Фейнман - 01. Современная наука о природе. Законы механики (1055659), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Здесь будет идти речь о Втором законе, согласно которому под действием силы движение тел изменяется следующим образо»с: скорость излсенения ео ьременелс некой величины, называелсой количество.ч движенсся, илп импульсе.ч, пропорциональна силе. Позднее мы запишем короткую математическую формулировку мого закона, а сейчас давайте разбсремся в его содержании. Лмпулва и скорость — вещи разные. В фпзпке употребляется много слов, и кахсдое из них в отличие от обычного разговорного языка имеет точный смысл.
Примером может служить слово «импульс», и мы должны определить его точно. Толкните слегка рукой какой-нибудь легкий предмет — он тотчас начнет двигаться. Если с такой же силой толкнуть гораздо более тяжелый предмет, то он будет двигаться значительно медленней. В сущности нужно говорить не о «легком» или «тяжелом» пред»сете, а о менее массивном иля более массивном, так как »«ежду ассом и инерцией предмета есть разница, которую нужно понимать. (Сколько весит тело — это одно, а насколько трудно разогнать его — совсем другоо.) Однако на поверхности Земли вес и инерция пропорциональны друг другу и зачастую рассматривасотся как численно равные.
Это часто приводит к непониманию разницы между ними. На Марсе, например, вес предметов будет отличаться от веса на Земло, но инертность останется той жо самой, т. е. потребуется то же количество силы, чтобы преодолеть инерцию тела. Количественной мерой инертности является масса. Ее можно измерять так: просто привязать предмет на веревочке, крутить его с определенной скоростью и измерять ту силу, которая необходима, чтобы удержать его. Этим способом мохсно измерять массу любых предметов. ХХмнульс — это просто произведение массы тела на его скорость.
Теперь можно записать Второй закон Ньютона в математической форме: Г =- — (тх). Давайте разберем подробнее некоторые его стороны. Прн наш«- сании закона, подобного этому, обычно используется много квтунтивпых идей; что-то подразумовается, что-то предполагается и комбинируется в приближеннып «закон». Но после этого необходимо снова вернуться назад и подробно изучить, что означает каждый член. Если же пытаться сделать это с гйй самого начала, то можно безнадежно запутаться. Так что мы считаем некоторые положения само собой разуме«ощнмися и не требующими никакого докааательства.
Во-первых, мы считаем, что массы тел постоянны. Зто, вообще говоря, неправильно, но мы начнем с ньютоновского приближения, когда масса считается постоянной и не изменяющейся с течением времеви. Во-вторых„ если сложить вместе два предмета, то масса образовавшегося тела равна сумме их масс.
Это положение неявно предполагалось Ньютоном, когда он писал свои уравнения, в противном случае они были бы бессмысленны. Пусть, например, масса изменяется обратно пропорционально скорости, но тогда импульс никогда бы нв ивгзвнялся и закон потерял бы всякое содержание, за исключением только того, что вы знаете, как изменяется масса со скоростью.
Так что сначала мы считаем массу нвиаквннвй. Несколько слов о силе. В качестве первого грубого приближения мы рассматривали силу как некий толчок илн тягу, которая может быть производена с помощью наших мышц, но теперь, пользуясь уравнением движения, мы можем определить ее более точно. Очень важно помнить, что закон Ньютона включаот но только изменение величины импульса, но и изменение его направления.
Итак, если масса постоянна, то уравнение (9. Ц можно записать в виде (9.2) где а — ускорение, т. е. «скорость изменения скоростиз. Второй вакон Ньютона означает не только то, что изменения, вызванные данной силой, обратно пропорциональны массе, но и то, что направление изменения скорости совпадает с направлением действия силы. Важно понимать, что термин «ускорение« имеет в фиаике более широкий смысл, чем в обычной разговорной речи.
Он означает не только увеличение скорости, но н замедление ( в этом случае мы говорим, что ускороние отрицательно), и перемену направления движения. В гл. 7 мы уже познакомились с ускорением, направленным под прямым уг;юм к скорости, и мы видели, что предмет, движущийся по окружности радиусом Я со скоростью г, за малый интервал времени Г уклоняется от своего прямого пути на расстояние 'I, (е"Л)тз. Так что в этом случае ускорение направлено под прямым углом к направлению движения и равно 0= —.
(9. 3) Таким образом, сила, действующая под прямым углом к скорости, вызывает искривление пути, причем радиус кривизны можно найти, дели силу на массу тела (при этом мы получаем ускорение) и используя затем формулу (9.3). тйв Ф и г. 9.1. Вгалае пере.чем ение тела. Термин «скорость» тоже имеет в физике более широкий смысл, чем в обыденной жизни. Это не просто некоторое количество метров в секунду, т. е. абсолютная величина скорости, но и направление перемещения в каждый момент времени. Математически мы можем описать и величину, и направление скорости, если будем задавать изменение координат тела с течениеы времени. Пусть, например, в некоторый момент тело движется так, как зто показано на фиг.
