Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 7
Текст из файла (страница 7)
По мере падения температуры атомы сближаются, сбиваются в кучу, объединяются з жидкости, в твердые тела н молекулы, а если их подогреть, то они испаряются. Если бывает необходимо точно описать, как происходит испарение, или вообще уточнить. как молекулы ведут себя в данных обстоятельствах, то поступать следует так. Прежде всего нужно как можно точнее узнать закон взаимодействия молекул Р(г). Как зто сделать — безразлично: можно вычислить потенцнал с помощью квантовой механики нли установить закон взаимодействия зкспериментальпо.
Но если даже закон взаимодействия молекул известен, нужно все же учесть, что дело идет о миллионах молекул и нам еще придется хватить горя при изучении функции ехр( — ~')';,./йТ). Все же удивительно, что функция так проста и все как будто ясно, поскольку известен точный потенциал взаимодействия, а дело зто оказывается невероятно сложным: трудность заключается в ужасающе большом числе переменных. Но вопрос захватывающе интересен. Это один из примеров того, что называют «задачей многих тел», и он содержит много поистине увлекательных вещей.
Одна-единственная формула, которую мы получим, решив задачу, должна содержать все детали, например переход газа в твердое состояние или возмояы ные кристаллические строения твердого тела. Многие пытались ее сосчитать, но математические трудности уж очень велики, и дело не в трудности вывода общего закона, а просто в том, чтобы справиться с огромным числом переменных. Вот и все, что касается распределения частиц в пространстве. На этом, собственно, и кончается классическая статистическая механика, ибо если нам известны силы, то в принципе мы можем найти пространственное распределение, а распределение скоростей находится сразу на все случаи жизни, оно не будет меняться от случая к случаю. Основная задача состоит в получении более конкретной информации из нашего формального решения: это и является основным занятием классической статистической механики.
ф 4. Жьсы|>едслнгггго мо.геку.ь гго скороспьязь Обсудим теперь распределение молекул по скоростям, потому что интересно, а иногда н полезно знать, какая часть молекул движется с той нли иной скоростью. Чтобы выяснить это, можно использовать те знания, которые мы приобрели, когда изучали распределение газа в атмосфере. Мы считаем газ идеальным; мы предполагали это, пренебрегая взаимным притяжением атомов при расчете потенциальной энергии.
В наш первый пример мы включили лишь потенциальную энергию силы тяжести. Если бы между атомами существовали взаимные силы, то нам, конечно, пршплось бы написать что-нибудь более слон<нее. Но мы по-прежнему будем предполагать, что между атомами никаких сил нет, и на момент даже забудем о столкновениях; потом мы попытаемся найти этому оправдание. Мы видим, что на высоте Ь находится гораздо меньше молекул, чем на высоте 0 (фиг. 40.4); согласно формуле (40.1), число их экспоненциально убывает с высотой. Но почему же на большей высоте меныпе молекуль Разве не все молекулы, ькывущне на высоте О, появляются на высоте Ь? Нет! Потому что на высоте 0 есть льолекулы, движущиеся слишком медленно,и они не способны взобраться на потенциальную гору до высоты Ь. Вот и ключ к решеншо задачи о распределении молекул по скоростям; ведь, зная равенство (40.1), мы знаем число молекул, скорость которых слишком мала для достиже- ния высотыЬ.
Их ровно столько, чтобы создать нужное падение плотности при увеличении Ь. Давайте сформулируем все поточнее: подсчитаем, сколько молекул проходит снизу вверх через плоскость Ь=О (называя заданный уровень нулевой высотой, мы вовсе не считаем, что здесь пол, просто это удобнее нам для начала отсчета, и на отрицательной высоте может находиться газ). Эти молекулы газа движутся во всех направлениях, и некоторые из них проходят через нашу плоскость; таким образом, в любой момент сквозь плоскость снизу вверх проходит известное число молекул в секунду с заданной скоростью.
Затем отметим следующее: если через и обозначить скорость, необходимую для того, Ег и г. 40.4. лгысоты Ь достигают только пгг молгкулы, скорость которых на высотг Ь=О достаточно вол и ко. чтооы подняться на высоту Ь (кинетическая энергия лгиа/2= -= тоЬ), то число молекул в секунду, поднимающихся с нижней плоскости строго вверх и имегощих составляющую скорости, большую чем и, в точности равно числу молекул, пересекающих верхнюю плоскость с любой вертикальной составляющей скорости. Те молекулы, вертикальная скорость которых не превышает и, не достигают верхней плоскости. Таким образом, ьЕггсло молекул, пере- Числу молехул, пересекающгсх Ь=:=О с о,) и секающих Ь=-Ь с с ) О.
