Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Условия ?авновесия остаются прежними. ??езависпмо от того, где паходится поршонь, от него требуется только, чтобы скорость его движении была такой, чтобы он получал от молекул столько же энергии, сколько отдавал нм. Наличие пружинки не меняет дела. Скорость, с которой движется поршенси в среднем та же. Таким образом, наша теорема о том, что средняя кинетическая энергия в одном направлении равна '?.?сТ, справедлива независимо от того, есть силы или ик нет. Рассмотрим, например.
двухатомную молекулу, составленную иэ атомов с массами тл и тв. Нам удалось доказать, что движение в центре масс части А и части В таково, что ('?,тл ь;"„> .= — ('/ствол> =- з?.?сТ. Но как это может быть, если отдельные части связаны друг с другом? Хотя они и связаны между собой, но обмен энергией при взаимных вращениях, изменении расстояния и соударениях с другими молекулами зависит только от того, как быстро оки движутел.
Только этим определяется обмен энергией при соударещтях. Сила в каждый отдельный момент не имеет никакого значения. Следовательно, даже если между отдельными частями молекулы действую~ силы, верен тот же принцип. Докажем, наконец, что газовый закон справедлив и в том случае, когда внутреннее движение пе учитывается. До сих пор нам не надо было включать внутреннее движение. Мы просто рассматривали одноатомный газ.
Но теперь мы покажем, что скорость центра масс любого объекта, который можно рассмат- ривать как тело массы М, равна (39.24) Иначе говоря, можно рассматривать как отдельные части, так и всю молекулу в целом! Посмотрим, почему зто мо,кно делать: масса двухатоггной молекулы равна М вЂ”.— тз+лгз, а скорость центра масс равна г„„=(лгзтз+лгвтв)/М. Нам нужно теперь определить <гц „, >.
Если возвести в квадрат»„„, то получится ггг г:, т йвглтдтз.тд+т г г .2 г,й г,,„,—— Ю Л1'-' Ух!нежив зто яа '/,М и усреднив, получим $,г г мд (г аТ Ь2тлзгв<ъ л чз>+згггг!г ггТ Ц М. г!гЬТ + 2тлтв <тл тв', з! (Мы воспользовались тем, что (лгз -,' гпв)/М =.1.) Л чему равно <тз.тв>2 (Хорошо бы, чтооы зто было равно нулю!) Чтобы найти это среднее, используем наше предположение, что относительная скорость» =- »з — тз не предпочитает какое-то одно определенное направление остальным, т. е. средняя составляющая вдоль любого направления равна нулю. Мы предполагаем, следовательно, что <»»„„> =-О.
Но что такое гт тз,? Ото скалярное произведение, равноо (тз — тв) (гзхтл+ гав»в) гт ° г Н. Л1. гм ~азу г — (-(гчз — тд) (тл ъв) — мзгв Далее, поскольку <тдвз> = <твгв>, то первый н последний члены взаимно уничтожаются, и мы получаем ( „— лгг) < „- >=-О. Итак, если тз зь тз, то <ъз.»в> = О, а это означает, что жесткому движению всеи молекулы, рассматриваемоя как одна частица массы М, соответствует средняя кинетическая энергия, равная з/,й Т.
23 Одновременно мы доказали, что средняя кинетическая виергия внутреннего движения двухатомной молекулы, если не учитывать движения центра масс, равна з/зйТ! Ведь полная кинетическая энергия отдельных частей молекулы равна '/зтэга+'/,твгв, а среднее ее значение — зто '/зйТ+'/,ЙТ, илп ЗИТ. Кинетическая энергия движения центра масс равна э/з/сТ, так что средняя кинетическая энергия вращательного и колебательного движений двух атомов внутри молекулы— это разность этих величин, '/,/тТ, Теорема о средней энергии центра масс — зто весьма общая теорема: для каждого объекта, рассматриваемого как единое целое, независимо от того, действуют на этот объект силы или нет, средняя кинетическая энергия каждого независимого движения равна '/зЬТ.
Эти «независимые направления движенияа иногда называют степенями свободы системы. Число степеней свободы молекулы, составленной из г атомов, равно Зг, потому что для определения положения каждого атома нужны три координаты. Полную кинетическую энергию молекулы можно представить либо как сумму кинетических энергий отдельных атомов, либо как сумму кинетической энергии движения центра масс п кинетической энергии внутренних движений. Последнюю иногда можно представить как сумму кинетической энергии вращений и кинетической энергии колебаний, но это мо;кно сделать только приближенно.
