Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Л раз 3 степени свободы, то надо писать Зу/гТ. Займемся теперь интегралом. Предположим, что неизвестное спектрал)ное распределение света Х(э)) — это плавная кривая, которая в тои узкой области частот, где о, имеет острый максимум, меняется не слишком сильно (фиг. 41,3).
Тогда сколько-нибудь существенный вклад в интеграл дают только частоты, близкие к а)о и отстоящие от нее на очень малую величину у. Поэтому, хотя /(ы) неизвестная и, может бьп.ь, сложная функция, важно только ее поведение около т:=о)а и можно заменить плавную кривую еще более ровной — апостоянной» вЂ” всюду одной высоты. Иначе говоря, мы просто вынесем 1(о)) из-под знака интеграла и назовем это /(ю„). Вынесем за интеграл и остальные постоянные и тогда получим — к)ое),'1 (о)о) ( —, г - — — Зу/гТ.
(41.11) 3 о ' о,) (т — тг)г -)- т»И» о Интеграл берется от О до оо, но О отстоит так далеко от <э„что кривая за зто время идет почти вдоль оси абсцисс, поэтому заменим О на — сс, разница небольшая, а интеграл взять легче. Интеграл вида ) в)х/(хо+ аг) приводит к арктангенсу. Коли взглянуть в справочник, то мы увидим, что он равен я/а.
Итак, для нашего случая это 2я/т. После небольших манипуляций мы получаем эуеут л ('ов) = 4п'се ы"- (41.12) г (со) = (41.13) Она и определяет распределение света в горячей печно. Зто так называемое излучение абсолютно гмрнаео тела. "1ерного потому, что, если заглянуть в топку печки при абсолютном нуле, она будет черной. Формула (41.13) задает распределение энергии излучения внутри ящика при температуре Т согласно классичоской теории. Отметим сначала замечательную особенность этого выражения.
Заряд осциллятора, масса осцнллятора, все частные его свойства выпали из формулы; ведь если мы достигли равновесия с одним осцнллятором, мы должны позаботиться о равновесии и с любым другим осциллятором другой массы, иначе будут неприятности. Таким образом, это важный способ проверки напюй теоремы о том, что равновесие зависит только от телелературы, а не от того, чтб приводит к равновесию. Таперь можно начертить кривую 1(гв) (фиг.
41,4), Она покаскет нам, какова освещенность прн разных частотах. В вырадкенне для интенсивности в ящике на едннкцу частоты входит, как видно, квадрат частоты; это значит, что если взвть ящик прн любой температуре, то в пем обнаруя;ится бездна ронтгеновских лучей! й1ы знаем, конечно, что это неверно, Когда мы открываем почку н заглядываем в нее, мы не портим глаз рентгеновскими лучами. Далиле — хуже, полная энергия ящика, полная интенсивность, просуммированная по всем частотап, должна быть площадью под этой уходяшей в бесконечность кривой.
Итак, здесь что-то совсем неверно в самой основе. 1(ю) аг и г. Е1.4. Рпспределение интенсивпоспж излучения черного тела при дВух гпемпературах. Ск ютные кривыв — согласно клатичекоа теории; прнктирные — настоящее ро пр делгн е. г — радио; Š— ингдракрасков; г — видимое; Š— улотрщдиол товое; д — рентгеновские арчи. Затем мы подставим сюда формулу (41.6) для у (мы уже не будем стараться писать сэ„раз это верно для любой св„то можно назвать ее просто ю), и формула для 1(св) примет вид Это значит, что классическая теория совершенно непригодна для правильного описания распределения излучения черного тела, так же каь и для описания теплоемкостей газов.
Физики ходили вокруг этого вывода, рассматривали его с различных точек зрения и не нашлки выхода. Это предсказание классической физики. Уравнение (41.13) называется законом Рэлея, предсказано оно классической физикой и до очевидности абсурдно. ф д. Равномерное 1касккЕредьчлегкгле гк хвкктккгковькгк оог(гкллялкгор '1"олько что отмеченная трудность — это еще одна сторона проблемы непрерывное~и в классической физике, она началась с непорядка в топлоемкостях газов, а потом эта проблема сконцентрировалась на распределении света в черном теле, Конечно, пока теоретики обсуждали эти вещи, производились еще и измерения настоящих кривых.
