерференцшо, т. е. эффект суперпозицян двух волн ог различных нсзочников. Но при этом предполагалось, что частоты источников одинаковы. В этой же главе мы остановимся на некоторых явлениях, возникающих при интерференции двух источников с различными частотами. Нетрудно догадаться, чтб при этом произойдет. Действуя так же, как прежде, давайте предположим, что имеются два одинаковых осциллирующих источника с одной и той же частотой, причем фазы их подобраны так, что э некоторую точку Р сигналы приходят с одиааковой фазой.
Если это свет, то в этой точке он очень ярок, если это звук, то он очень громок, а если это электроны, то их очень много. С другой стороны, если приходящие волны отличаются по фазе на 180', то в точке Р не будет никаких сигналов, ибо полная амплитуда будет иметь здесь минимум. 11редположим теперь, что некто крутит ручку «регулировка фазы» одного иэ источников и меняет разность фаз в точке Р то туда, то сюда, скажем сначала он делает ее нулевой, затем — равной 180' и т. д. При этом, разумеется, будет меняться и сила приходящего сигнала.
Ясно теперь, что если фаза одного из источников медленно, постоянно и равномерно меняется по сравнению с другим, начиная с нуля, а затем возрастает постепенно до 10, 20, 30, 40'и т. д., то в точке Р мы увидим ряд слабых и сильных «пульсаций», ибо когда разность фаэ проходит через 360', в амплитуде снова возникает максимум. Но утверждение, ф 2. Некоторые замечания о биениях и модуляция 'й' 3.
Воковыс полосы ф 4.,'1окалнзованныа волковоб пакет ЬЧ 5. Амплитуда верэятяостя частиц $ 6. Волям в ярос»ран«гас трех язме'юнпй Яз 7. Собств к'эь'.с ыолебапял что один источник с постоянной скоростью меняет свою фазу по отношению к другому, равносильно утверждению, что число колебаний в 1 сея у этих двух источников несколько раалично. Итак, теперь известен ответ: если ваять два источника, частоты которых немного различны, то в результате сложения получаются колебания с медленно пульсирующей интенсивностью. Иначе говоря, все сказанное здесь действительно имеет отношение к делу! Этот результат легко получить и математически.
Предположим, например, что у нас есть две волны и забудем на минуту о всех пространственных соотношениях, а просто посмотрим, что приходит в точку Р. Пусть от одного источника приходит волна соз <е<<, а от другого — волна созе<э<, причем обе частоты а<< и аз не равны в точности друг другу.
разумеется, амплитуды их тоже могут быть рааличными, но сначала давайте предположим, что амплитуды равны. Общую задачу мы рассмотрим позднее. Полная амплитуда в точке Р при атом будет суммой двух косинусов. Если мы построим график зависимости амплитуды от времени, как это показано на фиг, 48.1, то окажется, что, когда гребни двух волн совпадают, получается большое отклонение, когда совпадают гребень и впадина — практически нуль, а когда гребни снова совпадают, вновь получается большая волна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