Наша теорема, если применить ее к г-атомной молекуле, гласит, что средняя кинетическая энергия молекулы равна '/хгйТ дж, из которых а/. йТ вЂ” кинетическая энергия движения молекулы как целого, а остаток з/,(г — 'т'//тТ вЂ” это внутренняи кинетическая энергия вращений и колебаний. Гла вгг 40 ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИЕХАНИКИ ф. 1. Экепоненциальная атггоефера ф 2. Закон Больцмана ф 1.
Энспотгенггггальная апг иос4ертг ф 3. Испарение жидкости ф 4, Распределенно молекул по скоростям ча б Удетьны теплоемкостп газов Яз 6. Поражение ьтаесичеекоп физики Мы уже изучали некоторые свойства большого числа сталкивающихся атомов. Наука, которая занимается этим, называется кинетической теорией, и она описывает свойства вещества, рассматривая, как сталкиваются атомы. Мы утверждаем, что все свойства вещества в целом можно объяснить, рассматривая движение отдельных его частей.
Пока мы ограничимся случаем теплового равновесия, т. е. всего лишь подклассом всех явлений природы. Законы механики, применяемые в условиях теплового равновесия, получили название статистической механики, н в этой главе вы немного познакомитесь с некоторыми основными теоремами этой науки. Одна теорема статистической механики вам уже известна. Согласно этой теореме, для любого движения прн абсолютной температуре Т средняя кинетическая энергия каждого независимого движения (кагкдой степени свободы) равна '),АТ.
После этого нам становится кое-что известно о среднем квадрате скорости атомов. Теперь нам необходимо узнать чуть побольше о координатах атомов, чтобы выяснить, много ли их находится прн тепловом равновесии в той или иной точке пространства, а также немного подробнее изучить распределение атомов по скоростям. Хотя мы знаем, чему равен средний квадрат скорости, мы все я'е не можем ответить на вопрос, сколько атомов обладают скоростью, в три раза большей, чем корень кз среднего квадрата скорости, или скоростью, равной одной четверти корня из среднего квадрата скорости. А вдруг все атомы имеют одинаковую скорость1 Ф и в.
йр. е, Равновесие в атмвсузере с постоянной пумнературой. Лавиние на ансон е Ь должно превосзодитв давление на ви оте Ь'аа на вес занлшеезвз~ого между зти.ни уровнями еаза. Стерн енв и шарипа еиравнивашзп пвнпсратеру, йпдРзвВНЬ Итак, вот два вопроса, на которые мы попытаемся дать ответ: 1) Как атомы располагаются в пространстве, когда ва них действуют силы? 2) Каково распределение атомов по скоростям? Заметим, что это два совершенно независимых вопроса и что распределение по скоростям всегда одинаково. Этого можно было ожидать после того, как мы вылснили, что средняя кинетическая энергия степени свободы всегда равна '/в АТ, независимо от того, какие силы действуют на молекулы.
Распределение по скоростям молекул не зависит от сил,потому что силы не влияют на частоту столкновений. Давайте начнем с примера распределения молекул в атмосфере, подобной той, в которой мы живем,но без ветра или других каких-либо возмущений. Предположим, что мы имеем дело с довольно высоким столбом газа, находящегося в тепловом равновесии (не так, как в настоящей атмосфере; в ней, как известно, по мере подъема вверх становится холоднее).
Укажем здесь, что нарушение равновесия в случае разницы температур на равных высотах можно продемонстрировать, поместив в столб газа гйеталлический стержень так, что его концы соприкасаются с маленькими шариками (фиг. 40.1). Пижние шарики, получая от молекул газа энергию '/взсТ, передают ее через стержень верхним шарикам и встряхивают их; верхние шарики в свою очередь будут встряхивать соприкасающиеся с ними наверху молекулы. В конце концов, конечно, температура на разных высотах гравитационного поля станет одинаковой. Нам предстоит найти закон, по которому происходит раврежение атмосферы по мере подъема вверх, когда температура на всех высотах одинакова.
Если уу — полное число молекул в объеме Г газа с давлением Р, то Р7 = Д>ЬТ, или Р = пЬТ, где и — число молекул в единичном объеме. Иначе говоря, если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот: давление и плотность пропорциональны друг другу, ведь температура в нашем случае постоянна. Но давление не может быть постоянным: с уменынением высоты оно должно возрастать, потому что нижнему слою приходится, так сказать, выдерживать вес всех расположенных сверху атомов. Теперь можно определить, как давление меняетсн с высотой. Если на высоте Ь выделить площадку единичной площади, тона зту площадку снизу будет действовать сила, равная давлению Р. Если бы не было силы тяжести, то на площадку на высоте Ь + вЬ действовала бы сверху вниз точно такая же сила.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
