Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 11
Текст из файла (страница 11)
А теперь мы хотим узнать, как велики флуктуации падения напряжения на индуктивности? Ответ: Нам известно, что «кинетическая энергия», запасенная катушкой резонансной цепи, равна е4у 11« (см. гл. 25)а. Поэтому среднее значение '/, /.1« равно '/у йТ, зто дает нам сродяее квадратичное значение тока, а ото«ода можно определить и среднее квадратичное значение напряжения. Если мы хотим знать падение напряжения на индуктивности, нам пригодится формула Ууем 1««11, тогда средний квадрат модуля падения напряжения на ипдуктивности равен <Г~"~ = — /,уее',(1«у, а полагая '/у/<1 > =- '/у/«Т, получаем (У~с) =- / ы„,/«Т.
(41.2) ь Выпуск 2. Итак, теперь мы можем рассчитать контур и предсказать, каким в нем будет так называемый и»уз»Джонсона, т. е, шум, связанный с тепловыми флуктуациями! Но откуда же зти флуктуации берутся? Л все нз-за со ротивления, точнее говоря, в результате пляски электронов в сопротивлении. Ведь они находятся в тепловом равновесии с остальным материалом сопротивления, а это приводит к флуктуациям плотности электронов.
Таким образом они порождают крошечные электрические поля, управляющие резонансной цепью. Инженеры-электрики объясняют все это иначе. Физически источником шумов служит сопротивление. Однако можно заменить реальную цепь с честным сопротивлением, вызывающим шумы, фиктивной цепью, содержащей маленький генератор, который якобы порождает »пумы, а сопротивление теперь будет идеальным — оно уже не шумит. Все шумы теперь исходят от фиктивного генератора. Итак, если нам известны характеристики шума, порождаемого сопротивлением, н у пас для этого имеется подходящая формула, то можно рассчитать, как цепь реагирует на этот шум.
Следовательно, нам нужна формула для шумовых флуктуаций. Сопротивление одинаково хорошо порождает шумы всех частот, поскольку оно само отшодь не резонатор. Резонансная цепь, конечно, «слышит» лишь часть этого шума вблизи определенной частоты, а в сопротивлении заключено много и других частот. Силу генератора можно описать таким образом: выделяемая нз сопротивлении среднвя мощность, если оно непосредственно соединено с генератором п»ума, ранна (Е»)/Л, где Ь' — снимаемое с генератора напряжение.
Но теперь мы хотим знать подробнее о распределении мощности по частотам. Каэ;дой определенной частоте соответствует очень малая мощность. Пусть Р(ю)г?໠— мощность, которую генератор посылает сопротивлению в интервале частот г(»». Тогда можно доказать (л»ы докажем зто для другого случая, но математика и там и тут одинакова), что выделяемая мощность равна Р(ю) ?ю= — йт (ю 2 (4!.3) и, таким образом, не зависит о»н сопротивления.
ф М. Тепловое равновесие аялуненыл Мы приступаем к обсуждению более сложной и интересной теоремы, суть которои состоит в следующем. Предположим, что у нас имеется заряженный осциллятор, вроде того, о котором мы говорили, когда речь шла о свете. Пусть это будет электрон, колеблющийся в атоме вверх и вниз. А раз он колеблется, то излучает свет. Предположим теперь, что этот осциллятор попал в сильно разреженный газ, состоящий из других атомов, и время от времени эти атомы с пим сталкиваются. Когда в конце концов наступит равновесно, осцилллтор приобретает такую энергию, что кинетическая энергия колебаний будет равна '(,1«Т, а поскольку это гармонический осциллятор, то полная энергия движения станет равной йТ.
Это, конечно, неверно, потому что осциллятор несет электрический заряд, а поскольку он обладает энергией йТ, то, качаясь вверх и вниз, он пл»учаеш свет. Поэтому невозможно получить равновесие только самого вещества без того, чтобы заряды не излучали свет, а когда сает излучается, утекает энергия, осциллятор со временем растрачивает энергию йТ, а окружающий газ, сталкивающийся с осцнллятором, постепенно остывает. Именно таким образом остывает за ночь натопленная с вечера печка, выпуская все тепло на воздух. Прыгающие в ее кирпичах атомы заряжены и непрерывно излучают, а в результате этого излучения танец атомов постепенно замедляется.
Но если заключить все атомы и осцптляторы в ящик, так чтобы свет не смог уйти в бесконечность, тепловое равновесие может наступить. Ыы можем поместить газ в ящик, в стенках которого есп и другие излучатели, испускающие свет внутрь ящика, а еще лучше соорудить ящик с зеркальными стенками. Этот пример поможет лучше понять, чтб произойдет. Итак, мы предполагаем, что все излучение от осциллятора остается внутри ящика. Осциллятор н в этом случае начинает излучать, но довольно скоро он все же соберет свое значение йТ кинетической энергии.
Происходит зто потому, что сам осцнллятор будет освещаться, так сказать, собственным светом, отраженным от стенок ящика. Вскоре в ящике будет много света п, хотя осциллятор продолжает излучать, часть света будет возвращаться и возмещать осциллятору потерянную им энергию. А теперь подсчитаем, насколько должен быть освещен ящик при температуре Т, чтооы рассеяние свота на осцилляторе обеспечивало его как раз такой энергией, какая нужна для поддержания излучения. Пусть атомов в ящике совсем немного и находятся они далеко друг от друга, так что нащ осциллятор идеальный, не пмею-ций иного трения, кроме радиационного. Теперь заметим, что прн тепловом равновесии осциллятор делает сразу два дела. Во-первых, он излучает, и мы можем подсчитать энергию излучения. Во-вторых, он в возмещение получает точно такое же количество энергии в результате рассеяния на нем света.