И было установлено, что правильная кривая выглядит так, как пунктирные кривые на фиг. 41,4. Никаких рентгеновских лучей там яет. Если вопи- жать температуру, то кривые приблиякаются к оси абсцисс примерно так, как того требуот классическая теория, но и при низкой температуре опытные кривыо тоже в конце обрывакотся. Таким образом, начало кривой распределения правильно описывает опыт, а ее высокочастотньш конец сбивается с, верного пути. Почему же так'. Когда Джеймс Джинс размышлял о теплоемкостях газов, он заметил, что движение, совершаемое с большой частотой, «замерзаетэ при понижении температуры.
Значит осцпллятор не мояеет ооладать средней энершкей ЕкТ, если температура слишком мала плп если частота колебаний слишком велика. Л теперь вспомним, как мы выводили (41.13). Все зависело от энергии оскккклгкятора при тепловом равновесии. Когда мы подставляли )кТ в (4!.5), это было то жо )кТ, что и в (41.13), т. е.
средняя энергия гармонического осцнллятора частоты ко прп температуре Т. Классическая физика говорит, что опа равна йТ, а экспериментотвечает: Нет! При очень низких кегшературах или при очень высоких частотах это не так. Таким образом, кривая падает по той же причине, что и течлоемкоскп газов. Кривую черного тела изучать легче, чем теплоемкости газов, где много сложностой, и мы сконцентрируем внимание на определении правильной кривой излучения черного тела, потому что эта кривая будет той кривой, которая расскажет нам, как средняя энергия гармонического осциллятора при любой его частоте зависит от температуры.
За изучение этой кривой взялся Планк. Сначала он нашел чисто эмпирический ответ, сравнивая опытную кривую с известными функциями, которые лучше всего эту кривую ))г — Е, =вод р)о — Ее=о Ел =еваг Еэ = олог Е т26ш Р тАЕХр(-4))Л)Т)гт) Рг Аехр?-Збю/кт) Рг = А екр(-2Ьо/)сТ) Р, = Аенр(-бо)/ЛТ) )' тА Ф и э. 4).5, Уровни энергии гар- ягонинеского осэиллятора. Отстоят друг от друга на рпгпих рос. стояниях Кн=-.нуи. подгоняли. Таким образом, он получил эмпирическую формулу для средней энергии гармонического осциллнтора как функцию температуры.
Иначе говоря, он заменил /сТ правильной формулой, а потом нашел простой вывод этой формулы, правда, при очень странном продположении. Это иредполоэкение состоит в том, что эарлгояический осциллятор л~ожет поглотить эа олин прием только энергию /)ьэ. После этого нельзя и подумать, что осциллятор может обладать любой энергией.
Нонечно, это было началом конца классической физики. Сейчас мы выведем порвуго правильную формулу квантовой механики. Предположим, что дозволенные уровни энергии гарлюнического осциллятора лежат на равном расстоянии Ььо друг от друга, поэтому осциллятор может обладать тольно одной пз этих энергий (фиг. 41.5). Аргументы Планка выглядят пенного сложнее наяшх, ведь это было самым началом квапторой механики, и ему приходилось кое-что доказывать. ??у, а мы просто примем как факт (который Планк н установил), что вероятность того, что занят уровень энергии Е, равна Р(Е) ==о. охр( — Е)йТ).
Исходя из этого, мы получим правильный результат. Предположим,что у вас есть мяого осцилляторов и каждый колеблется с частотой ю . Некоторые нз них находятся в низшем квантовом состоянии, другие забрались на уровень выше и т д. Нам ну'кно знать среднюю энергию этих осцилляторов. Чтобы найти ее, давайте вычислим полную энергнуо всех осцилляторов и поделим результат па их число. Тогда мы получим среднюю энергиуо на осциллнтор при тепловом равновесии, а это то же самое, что и энергия при равновесии с излучением черного тела, и ее надо подставить в уравнение (4?,?3) вместо йТ.
