Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Если определить 7(и) так, что относительное число молекул будет просто равно площади заштрихованного участка, то полная площадь под кривой — зто все 100% молекул, т. е. 1 7(п) ди=1. (40.5) Теперь остаотся только найти это распределение, сравнив его с результатом доказанной ранее теоремы. Сначала надо выяснить, как выразить через Яи) число молекул, проходящих за 1 сек через заданную площадку со скоростью, превышающей и? Вто число не равно интегралу ) /(и) г7п (хоти это первое, н что приходит в голову), ведь пас интересует число молекул, проходящих через площадку за секунду. Болое быстрые молекулы будут пересекать площадку, так сказать, чаще, чем более медленные, поэтому, чтобы нанти число проходящих молекул, надо умножить плотность молекул па скорость.
(й)ы уже обсуждали это в предыдущей главе, когда подсчитывали число столкновений.) Полное чпсло молекул, проходящих через поверхность за время ~, равно числу молекул, способных достигнуть поверхности, а зто молекулы, проходящие к поверхности с расстоя- Ф и г. сед.й. Фуккиия раснредслсния скоростей. Заттрнкоеаннне нлаеаадо рае»о Диэдн — это откате. тельное кисло настина скорости ко нория еаклнчнни онртри оенреена дн около тонки и, ния иб Такам образом, число молекул, достигающих площадки, определяется не просто числом молекул, двиягущихся с данной скоростью, а равно этому числу, отнесенному к единице обьема, и умноженному на расстояние, которое они пройдут, прежде чем достигнут площадки, сквозь которуго они, по-видимому, должны пройти, а это расстояние пропорционально и.
Значит, нам предстоит вычислить интеграл от произведения и па )(и)ди, взятып от и до бесконечности, причем мы уже знаем, что этот интеграл обязательнодолженбыть пропорционален ехр( — пгит!2ЛТ), а постояннуго пропорциональности еще надо определить: гг! (и) ди = сопев.
е- викс г, к (40.6) Если теперь продифференцировать интеграл по и, то мы получим подьгнтегральпое выражение (со знаком минус, потому что и — это нижний предел интегрирования), а дифференцируя правую часть равенства, мы получим произведение и на экспоненту (и на некоторую постоянную). Сократим в обеих частях и, и тогда ) (и) ди =Се 'Р'ккгди, е-к' дх фГ Используя это обстоятельство, легко найти С = )к е/2ян1'.
Чтобы вычислить этот ивтсграл, положим О 1 — ) е к дк. Тогда вт ду ~ ~ е (к~+Ус ху-плоскости. Но сто можно вычпслить и в О гк ) е-кк у а вто дсойвой интеграл в полярных координатах: е ыйлгдг=л ~е ~сГ=-л. с гк с Мы оставили в обеих частях равенства ди, чтобы помнить, что это риспределение; оно говорит пам об относительном числе молекул, имеющих скорость между и и и+ди. Постояннан С должна определиться из условия равенства интеграла единице в согласии с уравпенпем (40.5).
Можно доказать с, что Поскольку скорость и импульс пропорциональны, можно утверждать, что распределение молекул по импульсам, отнесенное к единице импульсной шкалы, также пропорционально ехр( — к.э.ЯТ). Оказывается, что эта теорема верна также в теории относительности, если только формулировать ее в терминах импульсов, тогда как в терминах скоростей это уже пе так; поэтому сформулируем все в терминах импульсов: )' ( р) г? р, С Х - и. г ЗУ 7 гг р (40.8) Это значит, что мы установили,что вероятности, определяемые энергиями разного происхождения (и кинетической и потенциальной), в обоях случаях выражаются одинаково: ехр( †энерг?4Т); таким образом, наша замечательная теорема приобрела форму, весьма удобную для запоминания.
Однако пока мы говорили только о хвертикальноуа распределении скоростей. Но мы можем спросить, какова вероятность того, что молекула движется в другую сторону? Конечно, этв распределения связаны друг с другом и можно получить полное распределение, исходя из какого-то одного, ведь полное распределение зависит только от квадрата величины скорости, а не от ее г-составляющей. Распределение по скоростям не должно зависеть от направления и определяться только функцией иг — вероятностью величины скорости.
Нам известно распределение г-составляющей, и мы хотим получить отсюда распределение других составляющих. В результате полное распределение по-прежнему пропорционально схр( — к.э.ИТ), только теперь кинетическая энергия состоит из трех частев: ту,'22, туг!2 и ту',?2, суммируемых в показатоле экспоненты. Л можно записать это и в виде произведения: ) (уг~ уу ' уг) дуг г(уу дуг д ггв (40 9) г У г Вы можете убедиться в том, что эта формула верна, ибо, вопервых, распределение зависит только от гг п, во-вторых, вороятности данных у, получаются после внтегрвроваввя по всем у„и уу и зто должно привести к (40.7).
Но обоим этим требованиям удовлетворяет только функция (40.9). ф о. у "дельухьхе уметьлоемкосты хазов Посмотрим теперь, как можно проверить теорию и оценить, насколько хороша классическая теория газов. Мы уже говорили, что если У вЂ” внутренняя энергия Л молекул, то формула руг = г)?уТ = (у — 1)б? иногда и для некоторых газов может оказаться .правильной.