ЕЕо число молекул, пересекаюпгих Ь с любой скоростюо, большей нулл, меньше числа молекул, пересекающих нижний уровень с любой скоростью, болыпей нуля, хотя бы потому, что внизу больше атомов. Вот и все, что нам нугкно. Мы уже знаем, что распределение молекул по скоростям па всех высотах одинаково, ведь мы уже выяснили, что температура во всей атмосфере одинакова. Но поскольку распределение скоростей всюду одинаково и число атомов, пересекающих нижний уровень, больше, то ясно, что отношение п~ь(Ь) (чгисла атомов, пересекающих высоту Ь с положительной скоростью) и л „(О) (числа атомов, пересекающих с положительной скоростью высоту О) равно отношению плотностей на этих высотах, т.
е. ехр( — туЫ)сТ). Но л,(Ь) = Ь „(О), поэтому н>а(О) -спсьыг -птчссг — =с =е н>,(о) поскольку гг'гвгис=лгу)г. Теперь скажем это своими словами: число молекул, пересекающих аа 1 сек единичную площадь ЗЗ 2 ванов га 260д, оыи, ги на высоте 0 с вертикальной составляющей скорости, превышающей и, равно произведению числа молекул, пересекающих эту площадку со скоростью, большей нуля, на ехр( — тие72ЬТ).
Зто верно не только для произвольно)) высоты О, но и для любой дру~ой высоты, поэтому распределение по скоростям одинаково повсюду! (Окончательный результат не включает высоты Ь, она появляется только в промежуточных рассуя<дениях.) Это общая теорема о распределении по скоростям. В ней утверждается, что если в столбе газа просверлить крохотную дырочку, ну совсем малюсенькую, так что столкновения там будут редки и длина пробега молекул между столкновениями будет много больше диаметра дырочки, то молекулы будут вылетать пз нее с разными скоростями, но доля частиц, вылетающих со скоростью, превышающей и, равна ехр( — тиЧ2ЬТ). Теперь вернемся к вопросу о том, можно ли пренебрегать столкновениями.
Почему это не имеет значения" .Мы могли бы повторить все наши доводы, используя не конечную высоту Ь, а бесконечно малую высоту Ь, столь малую, что для столкновений между высотами 0 и Ь было бы слишком мало места. Но это не обязательно: наши доводы, очевидно, основаны лишь на анализе значений знергий и на сохранении энергии; при столкновениях же происходят обмен энергиями среди молекул.
Но нам довольно безразлично, следим ли мы за одной и той же молекулой, раз происходит лишь обмен энергиями с другой молекулой. И получается, что если мы даже сделаем это достаточно тщательно (а такую работу тщательно проделать, конечно, труднее), то результат будет тот же. Интересно, что найденное наин распределение по скоростям имеет вид (40.4) н е — к, эыг )а Этот способ описания распределения по скоростям — когда подсчитывается число молекул, проходящих через выделенную площадку с заданной минимальной г-составляющей скорости,— отнюдь не самый удобный.
Например, чаще хотят знать, сколько молекул в заданном объеме газа движется, имея з-составляющую скорости между двумя заданными значениями, а это, конечно, пз (40.4) сразу не получишь. Поэтому придадим нашей формуле удобную форму, хотя то, что мы получпли,— это весьма общий результат. Заметим, что невозможно утвероюдать, что любая молекула в гаочноети обладает той или иной наперед заданной скоростью; ни одна из них не движется со скоростью, в точности равной 1,7962899173 м/еек. Итак, чтобы придать нашему утверждению какойто смысл, мы должны спросить, сколько молекул можно найти в заданном интервале скоростей. Нам придется говорить о том, как часто встречаются скорости в интервале между 1,796 и 1,797 и т.
п. Вырагкаясь математически, пусть 7(и)ди будет долей всех молекул, чьи скорости заключены в промежутке и и и + ди, или, что то же самое (если ди бесконечно мало), долей всех молекул, имеющих скорость и с точностью до с(и. На фиг. 40.5 представлена возможная форма функции 7(и), а заштрихованная часть ширины ди и средней высоты 1(и) — это доля молекул 7(и)сlп, Таким образом, отношение площади заштрихованного участка ко всей площади под кривой равно относительному числу молекул со скоростьае и внутрп отрезка е(и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
