Фейнман - 01. Современная наука о природе. Законы механики (1055659), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Исходя из этого, можно было бы численно восстановить всю картину двпжснпя, однако гораздо проще и удобнее с помощью математического анализа найти общее решение: з = зе + вес + 4,91з. То же самое относится и к гармоническому осциллятору, расчету которого была посвящена часть предыдущей главы. Можно было бы просто аналитически доказать, что функция сов 1 является точным решением этой задачи, поэтому нет необходимости в арифметических упражнениях, если ответ можно получить более простым и строгим методом.

Одна из таких задач — движение планеты вокруг Солнца. Можно, конечно, так же, как мы это делали в гл. 9, постепенно найти общую форму ороиты, однако и зта задача решается точно, причем в результате получаетсн строго эллиптическая орбита. й' 3. Импульс все-таки сохраняетея1 9 4. Импульс и внергия 9 5. Релятивистский импульс Но, к сожалению, таких задач, которые могут быть точно решены с помощью анализа, очень мало.

В том же гармоническом осцвлляторе, например, если сила пружины не будет пропорциональна отклонению от положения равновесия, а окажется несколько сложнее, мы ух'е не сможем ничего поделать и вынуждены обращаться к численному расчету. Илк, например, если вокруг Солнца вращается не одна планета, а две (т.

е. имеются всего три тела, взаимодействующих друг с другом), то нам но удастся найти аналитическую форму такого движения и на деле задача тоже решается численно. Это знаменитая проблема трех тел, над которой в течение долгого времени бились лучшие умы человечества. Интересно, что, пока люди поняли ограниченные возможности математического анализа и необходимость использования числовых методов, потребовалось немало времени. Сейчас с помощью этих методов решается огромное количество задач, которые не могли быть решены аналитически. Та же знаменитая проблема трех тел, решение которой, как полагали, очень сложно, в числовом методе выглядят самой заурядной задачкоа н решается способом, опнсанньп| в предыдущей главе, т. е.

с помощью большого числа арифметических действий. Однако ямеются ситуации, когда оба метода оказываются бессильны: простые задачи решаются аналитически, а задачи посложнее — числовым арифметическим методом, но очень сложные задачи невозможно решить ни так, нп этак. Возьмите, например, сложную задачу столкновения двух автомобилей или даже движение молекул газа. В кубическом лшллиметре газа содержптсн бесчисленное количество частиц, и было бы безумием пытаться решать задачу со столькими переменными (около 10", т.

е, сто миллионов миллиардов!). Столь же сложна задача о двинсенни звезд в шаровом скоплении, где вместо двух или трех планет, движущихся вокруг Солнца, собрано громадное количество звезд. Эти проблемы нельзя реп:ить прямыми методами, и нужно изыскать какне-то другие пути. Прн таком положении, когда детальное рассмотрение невозможно, полезно знать некоторые общие свойства, т, е. общие теоремы или принципы, которые являются следствием ааконов Ньютона. Один нз таких принципов — это закон сохранения энергпи, который мы обсуждалн в гл.

4. Вторым принципом является закон сохранения импульса, которому посвящена настоящая глава, Другая причина необходимости дальнойшего изучения механики — это существование некоторых общих свойств двизкения, которые повторяются прп различных обстоятельствах; так что полезно изучить это свойство на каком-то одном частном случае. Мы, например, будем изучать столкновения; различные алды столкновений имеют много общего. Илп возьмем течение жидкости, неважно какой; законы 17з течения разных жидкостей имеют много общего.

Кп>е один пример, который мы будем изучать, зто колебания, нли осцилляцин, в частности свойства механических волн: звука, колебания стержней и т. д. Когда мы обсуждали законы Ньютона, то уже говорили о том, что они являются своего рода программой, которая призывает нас обратить особое выиманне на силы.

Но о самих силах Ньютон сказал только две вещи. Он полностью сформулировал вакон для сил тяготения, но почти ничего не знал о более сложных силах, наырнмер о силах между атомами. Однако он открыл одно правило, одно общее свойство всех сил, которое составляет Третий закон. Таким образом, все, что Ньютон знал о природе сил, — это закон тяготения и общий принцип, который гласит: Сила действия равна силе противодействия.

Означает зто примерно следующее. Пусть имеются два маленькихх тела, скажем две частицы, и пусть первая из них толкает вторую с некоторой силой. Тогда в соответствии с Третьим законом Ньютона вторая частица будет толкать первую с той же силой, но в противоположную сторону. Более того, этн силы будут девствовать вдоль одной и той же линии. Эта гипотеза, или, если хотите, закон, предложенный Ньютоном, выполняется с большой точностью, хотя, впрочем, он не абсолютно точен (с нарушениями его мы познакомимся позднее). Сейчас, однако, мы будем считать его совершенно точным.

