Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Найти распределение поможет то обстоятельство, что этот генератор, включенный в резонансную цепь произвольной частоты (как на фиг. 41.2, 6), порождает на индуктнвпостн падение напряжения, определяемое равенством (41,2). Это приведет нас к тому же интегралу, что и (41.10), а продолжая работать тем же методом, мы получим уравнение (41.3). Для низких температур йТ в (4'1.3), конечно, надо заменить выражением (41.15).
Две теории (излучения черного тела и шумов Джонсона) физически тосно связаны, так как мы мо«кем связать резонансную цепь с анп«в««««ой тогда сопротивление В будет радиационным сопротивлением в чистом виде. Поскольку (41.2) не зависит от физических свойств сопротивления, генератор 6 для настоящего сопротивления и для радиационного сопротивления будет одинаковым. А что же будет источником генерируемой мощности Р(ь«), если сопротивление  — теперь просто-напросто идеальная антекна, находящаяся в равновесии с ее окружением при температуре Т) Это излучение в пространстве при температуре Т, которое обрушивается на антенну в качестве «принятого сигнала» и служит эффек- тивным генератором. Следовательно, двигаясь от (41.13) к (41.3), можно найти прямое соответствие между Р(о>) и»(с>).
Объяснение явлений, о которых мы сейчас говорим (так называемый шум Джонсона, распределение Планка и теория броуновского движения, о которой мы собираемся говорить),— это достижения первого десятилетия нашего века. Узнав об этом н заглянув в историю, вернемся к броуновскопу дзпясениго. ф А С.ггг>«айные блг»эгсдання Попробуом понять, насколько меняется положение танцующей частицы за время, зо много раз большее, чем промежуток ме>гсду двумя ударами. Посмотрим на маленькук> частицу, которая вовлеклась в броуновское двия'ение п пляшет под непрерывно п беспорядочно сыплющимися на нее ударами молекул воды.
Вопрос: Далеко ли отойдет частица от первоначального положения, когда истечет заданное время?,>ту задачу регпили Эйнштейн и Смолуховский. Представим себе, что мы разделили выделенное кам время на малые промежутки, скан<ем, по одной сотой доле секунды, так что после первой сотой доли секунды частица оказалась в одном место, в течение второй сотой секунды она продвинулась еще, в конце следу>ошей сотой секунды — еще и т. д. При топ скорости бомбардировки, которой подвергается частица, одна сотая секунды — огромное время.
Читатель легко может проверитт, что число столкновений, которые испытывает одна плавающая в воде молекула, порядка 10" в секунду, так что на одну сотую долю секунды приходится примерно 10" столкновений, а это очень много! Естественно, что по прошествии одной сотой доли секунды частица не «помнит», что с ней было до этого. Иначе говоря, все столкновения случайны, так что каждый последующий >апаг» частицы совершенно не зависит от предыдущого. Это напоминает знамен>жую задачу о пьяном моряке, который выходит из бара и делает несколько шагов, но плохо держгггся на ногах, и каждый шаг долает куда-то в сторону, случайно (фиг. 41.6).
Так где х«е окажется наш матрос спустя некоторое время? Конечно, мы этого не знае»г! И предсказать это невозможно. Бее, что можно сказать, — это то, что он где-то наверняка находится, но это север>пенно неопределенно, Ну хорошо, а далеко ли он все-таки уйдет? )>" скосе будет то среднее рссстсяние от бара, на котором окажется матрос? На этот вопрос мы уже ответили, потому что мы однажды уже обсу>шгали суперпозицию света от огромного числа различных источников с различными фазами, а это значит, что мы складывали огромное число стрелок, направленных по произвольным направлениям (см.
гл. 32) Тогда мы обнаружили, что средний квадрат Ф а г. йг.в. Заггагооб6гв роений путь иг Зй случайным шагов длиной Е. Ком волгло рогполажгшг тоько Згг ош ВР В р днем мо гс. расстояния от одного конца цепи беспорядочных шагов до другого (т. е. интенсивность света) равен сумме интенсивностей отдельных источников. Совершенно аналогично, используя ту яге математику, можно немедленно показать, что если Кн— векторное расстояние от начала через гу шагов, то средний квадрат расстояния от начала пропорционален числу шагов У.
Это зпачит, что <Лй>=го'г.г, где Ь вЂ” длина каждого шага. Поскольку число шагов пропорционально выделенному иам условиями задачи времени, то средний квадрат рассгполнил пропорционален времени: <Лг> = иг. (41.17) Это не означает, что среднее расстолггие пропорционально времени. Если бы среднее расстояние было пропорционально времени, то частица двигалась бы с вполне определенной постоянной скоростью.
Матрос, несомненно, идет вперед, но движение его таково, что квадрат среднего расстояния пропорционален времени. Это и есть характерная особенность случайных блужданий. Мы легко докажем, что каждым шаг увеличивает квадрат расстояния в среднем на 7 г. Если записать Кн=К,,+Е, то окаягется, что Кн равно Кн Кк=- Л~ = — Лй-, + 2К~-, ° Ь+ 7 г, а усредняя по многим попыткам, получим <Лйг>=<Лт,>+Ее, потому что <К, Ь>=0.
Такпм образом, по индунции Л', =Л(.г. (41.18) Теперь хорошо бы вычислить коэффициент а в уравнении (41.17); для этого нужно еще кос-что добавить. Предположим„ что если к частице приложена сила (она не имеет никакого отношения к броуновскому движению, просто мы подыскиваем выражение для импульса), то частица будет противодействовать силе следующим образом. Прежде всего должна проявиться инерция.
