Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Метод объяснения новых явлений с помощью старых, законы которых уже известны, представляет собой, пожалуи, величайшее искусство математической физики. Математическая физика решает две проблеиы: найти решение заданного уравнения и найти уравнения, описывающие новое явление. То, чем иы будем заниматься, относится как раз ко второй проблеме. Рассмотрим простейший пример — распространение звука в одномерном пространстве.
Для вывода нам сначала необходимо понять, что >ко в действительности происходит. В основе явления лежит следующий факт: когда тело перемещается в воздухе, возникает возмущение, которое как-то распространяется по воздуху. На вопрос, что это за возмущение, иы можем ответитгк это такое двиясенг>е тела, которое вызывает иаиенеяие давления. Конечно, если тело движется медленно, воздух лишь обтекает его, но нас интересует быстрое движение, когда воздух не успевает обойти вокруг тела. При этих условиях воздух в процессе движения сжимается и возникает избыточное давление, толкающее окружающие слои воздуха. Зги слои в свою очередь сжимаются, снова возникает иабыточное давление, н вот начинает распространяться волна. Опишом этот процесс на языке формул.
Прежде всего решим, какие пам нужны переменные. В нашей задаче нам нужно знать, насколько переместился воздух, поэтому сленге>гие воздуха в звуковой волне, несомненно, будет первой нашей переменной. Вдобавок хотелось бы знать, как меняется плотность воздуха прн смещении. Давление воздуха тоже меняется, и это еще одна интересная переменная. Кроме того, воздух движется с некоторой скорость>с, и мы должны уметь определить скорость частиц воздуха. Частпцы воздуха имеют еще и ускорение, но, записав все эти переменные, мы сразу же поймем, что н скорость, и ускорение будут нам известны, если известно сиелгенгге воадуха как функция времени. Кая уже говорилось, иы рассмотрим волну в одном измеронии.
Так можно поступить, если мы находимся достаточнодалеко от источника и так называемый у>ро>гт волны мало отличается от плоскости. На этом примере наше .доказательство будет проще, поскольку можно сказать, что смещение т зависит только от х в 1, а не от у и з. Поэтому поведение воздуха описывается функцией 11(х, Г).
Насколько полно такое описание? Казалась бы, оно очень не полно, потому что нам не известны подробности движения молекул воздуха. Они движутся во всех направлениях, и этот факт не отраэкается функцией 1~(х, 1). С точки зрения кинетической теории, если в одном месте наблюдается болыаая плотность молекул, а в соседнем меньшая, молекулы будут переходить нз области с большей плотностью в область с меньшей плотностью, так чтобы уравнять плотности. Очевидно, что прн этом никаких колебаний не происходит и звук не возникает.
Для получения звуковой волны нужно, чтобы молекулы, вылетая из ооластн с болыпей плотностью и давлением, передавали импульс другим ыолекулам, находящимся в области раареження. Звук возникает в том случае, если размеры области изменения плотности и давления намного больше расстояния, проходимого молекулами до соударения с другими молекулами. Зто расстояние есть длина свободного пробега, и оно дол кно быть много меньше расстояния меягду гребнями и впадинами давления. В противном случае молекулы перейдут нз гребня во впадину, и волна моментально выровннтся. Мы, естественно, хотим описать поведение газа в масштабе, большем, чем длина свободного пробега, так что свойства газа не будут определяться поведением отдельных молекул. Например, смещение есть смещение центра инерции небольшого объема газа, а давление или плотность относятся к атому же объему.
Мы обозначим давление череа Р, а плотность через р, причем обе величины будут функциями от х и 1. Необходимо помнить, что наше описание приблия.енное н справедливо лишь, когда свойства газа не слишком быстро меняются с расстоянием. ф З..Волновое 1грывненме Итак, физические явления, происходящие в звуковой волне, обладают следующими тремя свойствами: 1. Газ даня."ется, и плотность его меняется. 1!.
При изменении плотности меняется н давление. Н1. Неравномерное распределение давления вызывает движение газа. Рассмотрим сначала свойство П. Для любого газа, жидкости плн твердого тела давление является функцией плотности. До прихода авуковой волны мы имели равновесное состояние с давлением Рз н плотностью рз. Давление Р зависит от плотности среды: Р=1(р), и в частности равновесное давление Рз=)(р,).
Отклонения величины давления от равновесного в звуковой волне очень малы. Давление удобно намерять в барах 157 (1 бар=10»н7м»). Давление в одну стандартную атмосферу приблизительно равно 1 бар (1 атм=1,0133 бар). Для звука обычно используется логарифмическая шкала интенсивности, так как восприятие уха, грубо говоря, растет логарифмически. В этой децибельной гпкале уровень звукового давления 1 связан с амплитудой звукового давления: 1 = 201ояго ( — ~) дб~ '~рити ' (47.1) (П) Ри=мри, где к=В(р»)=( — ) .
(47.4) Зто весьма простое соотношение и составляет точное содержание свойства 11. Перейдем теперь к свойству 1. Предположим, что положение элемента объема воздуха, не возмущенного звуковой волной, есть х, а звук смещает его в момент времени г' на величину )((х, »), так что его новое положение есть х+)((х, Г), как показано * Пра таком выборе Риги, Р— уже ве максимальная амплитуда звукового давленая, а «среднее™квадраткчвое» давление, равное максимальному, деленному ва 1~у«2.
