Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Теперь нам надо вспомнить о том, что имеется на самом деле; ведь у нас нет столкновений в системе центра масс, а сталкиваются два атома с произвольными векторными скоростями у, и уз. Что происходит с ними'. Мы поступим так: снова перейдем к системе центра масс, только теперь она движется с «усредненной по массам» скоростью тз и =-(тгу,+тзуз)?(т,+л»з). Если следить за столкновением из системы центра масс, то оно будет выглядеть так, как зто изображено на фиг.
39.3, только надо подумать об относительной скорости столкновения»у. Относительная скорость равна т †. Дело, следовательно, обстоит так: движется система центра масс, а в системе центра масс молекулы сближаются с относительной скоростью зу; столкнувншсь, онп движутся по новым направлениям. Пока все зто происходит, центр масс все время движется с одной и той я;е скоростьв> без изменений. Ну и что же получится в конце концов? Из предыдущих рассуждений делаем следующий вывод: при равновесии все направления хе равновероятны относительно направления доил«вниз центра масс *.
Это означает, что в конце концов не будет никакой корреляции между направлением относительной скорости и движением центра масс. Если бы даже такая корреляция существовала вначале, то столкновения ее бы разрушили и она в конце концов исчезла бы полностью. Поэтому среднее значение косинуса угла между зг н уз „равно нулю. Это значит, что <»з хп и > =--О. (39.
19) * Зтог аргумент, который првводвл еще Максвелл, несколько воззрев. Хотя окончательный вывод к справедлив, во оп не еледуеш вепосредстзевво вз соображевкй симметрии, которыми мы пользовались раньше. Ведь перейдя к движущейся через газ системе отсчета, мм можем обнаружить искаженное распределепве скоростей.
Мы ве смогли найти простого доказательства этого результата. 18 (ч1 — 1 2) (п11ч1 + т чг) ч. и. и. 1п, + 1ае (тзе — т, е„)+(те — т1)(1 ° ч ) (39.20) т +т Займемся сначала ч, ч,; чему равно среднее ч ч«3 Иначе говоря, чему равно среднее проекции скорости одной молекулы на направление скорости другой молекулы) Ясно, что вероятности движения молекулы как в одну сторону, так и в противоположную одинаковы. Среде«ее значение скорости чг в любом направлении равно нулю.
Поэтому и в направлении ч, среднее значение чг тоже равно нулю. Итак, среднее значение ч, ча равно нулю! Следовательно, мы пришли к выводу, что среднео ттьг должно быть равно т о',. Это значит, что средние кинетические энергии обеих молекул должны быть равны: 1 2 1 2 —,ело1= — т о,. 1 2 2 (3(3. 21) Если газ состоит иа атомов двух сортов, то можно показать (и мы даже считаем, что нам удалось это сделать), что средние кинетические энергии атомов каждого сорта равны, когда газ находится в состоянии равновесия. Зто означает, что тяжелые атомы движутся медленнее, чем легкие; это легко проверить, поставив эксперимент с «атомами» различных масс в воздушном желобе.
Теперь сделаем следующий шаг и покажем, что если в ящике иметотся два газа, разделенные перегородкой, то по мере ласти>кения равновесия средние кинетические энергии атомов разных газов будут одинаковы, хотя атомы и заключены в разные ящики. Рассуждение можно построить по-разному. Например, можно представить, что в перегородке проделана маленькая дырочка (фиг. 39.4), так что молекулы одного газа проходят сквозь нее, а молекулы второго слишком велики и ке пролезают.
Когда установится равновесие, то в том отделении, где находится смесь газов, средние кинетические энергии молекул каждого сорта сравняются. Но ведь в числе проникших сквозь дырочку молекул есть и такие, которые не потеряли при этом энергии, поэтому средняя кинетическая энергия Ф и г. 89. а. Два еаза в к1цике, разделенном пол у прон и чаемой перегородкой. 19 Скалярное произведение тч ч„„легко выразить через ч, и чг. молекул чистого газа должна быть равна средней кинетической энергии молекул смеси.
Это не очень удовлетворительное доказательство, потому что ведь могло и не быть такой дырочки, сквозь которую пройдут молекулы одного газа и не смогут пройти молекулы другого. Давайте вернемся к задаче о поршне. Можно показать, что кинетическая энергия поршня тоже должна быть равна '/, тгг',. Фактически кинетическая энергия поршня связана только с его горизонтальным движением. Пренебрегая возможным движением поршня вверх и вниз, мы найдем, что горизонтальному движению соответствует кинетическая анергия '/, тго'„-, Но точно так же, исходя из равновесия на другой стороне, можно показать, что кинетическая энергия поршня должна быть равна '/г тго1„. Хотя мы повторяем предыдущее рассуждение, возникают некоторые дополнительные трудности в связи с тем, что в результате столкновений средние кинетические энергии поршня и молекулы газа сравниваются, потому что поршень находится не внутри газа, а смещен в одну сторону.
