Фейнман - 04. Кинетика. Теплота. Звук (1055665), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Можно об этом сказать и иначе: если предоставить поршень самому себе, то он за счет бомбардировки наберет скорость и с каждым ударом будет подталкиваться и двигаться с ускорением. Быстрота изменения скорости поршня, или ускорение, пропорциональна действующей силе. Таким образом, сила, которую мы определили как произведение давления на площадь, равна импульсу, сообщенному поршню за 1 с«к всеми молекулами внутри ящика. Подсчитать импульс, передаваемьш поршню за 1 сел, легко; мы сделаем это в два этапа: сначала определим иьшульс, переданный одним атомом при столкновении с поршнем, а потом умножим эту величину на число соударений атомов с пор«пнем за 1 сев. Сила и будет произведением этих двух величин. Займемся теперь этими величинами: предположим сначала, что поршень — это идеальный «отражательз атомов.
Если это не так, то вся наша теория рухнет — поршень начнет нагреваться и произойдет много всяких событий, предсказать которые мы не в состоянии. Однако, когда снова установится равновесие, в результате окажется, что каждое столкновение будет эффективно упругим. В среднем энергия приходящих и уходящих частиц не изменяется. Таким образом, предположим, что газ находится в равновесии и поршень, будучи неподвижным, энергии не поглощает. В этом случае частица, подлетевшая к поршню с определенной скоростью, улетит от него с той же скоростью, причем масса частицы не изменится. Если ч есть скорость атома, а эл — составляющая скорости вдоль оси х, то импульс «к поршню» равен тс„, но раз частица «отражается», то импульс «от поршня» равен той же величине; значит, за одно соударенне поршьью сообщается импульс 2ьпсл. Нужно теперь подсчитать число соударений атоиа за 1 сек; для этого можно ваять любой промежуток времени«(ь', а потом разделить число соударений на ь?!.
Много ли атомов попадает за это время в цель? Предположим, что в объеме Г заключено Л' атомов, т. е. в каждом единичном объеме имеется и = Х/)ь атомов. Теперь заметим, что за время ь' достигнут поршня не все частицы, движущиеся к поршню с заданной скоростью, а только те, которые оказались достаточно близко от него.
Если частицы были очень далеко, то, хотя они и стремятся к поршню, к сроку они пе успеют. Таким образом, за время» о поршень ударятся лишь ге частицы, которые в начальный момент были не дальше чем на расстоянии э,.~ от него. Следовательно, число соударений за время ! равно числу атомов, находящихся на расстоянии, не превышающем о„.8, а поскольку площадь поршня рэвна А, то атомы, которые со временем попадут в цель, занимают объем Ао„г. А число атомов, попавших в цель, равно произведению объема на число атомов в единичном объеме по„А«'.
Но нас, конечно, интересует не число соударений за время ь', а мы хотим знать число соударений за 1 сек, поэтому мы делим на г и получаем пэ„А. (Время ! может быть взято очень малым, для красоты можно писать с(ь' и затем дифференцировать, но это все одно и то н<е.) Итак, мы нашли, что сила равна Р =- пьь„А ° 2то„. (39.3) Обратите внимание, что если фиксировать плотность частиц, то сила оказывается пропорциональной площади! После этого давление найти очень просто: Р = 2пто„'. (39.4) Теперь надо исправить кое-какие неточности: прежде всего не все молекулы имеют одну и ту же скорость и не все они движутся в одном направлении, так что нам приходится иметь дело с равными г'! Каждая молекула, ударяясь о поршень, вносит свой вклад, поэтому надо взять среднее по всем молекулам.
Сделав это, мы получим Р = пт <о~). (39.5) Л не забыли ли мы множитель 2? Нет, пото»«у что лишь половина атомов движется к поршню. Другие летят в противоположную сторону, а усредняя по э„, мы усредняем как по положительным, так и по отрицательным составляющим и„. !О Если просто усреднить по г'„, получится вдвое большип результат. Среднее г„для положительных г„равно половине л среднего г„' для всех атс Но атомы прыгают в ящике как хотят, и поэтому ясно, что «х-направлениеа для них ничем не отличается от любого другого; они движутся куда угодно: вправо — влево, вверх — вниз, взад — вперед. Поэтому (и«„> (средний квадрат скорости движения в одном направлении) равен среднему квадрату скорости в любом другом направлении (гк> — с а«> (гг>. (39.6) Используем это обстоятельство для небольшого математического трюка и обнарун.им, что кая«дый нз членов в (39.6) равен их сумме, деленной на три, а сумма — это квадрат величины скорости: (39.7) (в,> =- —.
(г„-ь ю + г,> = —. в Это очень хорошо, потому что теперь уже не надо заботиться о координатных осях, и формулу для давления можно записать в виде (39.8) Мы выделили множитель (тг'/2>, потому что это кинетическая энергия движения молекулы как целого, Итак, мы нашли (39.9) Если мы будем знать скорость молекул, то очень быстро подсчитаем давление.