Разумеется, если есть еще третья частица, которая расположена не на той же линия, что две первые, то закон вовсе не означает,, что сила, действующая на первую частицу, равна полной силе, действующей на вторую. Ведь зта тротья частица может толкать две первые, в результате чего полная сила, действуа>щая на первую частицу, будет направлена по-другому и. вообще говоря, не будет ни равна, ни противоположна силе, действующей ва вторую частицу. Однако полная сила, действующая на каждую пз частиц, может быть разложена на две составляющие, которые представляют собой силы, действующие между каждой парой частиц.

Эти компоненты силы для каждой пары частиц должны быть равны по величине н противоположны по направлению. й М. Закон совгрыменгия чгш>>?ьзьг>а Дананге посмотрим, чем пнтересен Третий закон Ньк>тона. Предполоясим для простоты, что имеются только две взаимодействующие частицы — частица 1 и частица 2, масса которых может быть различна. К какому следствию приводит равенство и противоположная направленность сил мен'ду ними? Согласью г?6 Но если скорости изменения все время равны по велячпне и противоположны по направленинц то п полное изменение импульса частицы 1 равно и противоположно полному изменению импульса частицы 2.

Это означает, что если мы сложим зти импульсы, то скорость изменения суммы под воздействием одних только взаимных спл (их обычно называют внутренними силами) будет равна нулю, т. е. л(Р~+Рь) 0 ~с (10. 2 ) Напомним еще раз, что в нашей задаче мы предполагаем отсутствие каких-либо других сил, кроме внутренних. Но равенство пулю скорости изменения атой суммы означает просто, что величина (р~ -т- рз) не изменяется с течением времени. (Эта величина записывается также в виде т,ч,+ тзтз п называется полным импульсом двух частиц.) Таким образом, мы получили, что при наличии одних только внутренних сил полный импульс двух частиц остается неизменным.

Это утверждение выражает закон сохранепия полного импульса в данном случае. Из него следует, что если мы измеряем или подсчитываем величину т~ч~ + шзтю т. е. сумму импульсов двух частиц, то для любых сил, действующих между ними, как бы сложны они ни были, мы должны получить одинаковый результат как до действия сил, так и после, т.

е. полный импульс остается постоянным. Рассмотрим теперь картину посложнее, когда есть три или большее число взаимодействующих частиц. Очевидно, что если существуют только внутренние силы, то полный импульс всех частиц остается постоянным, поскольку увеличение импульса одной частицы под воздействием другой частицы в точности компенсируется уменьшением импульса втой второй частипы из-за противодействия первой, т. е.

внутренние силы так сбалансированы, что полный импульс всех частиц измениться не может. Таким образом, если нет сил, действующих на систему извне (внешних свл), то ничто не может изменить ее полный импульс и, следовательно, он остаетса постоянным. Но нужно еще сказать о том, что произойдет, если будут еще существовать какие-то другие силы, кроме сил взаимодействия между частицами. Предполоягим, что мы изолировали систему взаимодействующих частиц. Если имеются только взаимные силы, полный импульс, как и прежде, меняться не будет, сколь бы сложны ни были зги силы.

Если, однако, У зка га зьзо Второму аакону, сила равна скорости изменения импульса со временем, так что скорость изменения импульса частицы - равна скорости изменения импульса частицы 2, т. е, (10Л) существуют силы, обусловленные частицами вне этой изолированной группы, то, как мы докажем позднее, сумма всех этих внеи«яих сил равна скорости изменения полного импульса всех внутренних частиц. Это очень полезная теорема. Закон сохранения полного импульса некоторого числа взаимодействующих частиц в отсутствие внешних сил можно записать в виде т,ч,-';тп,т,-(-т,т,+...

= сонэ«. (10.3) где т; и т0 — просто масса и скорость частицы соответствующего номера. Однако для каждой нз этих частиц Второй закон Пыотона 1=- „— (пл) (10,4) пишется для любой составляюи~ей полной силы и импульса в лк»бом заданном направлении, так что х-компонента силы, действующей на частицу, равна скорости изменения х-компоненты импульса этой частицы ~.=„-",( .).

(10.5) Точно такие же формулы можно написать для у- и г-компонент. Это означает, что уравнение (10.3) фактически представляет собой три уравнения: по одному на каждую из компонент. Существует еще одно интересное следствие Второго закона Ньютона, кроме закона сохранения импульса. Доказательством его мы будем заниматься позднее, а сейчас я просто расскажу вам о нем.

Следствие или, скорее, принцип состоит в том, что законы физики не изменяются от того, стоим ли мы на месте илн движемся равномерно и прямолинейно. Пусть, например, на быстро летящем самолете ребенок играет с мячиком. Наблюдательный ребенок сразу заметит, что мячик прыгает точно так же, как и на земле. Иначе говоря, законы движения для ребенка в самолете (если только последний не меняет скорости) выглядят одинаково как на поле аэродрома, так и в полете. Этот факт известен под названием принципа относительноапи. В том виде, в котором он рассматривается здесь, мы будем называть его «принципом относительности Галилея» или «галилеевской относительностью», чтобы не путать его с более тщательным анализом, проделанным Эйнштейном, по об этом несколько позже.

Характеристики

Список файлов книги