Пусть т — коэффициент инерции, аффективная масса частицы (не обязательно настоящая масса настоящей частицы, потому что если протаскивать частицу сквозь воду, то движется и вода). Повтому если мы рассматриваем движение в 60 одном направлении, то нужно обзавестись с одной стороны слагаемым л>(с(зхд(>~>). Далее подчеркнем, что, если мы толкаем частицу равномерно, она должна тормозиться жидкостью с силой, пропорциональной скорости. Кроме инерции жидкости, существует еще сопротивление течению, вызванное вязкостью и сложным строение>> жидкости. Для возникновения флуктуаций абсолютно необходимо существование необратимых потерь, нечто вроде сопротивления. Пока таких потерь нет, нет способа получить йТ.
Причина флуктуаций тосно связана с такими потерями. Мы еще обсудим, каков меланизм такого трения, мы поговорим о силах, пропорциональных скорости,и выясним, откуда они берутся. А пока давайте просто предположим, что такое сопротивление существует. Тогда формула для движения под деяствием внешней силы, если она толкает частицу самым обычным способом, выглядит так: (41.19) Неличину к можно определить экспериментально. Например, мл> ножом изучить падение капли под действием силы тяжести. Тогда известно, что сила равна н>д, ໠— зто тд, деленное на окончательно установившуюся скорость падения капли. Или можно поместить каплю в центрифугу н следить за скоростью осаждения.
А если она заряжена, то можно приложить электрическое поле. Таким образом, и — это измеряемая величина, а не какая-ниоудь искусственная вещь, и ее значение известно для коллоидных частиц многих типов. Применим зту формулу также в том случае, когда сила не внешняя, а равна беспорядочным силам броуновского движения. Попробуем определить средний квадрат пройденного телом пути. Нулем рассматривать расстоянии пе в трех, а в одном измерении и определим среднее значение х', чтобы подготовить себя к решеник> задачи. (Разумеется, среднее значение х' равно среднему у' и среднему з', поэтому средний квадрат расстояния будет втрое больше того, что мы получим.) Конечно, х-составляющая беспорядочнои силы так же беспорядочна, как и остальные компоненты.
т1ему же равна скорость изменения хз> Она равна (о>о>г)(хз)=йх(охИГ), поэтому скорость изменения среднего х' можно найти, усреднив произведенио скорости на координату. Покажем, что это постоянная величина, т. е. средний квадрат радиуса возрастает пропорционально времени, и найдем скорость возрастания. Если умножить уравнение (41.19) на х, то получимтх(о>зхЯ>з)+их(»хЯ~)=хР,. Нас интересует среднее по времени х(дх/и>), поэтому усреднпм по времени все уравнение целиком и изучим все три слагаемых. Что можно сказать о произведении х на силу? Хоть частица и добралась до точки х, последующие толчки могут быть направлены в любом направлении по отношению к х, ведь случайная сила полностью случайна и ей нет дела, откуда частица начала двигаться. Если кордината х положительна, у средней силы нет никаких оснований направиться в атом же направлении.
Для нее оно столь же вероятно, как н любое другое. Случайные силы не могут отправить частицу в определенном направлении. Поэтому среднее произведения х на Р„равно нулю, С другой стороны, слагаемому лтх(РхЯР) можно, немного повозившись, придать вид Мы разбили первоначальное слагаемое на два и должны усредннть их оба. Посмотрим, чему же равно произведение х иа скорость. Это произведение не изменяется со временем, потому что, когда частица попадает в заданную точку, она уже ие помнит, где она была раныпе, и характеризующие такие ситуации величины не должны зависеть от времени. Поэтому среднее значение этой величины равно нулю.
У нас осталось лишь лзвз, а об этой величине нам кое-что известно: среднее значение лт'(2 равно '1, йТ. Следовательно, мы установили, что (тх —,) + р, (х — ) = — (хР„) влечет за собой — (шз')-)- —, — '(х у=-О, л 2 ш или 9 (4т.20) Это значит, что средний квадрат радиус-вектора частицы <Л'> к моменту 1 равен (41.
21) (.Йзу = — бйТ— р Таким образом, мы и в самом деле можем выяснить, как далеко уйдут частицы! Сначала нужно изучить реакцию частицы на постоянную силу, выяснить скорость дрейфа частицы под действием известной силы (чтобы определить р), а тогда мы сможем узнать, далеко ли расползутся беспорядочно движущиеся частицы. Полученное нами уравнение имеет большую историческую ценность, потому что на нем основан один из первых способов определения постоянной Е Ведь в конце концов можно измерить величину р и время, определить расстояние, на которое удалится частица, и получить средние значения. Почему так важно определить точное значение й? Потому что по закону РГ=ЛТ для моля можно измерить В, которое равно произведени|о числа атомов в моле на л.
Моль когда-то определялся как столько-то гра.ялов кислорода 16 (теперь для этой цели используют углерод), поэтому числа атомов в моле сначала не зналп. Это, конечно, интересяьш и важньш вопрос. Каковы размеры атомов? Много ли их? Таким образом, одно из самых ранних определений числа атомов свелось к определению того, далеко лп уйдут мельчайшие соринки, пока мы будем терпеливо разглядывать пх в микроскоп в течение строго определенного времени. После этого можно было найти и постоянную Больцмана lс, п число Авогадро Л'ю потому что В к этому времени было уже измерено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