В качестве простого примера можно описать такие газы, как гелий, пары ртути или калия при достаточно высокой температуре илн аргон; это одноатомные газы, для которых можно считать, что их атомы не имеют внутренних степеней свободы. Если нам попадется сложная молекула, то в ней могут быть всевозможные внутренние движения, всякого рода колебания и т. д. Мы предполагаем, что можно не принимать их в расчет; но моткно ли это делать — вопрос сложный и мы к нему вернемся; в действительности для нашего случая это окажется допустимым.
Итак, предположим, что внутреннее движение атомов можно не рассматривать, и поэтому кинетическая энергия движения молекулы как целого восполняет всю энергию. Для одноатомного газа кинетическая энергия — действительно полная энергия. Будем обозначать полную энергию буквой У (иногда ее называют полной внутренней энергией, как-будто Н у гава может быть какая-то внешняя энергия), т. е. всю энергию всех молекул газа или любого другого объекта, В случае одноатомного газа мы предположим, что полная энергия У равна произведению числа атомов на среднюю кинетическую анергню каждого из лих, потому что мы пренебрегли возможным воабуждением атомов или какими-то внутриатомными движениями. Тогда Р7 = — (/.
(39.10) Немного задержимся и ответим на такой вопрос: предположим, что мы медленно сжимаем газ; каким должно быть давление, чтобы сжать газ до заданного объемаб Определить зто легко, так как давление есть энергия, деленная на объем. Но когда газ сжимается, производится работа и поэтому энергия газа (/ воарастает. Процесс сжатия описывается неким дифференциальным уравнением. В начальный момент газ занимает определенный объем н обладает определенной энергией, поэтому нам известно и давление. Как только мы начинаем сжимать гаа, энергия (/возрастает, объемГуменьшается, а как изменяется давление, нам еще предстоит узнать.
Итак, нам предстоит решить дифференциальное уравнение. Сейчас мы зто сделаем. Однако подчеркнем сначала, что, с;кимая газ, мы предполагае»ц что вся работа уходит на увеличение энергии атомов газа. Вы спросите: «А необходимо ли на этом останавливаться? Куда»ке еще она может уйти?» Но оказывается, что затраченная работа может уйти и в другое место. Энергия может «вытечь» из ящика сквозь стенки: горячие (т. е. очень быстрые) атомы при бомбардировке будут нагревать стенки ящика н энергия выйдет наружу. Но мы предполагаем, что в нашем случае этого не происходит. Сделаем небольшое обобщение, хотя и в этом случае мы будем рассматривать лишь очень частный случаи: запив«ем вместо л' =-'/ (/ Р =-(у-1)(7. (39.11) Энергия «/ умножается на (у — 1) для удобства, потому что в дальнейшем нам придется иметь дело с газами, для которых множитель перед «/ равен не '/„а какому-то другому числу.
Чтобы можно было описывать и такие случаи, запишем этот множитель так, как его обозначают почти сто лет. Тогда в нашем случае одноатомного газа, такого, как гелий, у='/,, потому что '/,— 1= —.'/». Мы уже говорили, что совершаемая при сжатии газа работа равна — Рг»7. С»катие, при котором тепло не поглощается и не выделяется, нааывается адиабатическим сн«атием; зто слово образовано из трех греческих слов: а(яе) + »На(ск«оэь) + Ьа(- 12 пе1п(проходить). (Слово адиабатический употребляется в физике в разных смыслах, так что не всегда можно понять, что между ними общего.) При адиабатическом сжатии вся затраченная работа уходит на изменение внутренней энергии. Вот в этом и смысл, что нет потерь энергии и, значит, Рд)т = — дУ. ЕТо поскольку ТТ =. РУ(у — 1, то можно записать ц, рлу+улр у — 1 Итак, РЛ' =- — (Рс(Г+ ас)Р)уу — 1 или, приводя подобные члены, получаем уРс(У = — ТтдР, илн (39.13) Ясли мы примем, что у постоянна, а зто так в случае одно- атомных газов, то уравнение интегрируется и мы получаем у1пТт + 1пР = 1пС, где С вЂ” постоянная интегрирования.
Переходя к степеням, мы получаем такой закон: Р)ст =- С (постоянная). Иначе говоря, если выполнены условия адпабатнчности, т. е. потерь энергии нет и газ при сжатии нагревается, то в случае одноатомного газа произведение объема на давление в степени а/а есть величина постоянная! Этот результат мы получили чисто теоретически, но опыт показывает, что и в действительности все происходит именно так. ф З.
Сжталсаелаостпь зхзлументля Т1риведем еще один пример из кинетической теории газов; он не особенно интересует химпков, яо очень важен для астрономов. Внутри нагретого до высокоп температуры ящика имеется огромное число фотонов. (В качестве такого ящика надо взять очень горячую звезду.
Солнце недостаточно горячо для этих целей. В авезде, правда, слишком много атомов, но если ее температура очень высока, то атомами можно пренебречь и считать, что внутренность звезды целиком заполнена фотонами.) Всполтним теперь, что фотон обладает импульсом р. (При изучении кинетической теории газов мы всегда будем испытывать страшные неудобства: р — это давление, но р — еще и импульс; и — это объем, но зто и скорость одновременно, а Т вЂ” это и температура, и кинетическая энергия, и время, и момент силы; тут нужен глаз да глаз.) Сейчас буква р — это импульс, вектор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