Если вас не удовлетворит и это доказательство, то можно придумать искусственный пример, когда равновесие обеспечивается устройством, по которому молекулы каждого газа бьют с обеих сторон. Предположим, что сквозь поршень проходит короткий стержень, на концах которого насажена по шару. Стержень может двигаться сквоаь поршень без трения.
По кано дому нз шаров со всех сторон бьют молекулы одного сорта. Пусть масса нашего устройства равна т, а массы молекул газа, как и раньше, равны т, и т,. В результате столкновений с, молекулами первого сорта кинетическая энергия тела массы т равна среднему значению '/, т,»1 (мы уже доказали это). Точно так же, столкновения с молекулами второго сорта ааставляют тело иметь кинетическую энергию, равную среднему аначению '/г тго',. Если газы находятся в тепловом равновесии, то кинетические энергии обоих шаров должны быть раен»и Таким обрааом, результат, доказанный для случая смеси газов, можно немедленно обобщить на случай двух разных газов при одинаковой температуре. Итак, если два газа имеют одинаковую телспературу, то средние кинетические энергии молекул этих газов в системе центра масс равны. Средняя кинетическая энергия молекул — это свойство только «температуры». А будучи свойством «температуры», а не газа, она молсет служить определением температуры.
Средняя кинетическая энергия молекулы, таким образом, есть некоторая функция температуры. Но кто нам подскажет, по какой шкале отсчитывать температуру? Мы можем сами определить 2о шкалу температуры так, что средняя энергия будет пропорциональна температуре. Лучше всего для этого наавать «температурой» саллу среднюю энергию. Зто была бы самая простая функция, но, к несчастью, зту шкалу уже выбрали иначе и вместо того, чтобы назвать энергию молекулы просто «температурой», используют постоянный множитель, связызаюгдий среднюю энергию молекулы и градус абсолютной температуры, или градус 1(ельвина.
Этот множитель: (г = 1,38.10 " длс на каждый градус 1(ельвнна». Таккм образом, если абсолютная температура газа равна Т, то средняя кинетическая энергия молекулы равна '/» кТ (множитель»/г введен только для удобства, благодаря чему исчезнут множители в других формулах). Заметим, что кинетическая энергия, связанная с составляющей движения в любом направлении, равна только '/л йТ. Три независимых направления движения доводят ее до»/, ЙТ. ф о. 3<лион идеи.аьного гизи Теперь можно подставить наше определение температуры в уравнение (39.9) и найти закон зависимости давления газа от температуры: произведение давления на объем равно произведению полного числа атомов на универсальнуло постоянную Й и температуру: Р$' = — Л'к Т. (39.22) Следовательно, при одинаковых температуре, давлении и объеме число атомов строго определено — это тоне универсальная постоянная! Таким образом, из законов Ньютона следует, что в равных объемах любых газов при одинаковых температуре и давлении содержится равное число молекул.
Вот какой неожиданный вывод! На практике, когда имеешь дело с молекулами, приходится оперировать большими числами, поэтому химики произвольно выбрали число, очень болшпое число, и придумали ему специальное название. Они назвали его моль. Моль — это очень искусственное число. Почему хил«или не приняли за единицу 10'«, чтобы вышло круглое число,— это вопрос исторический. Случилось так, что они для удобства выбрали стандартное число У«=6,02 10" объектов и назвали зто число молем объектов.
После этого, вместо того чтобы измерять число молекул в штуках, они измеряют их в молях*«. Можно написать " Стоградусвая шкала — зто шкала Кельвин«, з которой за куль пркзята температура 27236', так что Т=2223«6+стогрздуслгая температура. «* То, что химики вагиз»ют молекулярным весом, есть не что ивов, как масса моля молекул з граммах. Моль определяется так, что масса моля атомов изотопа углерода »2 (ядра которого состоят кз 6 протовов в 6 нейтронов) равна в точзостн »2 г. число молей (выражая их через д'о) и умножить его на число атомов в моле, потом умножить ва йТ, а затем, если захотим, выделить произведение числа атомов в моле на ?с, тогда получится молярное значение ?с; для этой величины выделим особую букву Л. 3?олярное значение ?с равно 8,3?7 дж: Л = — ст'о/с -=.
=8,31 7дж/моль ? К '. Таким образом мы нашли газовый закон, выраженный в виде произведения числа молей (его обозначают буквой Л") ка ЛТ, или в виде произведения числа атомов на ?сТ: РУ = Л?Л Т. (39. 23) Смысл тот же самый, только единицы измерения разные. В качестве единицы мы используем ?, а химики используют 6 ° 10св! Сделаем еще одно замечание по поводу газового закона; оно касается вещей бочее сложных, чем одноатомные молекулы. Пока мы имели дело только с движением одноатомного газа в центре масс. Л что если кри этом учесть действие сил? Рассмотрим сначала случай, когда поршень удерживается горизонтально расположенной пружинкой, на которую действует сила. Взаимная встряска атомов и поршня в каждый данный момент, конечно, не зависит от положения поршня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
