Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Но в нашем случае это не так: действующая снизу сила должна превосходить силу, действующую сверху, на величину, равную весу газа, заключенного между слоями Ь и Ь+>)Ь. На каждую молекулу действует сила тяжести тд, где д — ускорение силы тяжести. В интересующем нас слое находится п»Ь молекул. Это приводит к такому дифференциальному уравнению: Ра,зз — Р>, —— — с>Р =.—. — в>дпйь. Поскольку Р =- иЬТ, а Т вЂ” постоянная, то можно избавиться или от Р, или от и. Исключим пз уравнений Р; тогда получим Ыа тя — =- — —,, >г, а.
Ьт Это дифференциальное уравнение говорит нам, как убывает плотность по мере увеличения высоты. Мы располагаем теперь дифференциальным уравнением для плотности частиц и, которая меняется с высотой, но меняется так, что производная пло>ности пропорциональна себо самой. Функция, производная которой пропорциональна себе самой, — это экспоненцнальная функция н, значит, решение дифференциального уравнения имеет вид (40.>) и = — л е->>ззмт о Здесь постоянная интегрирования и,— плотность на высоте Ь = 0 (которую можно аадать произвольно); с высотой плотность экспоненциально убывает. Заметим, что если имеется несколько сортов молекул с разными массами, то число их убывает по разным экспонентам.
Число более тяжелых молекул убывает с высотой быстрее, чем число легких молекул. Поэтому можно ожидать, что раз кислород тяжелее азота, то по мере подъема вверх относительное содержание азота в ать>осфере (смеси азота и кислорода) будет возрастать. В нашей атмосфере, во всяком случае на доступных высотах, этого фактически не происходит, ибо вследствие воздушных возмущений газы вновь перемешиваются. Ф и г. 40. У. сгормировагснаа плотность нан сдрнкциа еысоогы в гравитационном ноле Земли дла кислорода и водорода ири постоянной температуре.
т ОВ Д4 ОД О 20 40 ВО ВО Вьтото, км Ведь это же не изотермическая атмосфера. Тем не менее на больших высотах преобладают очень легкие газы, например водород, так как молекулы легких газов способны забраться на такую высоту, где все остальные экспоненты уже вымрут (фиг. 40.2). ф М. Закон Болат(мата Отметим здесь тот факт, что числитель показателя экспоненты в равенстве (40.ь) — это потенциальная энергия атома. Поэтому мегино в нашем случае сформулировать закон следующим образом: плотность в кагкдой точке пропорциональна Е-п.одо Г где п.э.
— потенциальная энергия отдельного атома. Возможно, что это случайность и этот закон справедлив только в частном случае однородного гравитационного поля. Однако можно показать, что это весьма общее утверждение. Предположим, что на молекулы газа действуют какие-то иные, не гравитационные, силы. Например, молекулы обладают электрическим зарядом, а тогда они реагируют на электрическое поле или на другой заряд, притягивающий их. А может быть, в результате взаимного притяжения атомов друг к другу или к стенкам, или к какому-нибудь твердому телу, или еще к чему-то существуьот какие-то силы притяжения, которые зависят от взаимного расположения молекул и действуют на все молекулы. Предположим теперь для простоты, что все молекулы одинаковы и что сила действует на каждую отдель- Р=)стоЂ ()в и) а (40.2) Теперь заметим, что — Рс)х — это работа, которую надо совершить для переноса молекулы из х в х + ссх, и если сила Р произошла нз потенциала, т, е.
работу можно онисынать с помощью потенциальной энергии, то нужную нам величину можно считать изменением потенциальной энергии (п. э.). Отрицательное изменение потенциальной энергии — это произведенная работа Рссх, так что с((1пп) = — с( (п. э.)/)сТ, или после интегрирования п = (ностоянная) с " " (40.3) Таким образом, то, что нам удалось заметить в частном случае, справедливо вообще.
(А что если Р не происходит из потенциала? Тогда (40.2) просто-напросто не имеет решения. Б этом случае, после того как какой-нибудь атом опишет замкнутый путь, вдоль которого полная работа не равна нулю, энергия либо прибавится, либо убавится и равновесие никогда не установится. Температурное равновесие невозможно, если внешние склы, действующие яа газ, не консервативны.) Уравнение (40.3) известно под названием закона Больцмана.