Поскольку энергии ниоткуда болыпе притечь не может, то эффективное излучение — это как раз та часть «общего света», которая рассеялась на осцнлляторе. '!'аким образом, прекде всего мы вычисляем энергию, излучаемую в 1 сек осциллятором с заданной энергией, (Мы позаимствуем для этого в гл. 32, посвященной радиационному трению*, несколько равенств н не будем здесь приводить их выводы.) Отношение энергии,нзлученной за радиан, к энергии осциллятора называется 1/О (см.
уравнение (32.8)!: 1/О=- (дИс/д!)/юсй". ИспользУЯ величипУ У (постоЯннУю затУхання), можно записать это в виде 1/О =- у/ю„где се — собственная частота осциллятора, если у очень мала, а (/ очень велико. Излученная за 1 сек энергия равна и.!у ысууу — = у)1 .
ч ыс (41.4) Излученная эа 1 сек энергия просто равна произведению у на энергию осциллятора. Средняя энергия нашего осциллятора равна /сТ, поэтому произведение у на /сТ вЂ” это среднее значе- ние излученпой за 1 сек энергии: (и — „",/ = уйт. (41.5) где ге= — е'/тсз — классический радиус электрона, и мы положили ) = 2яс/юс. Окончательный результат для средней скорости излучения света вблизи частоты се таков: с!У 2 "сыс 3 Теперь надо выяснить, сильно ли должен быть освещен осцнллятор.
Освещепно долзкно быть таким, чтооы поглощенная осцилляторсм энергия (и впоследствии рассеянная) была в точности равна предыдущей величине. Иначе говоря, излученный свет — зто свет, рассеяипый при освещении осциллятором в полости. Итак, нам остается рассчитать, сколько света рассепваотся осцпллятором, если на него падает какая-то — неизвестная — доза излучения.
Пусть т'(ю)с(ю — энергия света частоты ю в интервале частот ию (ведь у нас нет света точно заданной частоты; излучение распределено по спектру). Таким образом, 1(ю) — это спектральное распределение, которое нам надо найти. Это тот цвет огня, который мы увидим внутри печи при температуре Т, если откроем дверцу и заглянем внутрь. ' Вмвуск 3.
Теперь нам нужно только узнать, что такое у. Эту величину легко найти из уравнения (32.12): оо 2 'сосо О 3 с (41.6) Сколько «ке все-таки света поглотится? Мы уже определяли количество излучения, поглощаемого нз заданного падающего пучка света, и выразили его через зффеюпивное сечение. Это соответствует тому, как если бы мы предполагали, что весь свет, падающий на площадку определенной площади, поглощается. Таким образом, полная переизлученная (рассеянная) интенсивность равна произведению интенсивности падающего света 1(а«Йа на эффективное сечение о. Мы вывели формулу для эффективного сечения [см. уравнение (31.19)1, не включающую затухания. Нетрудно повторить этот вывод снова и учесть трение, которым мы тогда пренебрегли.
Если это сделать, то, вычисляя эффективное сечение по прежнему образцу, мы получим ~"'«о ( ао (41.8) Пойдем дальше; о, как функция частоты имеет более или менее заметную величину только для а около собственной частоты а,. (Вспо««ням, что для излучающего осциллятора («вЂ” порядка 10'.) Когда а равна а„осцнллятор рассеивает очень сильно, а при других значениях а он почти не рассеивает совсем. Поэтому мо'кно заменить а на а,, а ао — а, 'на 2а (а — ао); тогда з«о о«о о о о 3 [[а — ао)о+у'(4[ (41 [)) Тепорь почти вся кривая загнана с область около а = а,.
(Фактически мы не должны делать никаких приближений, во легче иметь дело с интегралом, в котором подынтегральное выражение несколько проще.) Если умножить интенсивность в данном интервале частот на эффективное сечение рассеяния, то получится энергия, рассеянная в интервале о[а, Полная рассеянная энергия — это интеграл по всем а. Таким образом, ЕВ, —,'= ~1 (а) п,(а) с«а= "л 'ао«' [а) яо« ,) 3 [[а — а )о+у"(41 ' о (41.10) 52 Теперь мы положим о[И',(е[«=3у(о7'.
Но почему здесь стоит 3? Потому что в гл. 32 мы предполагали, что свет поляризовап так, что может раскачивать осциллятор. Если бы мы использовали осциллятор, способный раскачиваться только в одном направлении, а свет был бы, скажем, поляризован неверно, то гм' и г. 41.8. Сомножигнели яодынтегрального выражения /11.10). Лин — гто регонан*ная »рига» ))Ны — ы~)'+()е)г)). Множи нел КЫ) можно с ерошим нрибли»ением га.
менинш на Лыг). ол не рассеивался бы совсем. Поэтому мы должны либо усреднить эффективное сочение рассеяния на осцилляторе, способном раскачиваться только в одном направлении, по всем направлениям падающих пучков и поляризации свота в пучке, либо, что легче сделать, представить себе, что наш осциллятор пос.пушно следует за полем, каким бы оно ни было там, где он находится. Такой осциллятор, который одинаково легко раскачивается в любом из трех направлений, имеет средню)о энергию ЗНТ, потому что у него 3 степени свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
