Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Кинетическая теория говорит, хотя и очень неопределенно, что число молекул пара над жидкостью примерно равно ер и е. бд.4. Диаеравла Р— р для усекла Карно с конденсируюиВится в цилиндре паром, Слева — все ееисество слрехооит в шио. кость. Чтоби полностшо испарюпь ее при тетперотуре т, кухсно добавит слепло А, При поуекии толп рптури от Т Оо т — Ь? пор росширле пся аусшбати:вски. ббьем ная, то соображения, из которых ранее следовало (45.15), приведут теперь к уравнению (45.16).
Это сравнение показывает преимущества и недостатки термодинамики по сравнению с кинетической теорией. Прежде всего полученное термодинамически уравнение (45.14) — зто точное соотношение, а (45.16) — всего-навсего приближение. Ведь нам пришлось предположить, что ср приблизительно постоянна и что наша модель верна. Во-вторых, пам, быть может, никогда не удастся понять до конца„как газ переходит в жидкость, и все-таки уравнение (45 14) правильно, а (45.16)— это только приближение.
В-третьих, хотя мы говорили о превращении газа в жидкость, наши аргументы верны для любого перехода из одного состояния в другое. Е1апример, переход твердое тело — жидкость описывается кривымп, очень похожимп на кривые фиг. 45.3 и 45.4. Вводя скрытую теплоту плавления ЛХ,'уволь, мы получим формулу, аналогичиууо уравнению (45.14): (дРи,)бТ)у=.М~ (Т(У вЂ” Уе )). Мы можем не знать ничего о кинетической теории процесса плавления, а все же получить правильное уравнение. Однако если мы узнаем кинетическую теорию, то сраау же получим большое преимущество.
Уравнение (45.14) — это всего лишь дифференциальное уравнение, и мы еще совершенно не умеем находить постоянные интегрирования. В кинетической теории можно вычислить и зти постоянные, надо только придумать хорошую модель, описывающую все явление полностью. Итак, в канадой теории есть и хорошее, н плохое. Если познания йаши слабы, а картина сложна, то термодинамические соотношения оказываются самым мощным средством. Когда же картина упрощается настолько, что можно ее проанализировать теоретически, то лучше сначала попробовать выжать из етого анализа как можно болыпе.
Еще один пример: излучение черного тела. Мы уже говорили об ящике, содержащем излучение и ничего больше, и уже толковали о равновесии между излучением и осциллятором. 13б Мы выяснили также, что когда фотоны ударяются о стенки ящика, онн создают давление Р. Мы вывели формулу РУ= 1113, где (1 — полная энергия фотонов, а У вЂ” объем ящика. Если подставить 13=3Р)1в основное уравнение (45.7),то обнаружится, что (з(г) .
(аг) (45.17) сиергия ! (е>) ь>г» Распределение плотности энергии= Объем с поэтому (> Р—, = Полная плотность энергии, (Плотность энергии между ю н ю+ оо>), > (о>) с>о с е Мы унге успели узнать, что 1(го) = и а паст(еаем т П Подставляя выражение для 1(е>) в ваше уравнение для ИУ, получаем е Поскольку объем ящика не изменяется, можно заменить (дР/дТ) и на п>РНТ и получить обыкновенное дифференциальное уравнение.
Оно легно внтегрируется и дает )пР=4)пТ+совз(, или Р=сопз('Т4. Давление излучения изменяется как четвертая степень температуры, поэтому заключенная в излучении энергия 11)г'=Р13 тоже меняется как Та. Обычно пишут так: 111)'=(4о/с)Т>, где с — скорость света, а о — другая постоянная. Термодинамика сама по себе ничего не скан ет нам об этой постоянной. Это хороший пример и ее могущества, и ее бессилия. Знать, что (1Л' изменяется как Т4, — это уже Г>ольшое дело, но узнать, чему именно равно К%' при той или иной температуре, можно, только разобравшись в деталях полной теории. У нас есть теория излучения черного тела и сейчас мы вычислим о.