Пусть Л' — число осцилляторов в основном состоянии (состоянии с наименшпей энергией), Л',— число осцилляторов в состоннии К„гуг.— число осцилляторов в состоянии Е, и т. д. Согласно гипотезе (которую мы не доказали), классические выраукопия для вероятности ехр( — п. э.//сТ) нли ехр( — к. э./)тТ) заменяются в квантовой механике на ехр( — ЛЕ/йТ), где ЛЕ— разность энергий. Можно утверждать, что число осциллято- бс ров в первом состоянии Л'„равно произведению числа молекул в основном состоянии Л', на ехр( — г>ю/ЙТ).
Аналогично, Лгз(число молекул во втором состоянии) равно Лг,=Л>о ехр( — 2йа>)йТ). Чтобы упростить алгебру, введем х = ехр( — Йю))гТ). Тогда все выглядит очень просто: ЛГ,=Л',х, Л'э= Л,хй, ..., Л'„=-Лг х". Сначала найдем полную эноршпо всех осцилляторов. Если осциллятор находится в основном состоянии, его энергия нуль. Коли он находится в первом состоянии, то его энергия равна г>юр, а таких осцилляторов Л',. Значит, в этом состоЯнии запасена знеРгиЯ Лг>яю, илн ЬюЛ>ох. ЭнеРгиЯ осциллятора во втором состоянии 2>в>гоо, а осцилляторов Лг>,поэтому мы получаем такую энергию: Лгз2>>о> =.2)мооЛ>охэ и т. д.
Сложив все это, найдем полну>о энергию Е„„„=Л' г>го (О+х+2х'+Зх" +...). А сколько всего осцилляторов> В основном состоянии, конечно, Лг„в первом состоянии Л~> и т. д.; снова все сложим и получим ЛГ„, =-Л>о(1+х+хз+хо+...). Поэтому средняя энергия равна <Е) = — "-' — '".— ' ' ( '+ +"' +" ' (41 14) »в;„»в О -гх+х + . ° > Читателям представляется возможность позабавиться этими суммами и получить от этого удовольствие.
Когда вы покончите с суммированием и подставите в окончательный результат значение х, то полу и|те, если не ошнблясь <Еу = вия>> (41.15) Оо>> во> 1(ю) йо= я>в> (в ьм г >) (41.16) Эта формула была не только самой первой формулой, но и самой первой мыслью квантовой механики, н она явилась велнколопным ответом иа все недоумения предшествующих десятилетий. Максвелл уже понимал, что что-то неверно, но вопрос был в том, что же правильно> Здесь содержится количественный ответ — что хве надо взять вместо йТ. Выра>кение для энергии, конечно, стремится к йТ при ю--О или при Т-,оо. Попробуйте это доказать — здесь надо поступить так, как атому учит математика. Выражение для средней энергии содер нолт знаменитый обрезах>щнй мноя;итель, который предвидел Джинс, и если использовать его вместо йТ в (41 13), то мы получим распределение света в черном ящике: Итак, мы видим, что при больших ю кривая резко идет вниз; хотя в числителе стоит ь««, знаменатель содержит в в чрезвычайно высокой степони; на кривой нет никакого намека на подъем, н там, где мы того не ждем, не появляется ни ультрафиолетовых, нн рентгеновских лучей! Может возникнуть недовольство в связи с тем, что при выводе (41 1б«) мы пользовались квантовой теорией для уровней энергии гармонического осцпллвтора, а при определении эффективного сечения о, мы оставались верны классической теории.
Но квантовая теория взаимодействия света с гармоническим осцпллятором приводит точно к том «ке результатам, что и классическая. Это обстоятельство оправдывает то время, которое мы затратили на изучение показателя преломления и рассеяние света, основанное на представлении об атоме как о маленьком осцилляторе, — квантовые формулы получа«отея точно такими же. Теперь вернемся к шумам Джонсона в сопротивлении. Мы уже отмечалн, что теория мощности шума, по существу,— та «ке самая, классическая теория излучения черного тела.
На самом деле, как мы уже говорили, сопротивление в цепи— это не настоящее сопротивление, а похоже скорее на антенну (антенна ведь тоже похо«ка на сопротивление, она излучает энергию). Это радиационное сопротивление, и легко подсчитать излучаемую им мощность. Эта мощность равна той мощности, катару«о антенна получает от окружающего ее света, и мы должны прийти к тому же самому распределению с точностью до одного, двух множителей. Мы»южем предположить, что сопротивление — это генератор с неизвестным спектром мощности Р(м).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