Мы знаем, что для одноатомного газа правая часть равна ', кинетической энергии движения центров масс атомов. В случае одноатомного газа кинетическая энергия равна внутренней энергии, поэтому у — 1 = '~'з Но предположим, что мы столкнулись с более сложной молекулой, которая может вращаться и колебаться, и предполо>кнм (в классической механике это так), что энергия внутренних движений также пропорциональны БТ. Поэтому при заданной температуре молекула, кроме кинетической энергия ЬТ, имеет внутреннюю энергию колебаннв и вращения. '1'огда полная энергия У включает не только кинетическую энергию, но и вращательную энерппо и мы получаем другие значения 1ь Наилучший способ измерения у — это измерение удельной теплоемкостн, характеризующей изменение энергии при изменении температуры. К етому способу мы еще вернемся, а пока предположим, что нам удалось экспериментально определить у с помощью кривой 1~Гт, соответствующей аднабатическому сжатию.
Попробуем вычислить у для ряда частных случаев. Прежде всего для одноатомных газов полная энергия У есть не что иное, как кинетическая энергия, и в атом случае, как мы уже знаем, у равно ",,. В качестве примера двухатомных газов рассмотрим кислород, водород, пары иода и т. д. и предположим, что двух- атомный газ можно представить как собрание пар атомов, между которыми действуют силы, похожие на те, что изображены на фиг. 40.3. Моятно также предположить, н оказывается, что это вполне законно, что при температурах, обычных для днатомных газов, пары атомов стремятся удалиться друг от друга па расстояние г, (расстоянне минимума потенциальной энергии). Если бы это было не так, и вероятность не очень сильно зависела от удаления от равновесной конфигурации, то мы оонаружили бы, что кислород есть смесь сравнимых количеств О,, и одиночных атомов кислорода.
А мы знаем, что в кислороде присутствует очень мало одиночных атомов кислорода, а это означает, что глубина потенциальной ямы значительно больше йТ, и это как раз мы и предполагалн. Но раз атомы, составляющие молекулу, прочно закреплены на расстоянии г„то нам понадобится, лишь часть потенциальной кривой вблизи минимума, готорую в этом случае можно приближенно заменить параболой. Параоолический потенциал соответствует гармоническому осциллятору, и, в самом деле, отличной моделью молекулы кислорода могут служить два соединенных пружинкой атома. Но чему же равна полная энергия молекулы при температуре Т? Мы знаем, что кинетическая энергии каждого из атомов равна 'I, йТ, так что кинетическая энергия обоих атомов равна з!.,йТ+Ч,,/сТ. Можно распределить эту энергию иначе: тогда те же самые э), плюс Чэ бУДУт выглЯДеть как кинетическаЯ энергия центра масс (Ч,), кинетическая энергия вращения 38 (',>з) и кинетическая энергия колебаний ('/,).
Известно, что на долю кинетической энергии колебаний приходится Ч„ потому что это одномерное движение, а каждой степени свободы соответствует ",,йТ. Обращаясь к вращениям, мы моягем выделить две оси вращения, что соответствует двум независимым движениям. Мы представляем себе атомы в виде точек, которые но могут вращаться вокруг соединяющей их линии. Но на всякий случай запомним о таком предположении, потому что если мы упремся где-то в тупик, то, может быть, здесь оГ>паружнтся корень зла. Нас должен интересовать още и другой вопрос: чему равна потенциальная энергия колебаний, велика ли она'.
Средняя потенциальная эноргич гармонпчесвого осциллятора равна средней кинетической энергии, т.е. также >>ЛТ. Полная энергия молекулы У = '!,йТ, пли йТ == з>,бг на атом. Вто означает, что у равно з!н а не ",'„т. е. у =- 1,286. Можно сравнить эти числа с действительно измеренными значениями у, приведенными в табл. 40.1. Взгляните сначала на гелий; это одноатомный газ, я значение у очень олпзко к отклонение от этого значения, вероятно, есть просто следствие экспериментальных неточностей, хотя при столь низких температурах между атомамп могут появиться силы взаимодействия. Криптон н аргон — еще два одноатомиых газа — также дают согласующиеся зпачеяин в пределах ошибки эксперимента.
Тьбзича 40.1 ° измкгкнныв знАчение! т ДЛЯ ГАЗЛИЧНЫХ ГАЗОВ Перейдом к двухатомным газам. Тут же обнаружится, что значение у для водорода, равное 1,404, не согласуется с теоретическим значением 1,286. Очень близкое значение дает п кислород, 1,399, но с теоретическим это снова не согласуется. Для подистого водорода у равно просто 1,40. Начинает казаться, что мы нашли общий закон: для двухатомных молекул у равно 1,40. Но нет, поглядите дальше. Для брома мы получаем 1,32, а для иода 1,30. Поскольку 1,30 довольно близко к 1,286, то можно считать, что экспериментальное значение у для иода согласуется с теоретическим, а кислород представляет собой 39 1г Ф и г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