где давление отнесено к некоторому стандартному давлению Р„„=2 10 г» бар. Звуковое давление Р=10' Р„„=2 10 ' бар* соответствует довольно сильному звуку в 60 дб. Ыы видим, что давление меняется в звуковой волне иа очень малую величину по сравнению с равновесным или средним, равным 1 атм.
Смещение и перепады плотности также очень малы. При взрывах, однако, изменения уже не столь малы; избыточное звуковое давление может превышать 1 атм. Такие болыпие перепады давления приводят к новым явлениям, которые мы рассмотрим позже. В звуковых волнах уровень силы звука выше 100 дб встречается редко; уровень силы звука в 120 дб уже вызывает боль в ушах. Поэтому, написав для звуковой волны Р=Р»тР« Р=Р»+Ри' (47.2) можно считать, что изменение давления Ри очень мало по сравнению с Р„а изменение плотности р„очень мало по сравнению с р,.
Тогда о+Р«=У(ро+Ри)=7(Р»)+Р«7 (Р») (47.3) где Р»=1(р») и /'(р») — производная от 1(о), взятая при значении р=. о,. Второе равенство здесь возможно только потому, что р„очень мало. Таким образом, мы находим, что избыточное давление Ри пропорционально избыточной плотности р„; коэффициент пропорциональности обозначается через х: х(не) С рорый обавм Новыйобъем ! 3 х+лх ! х+у(х,Ц (х+йх)+Х(х+лхг) — «х е~о— Ф и г. бе.д, Смещение вдовуха в точке несть Х(х, С), а в точне х+ьх равно Х(х+Ьх, с), пере нече ьний обеем, приходлщиаел на единиир площади е плоской етноеой олпе, есть Ьх, а оконч тельний объем расеи ь 'чп '+ьх, е — а (х, )ь на фиг.
47.3. Далее, положение соседнего элемента объема есть х+Лх, и его смещенное положение есть х+Лх-(-Х(х+Лх, е). 'Геперь можно найти изменение плотности. Поскольку мы рассматриваем плоскую волну, удобно взять единичную площадку, перпендикулярную оси х, т. е. направлению распространения волны.
Количество воздуха, приходящееся на единичную площадку в интервале Лх, есть р Лх, где р, — невозмущевная, или равновесная, плотность воздуха. Эта порция воздуха, смещенная авуковой волной, будет находиться теперь между х+Х(х, е) и х+Лх+ Х(х+Лх, е), причем количество воздуха в этом интервале то же самое, что в интервале Лх до прихода волннь Если через р обозначить новую плотность, то Р,Лххи Р (х+Лх+Х(х+Лх, С) — х — Х(х, !)!. (47.6) 11оскольку Лх мало, можно написать Х(х+Лх, 1) — Х(х, 1)= =(дХ/дх) Лх. Здесь уже появляется частная производная, потому что Х зависит и от х, и от времени.
Наше уравнение принимает вид Райх= Р ( Лх+ Лх) ХдХ (47.6) или дх Ро = (Ро + Ре) дх+ Ро+ Ри (47.7) Но в авуковой волне все изменения малы, так что Р„мало, Х мало и дХ/дх тоже мало. Поэтому в уравнении, которое мы только что написали, дХ дХ (47л8) $59 моясно пренебречь Р,(ду/дх) по сравнению с р, (дХ/дх). 'Гак мы приходим к соотношению, которое требовалось Ф и в. втаб, Реэультирующая сила в направлении оси х, воэникающая эа счет давления на единичную площад»у, перпендикулярную н оси х, есть — (ЭР~дх)Ьх.
согласно свойству 1: (1) Р»= рой (47.9) Именно такой вид уравнения можно было овкидать из чисто физических соображений. Если смещение различно для разных х, плотность будет изменяться. Знак тоже правильный: если смощение 1( растет с ростом х, так что воздух расширяется, плотность должна уменыпаться. Теперь нам нужно найти третье уравнение — уравнение движения, производимого избытком давления. Зная соотношение между силой и давлением, можно получить уравнение движения. Возьмем объем воздуха толщиной Ах и с единичной площадью грани, перпендикулярной х, тогда масса воздуха в этом объеме есть Р,Лх, а ускорение воздуха есть дв~)дГЯ, так что массе, умноженная на ускорение для этого слоя, есть р Лх(дву/дгв).
(Если Лх мало, то беараалично, где брать ускорение — на краю слоя или где-пибудь посредине.) Сила, действующая на единичную площадку нашего слоя, перпендикулярную оси х, должна быть равна роЛх(двЭ1/дГЯ). В точке х мы имеем силу Р(х, ~), действующую на единицу площади в направлении +х, а в точке х+Лх возникает сила в обратном направлении, по величине равная Р(х+Лх, 1) (фиг. 47.4): Р(х, г) — Р(х+Лх, 1)= — — Лхе— е — —."Лх. (47.10) др ЭР„ Мы учли, что Ьх мало и что только избыточное давление Р„ меняется в зависимости от х. Итак, согласно свойству 111 мы получаем (111) Ро (47. 11) Теперь уже уравнений достаточно, чтобы увязать все величины и привести к одной переменной, скажем х. Можно выразить Р» в (47.11) с помощью (47,4): Р— = — х дв'я ар» о дев дх (47.12) 160 а затем исключить р„с помощью (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