Пусть 1(е>)г(о> — распределение интенсивности, иначе говоря, поток энергии через 1 ага за 1 сеи в интервале частот между ю и о>+г)о>: Гели сделать замену переменных к=доз/нТ, то это выражение примет вид П (Ут) Г»з л» алеет ) л е Этот интеграл — просто-напросто какое-то число, и мы можем найти его приближенно. Для этого надо лишь вычертить подынтегральную кривую и подсчитать площадь под ней. Она приблизительно равна 6,5. Математики могут вычислить наш интеграл точно, он равен пл/15а. Сравнивая это выражение с записанным ранее //Х=(4о/с)Тл, мы найдем о: Ьллг о= "" =5,67 ° 10 з— 60йз са ' (люл д) л ° (гдедхс)' Много ли энергии утечет за 1 сел из дырки единичной площади, проделанной в степке ящика" .Чтобы найти поток энергии, умножнм плотность энергии б//У на с.
Еще нужно умножить на '/~', эта четверть набегает вот по каким причинам. Во-первых, '/з появляется из-за того, что мы вычисляем только вырвавптуюсн наружу энергию, и, во-вторых, если поток подходит к дырке не под прямым углом, то вырваться ему труднее; зто уменьшение эффективности учитывается умножением на косинус угла с нормалью. Среднее значение косинуса равно '/,. Теперь понятно, почему мы писали (//т'=(4о/с)Т'. так проще выразить поток энергии сквозь маленькую дырку; если отнести поток к единичной площади, то он равен просто оТ'.
* Поскольку (е" — 1) ' =е *+с т» -(-..., то ивтетрал равен з-»» з ( -т е »=л » По ( с »»л(» 1/л, поэтому, днффереицирув три раза по л, мы получаем О (» ""»ел(»=6/пл, так что интеграл равен 6 (1+ —,+ — +...), и весколь- 16 81' ко первых членов ряда дают уже хорошее приближение. В гл. 50 ьпл сможем показать, что сумма обратных четвертых степеней целых чисел раева пз/90. Х'л а в а 46 ХРАПОВНК И СОБАЧКА иа 1. Как действует храповик 5 2. Храповнк как машина Обратимость в механике Необрати- мость Порядок п энтроння 138 ф 1. Лам двтйпзпвувтгь храмовмя В атой главе мы поговорим о храповнке н собачке — очень простои устройстве, позволязощем оси вращаться только в одном направлении.
Ф ч Возможность получать одностороннее вращение заслуживает глубокого ~ тщательного анализа, пз него проистекут интересные заключения. Вопросы, которые иы будем обсуждать, возникают при попытке найти с молекулярной ялп кинетической точки зрения простое объяснение тому, что существует предел работы, которая может быть получена от тепловой машины. Правда, мы уже знаем сущность доказательства Карно, но было бы приятно найти и элементарное его объяснение — такое, которое показало бы, что так физически па самом деле происходит. Существуют, конечно, сложные, покоящпеся на законах Ньютона матеиатпчсскпо доказательства ограниченности количества работы, которое можно получить, когда тепло перетекает с одного места в другое; по очень непросто сделать эти доказательства элементарными.
Короче говоря, иы не понимаем их, хотя можем проследить выкладки. В доказательстве Карно то обстоятельство, что прн переходе от одной температуры к другой нельзя навлечь неограниченное количество тепла, следует пз другой аксиомы: если всо происходит при одной температуре, то тепло не может быть превращено в работу посредством циклического процесса. Поэтому порвым делом попытаемся понять, хотя бы на одном элементарном примере, почему верно это более простое утвари<ление.
Попробуем придумать такое устройство, чтобы второй закон термодинамики нарушался, т. е. Ф и в. 46.й Маисииа, состоюцак ив краиовииа и собачки. чтобы работу из теплового резервуара получали, а перепада температур не было. Пусть в сосуде находится газ при некоторой температуре, а внутри имеется вертушка (фпг. 46.!), причем будем считать, что Т,= Т,= Т. От ударов молекул газа вертушка будет покачиваться. Нам остается лишь пристроить к другому концу оси колесико, которое может вертеться только в одну сторону,-- храповичок с собачкой. Собачка пресечет попытки вертушки поворачиваться в одну сторону, а повороты в другую — разрешит. Колесико будет медленно поворачиваться; может быть, удастся дая е подвесить на ниточку блошку, привязать нить к барабану, насаженному па ось, и поднять эту блошку! Возможно ли это? По гипотезе Карно — нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