Это еще один из принципов статистической механики: вероятность найти молекулу в заданной точке заданной пространственной конфигурации изменяется экспоненцнально, причем показатель экспоненты состоит из потенциальной энергии в заданной пространственной конфигурации, взятой с обратным знаком и деленной на )сТ. Таким образом,мы знаем кое-что о распределении молекул.
11редположим, что в нашем распорялсенни имеется плавающий в жидкости положительный ион; он притягивает окружающие его отрицательные ионы. Много ли их окансется на разных расстояниях от положительного иона? Если нам известно, как зависит от расстояния потенциальная энергия, то отношение ную молекулу, так что полная сила, действусощая на произвольно выделяемую часть газа, равна просто произведению числа молекул на силу, действующую на одну молекулу.
Дело совсем упростится, если выорать систему координат так, что сила Г будет действовать вдоль оси х. Так же, как и раньше, рассечем газ двумя параллельными плоскостями, промежуток между которыми равен с)х. Тогда сила, действующая на каждый атом, умноженная на число атомов в 1 см' (обобщение прежнего птй) и умноясенная на с)х, должна сбалансировать изменение давления: Рпсх = с(Р =- = )сТссп. Или, придав этому закону другую форму, которая пригодится позднее, запишем: чисел ионов на равных расстояниях определяется полученным нами законом. Этому закону можно найти еще много других применений.
ф 3. Исиаретьме этгтвдкосттв В менее элементарной статистической механике пытаются решить следующую важную задачу. Предположим, что имеется совокупность притягнвающнхся друг к другу молекул и сила между любыми двумя молекулами, скаяоем г-и и )-й, зависит только от расстояния между ними г, и может быть представ- 1/ лена в виде производной от потенциальной энергии)г(г,,). На фиг. 40.3 показан возможный вид такой функции.
Если г„мго, то при сближении молекул энергия уменьшается, поэтому молекулы притягиваются; если же молекулы сближаются еще теснее, энергия очень резко возрастает, значит, на малых расстояниях молекулы сильно отталкиваются. Таково в общих чертах поведение молекул. Предположим теперь, что мы заполнили этими молекулами какой-то ящик и хотим знать, как они там уместятся в среднем. На это даст ответ выражение ехр( — п. з./ЙТ). В этом случае полная потенциальная энергия, если предположить, что молекулы взаимодействуют только попарно, равна сумме всех парных энергий (в более сложных случаях могут встретиться н тройные силы, но электрические силы, например, парные).
Поэтому вероятность того, что молекулы образуют конфигурацию, характеризуемую заданными комбинациями расстояний г,, пропорциональна Если температура очень высока, так что яТ)>~ Г(го) ), то экспонента почти всюду мала, и вероятность найти молекулу в том или ином месте почти не зависит от расстояния до других молекул, Рассмотрим случай двух молекул; в атом случае ехр ( — п.э.))гТ) будет вероятностью найти молекулы на расстоя- Ф и г.
40. д. Кривая иотенчиальной онереии для двия молекул. Потениио ьн е и рги еоеигит толь ко от раеетолния. ЗО нии г друг от друга. Ясно, что вероятность максимальна тогда, когда потенциал наиболее отрицателен, а когда потенциал стремится к бесконечности, вероятность почти равна пулю (зто происходит на очень малых расстояниях).
Это означает, что у атомов газа нет шансов столкнуться друг с другом, уж очень сильно они отталкиваются. Но очень велики шансы найти зги молекулы (если отнести вероятность к единичному объему) вблизи точки г,. Здесь вероятность болыпе, чем в других точках, но насколько болыне — зто зависит от температуры. Если температура очень велика по сравнению с разностью знергий в точках г = г и г = со, то экспонента всегда почти равна единице. Это случай, когда средняя кинетическая знергия (она порядка йТ) значительно превосходит потенциальную энергию.
Силы тогда мало что значат. Но с паденкем температуры вероятность найти молекулы на расстоянии, близком к г,, резко возрастает по сравнению с вероятностью найти молекулы в любом другом месте; и в самом деле, если йТ много меншие (У(г,) ~, то около г, зкспонента имеет довольно большой положительный показатель. Другими словами, при заданном объеме молекулы предпочитают быть на расстоянии минимальной знергни, а пе очень далеко друг от друга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