9.(. Тогда за малый промежуток времени Л1 оно пройдет некоторое расстояние Лх в направлении оси х, Лр в направлении оси у и Лз в направлении оси г. Результатом же этих изменений координат будет перемещение Лз вдоль диагонали параллелепипеда со сторонами Лх, Лу, Лс, которые следующим образом связаны с составляющими скорости и интервалом: Лх= гхЛ1, Лу= г„Л1, Лз= эгЛс (<) й) 9 9. Кол»т»онен»нь«опоросы»н, пс»со)»ения и с«сяь« В уравнении (9.4) мы раз.голсили скорос>иь на составляющие (или комионенпгы), которые говорят нам, насколько быстро продвигается тело в направлениях х, у и з.
Скорость будет полностью определена как в отношении ее направления, так и абсолютной величины, если задать числовые значения трех ее компонент: етх На Иг Ю вЂ” а = — ° х 1»~ У "Лг г йг Прн этом абсолютная величина равна еы )г! )е' ' +ю, + (9.9) Теперь пусть под действием силы меняется не только величина, но и направление скорости (фиг. 9.2). Хотя это довольно сложный случай, но с помощью подсчета изменения компонент его рассмотрение сильно упрощается. Изменение х-компоненты Ер и е. 9.2. Скорость иеленлется как по ееличине, ноак и по на- праеленинн Г„= т ( — „к) =- т ( „—,) = та,, (9. 7) Подобно скорости и ускорению, сила тоже может быть разло- жена на компоненты, причем каждая из них является проекцией отрезка прямой, численно равного абсолютной величине силы н указывающего направление ее действия, ва оси х, у и ач Р, =Гсов(хР), Р„=- Рсоа(ур), (9,8) Р, = Г сов (аР), л где Р— абсолютная величина силы, а (хГ), (уР) и (гР) — углы между направлением силы и осями х, у и в соответственно.
Уравнения (9.7) представляют собой полную форму Второго закона Ньютона. Зная силы, действующие на тело, и разлагая их на компоненты, можно с помощью зтих уравнений найти дви- ькение тела. Давайте рассмотрим простой пример. Пусть в нап- равленияк х и у не действуют никакие силы, а есть сила только 161 скорости за интервал Л1 будет й Еее„=-а„И, где р„то, чтоназылается х-компонентой ускорения. Соверщенно аналогично Лил = а Лги Ьае=леМ. В такой формулировке Второй закон Ньютона фактически превращается в три закона.
Действительно, мы говорим, что сила имеет то же направление, что и ускорение, так что каждая из составля1ощнх силы в направлениях х, у н г равна массе, умноженной на изменение соответствующей компоненты скорости: 'с1с 1 'Лел 1 в направлении г (скажем, вертикально). Тогда, согласно уравнению (9.7), изменяется только одна вертикальная составлякж щая скорости; что же касается горизонтальных, то они будут ос.
таваться неизменными. Пример такого движения уже рассматривался в гл. 7 (см. фиг. 7.3). Таким образом, горизонтальное двяя'ение падающего тела остается неизменным, тогда как в вертикальном направлении оно движется так, как будто никакого горизонтального движения вообще нет. Другими словами, если компоненты сил не связаны друг с другом, то и движения и направлениях осей х, у и з будут независимы. 9 3. Чпгп тмпмое еилау Чтобы пользоваться законами Ньютона, мы должны иметь какую-то формулу для сил; ведь зги законы говорят нам: подулвайтв о силах. Если тело ускоряется, стало быть, на пего чтото действует.
А как найти зто «что-тоь7 Нашей программой на будущее должно быть отыскание законов для сил. Некоторые нз ~аких законов были найдены самим Ньютоном. Например, формула для силы тяготения. Часть сведений о силах другого рода содержится в Третьем законе, который утверждает равенство сил действия и противодействия, но об етом более подробно пойдет речь в следующей глазе. Продолжим наш предыдущий пример. Что за силы действуют на тело вблизи поверхности Земли? Это — сила тяжести, направленная вертикально вниз, пропорциональная массе тела и для высот, много меньших, чем радиус Земли Л, почти не зависящая от высоты; опа равна Г=бтМ'Вз=гяд, где д=6И Л'— так называемое ускорение силы тяэхвсти.
В горизонтальном направлении тело по-прежнему будет двигаться с постоянной скоростью, однако движение в вертикальном направлении более интересно, По Второму закону Ньютона ~ а'х) (9.9) После сокращения массы ш получаем, что ускорение в направлении х постоянно и равно д, Это хорошо известное движение свободно падающего тела, которое описывается уравнениями (9.10) х х+в~ — ' — ф'. о о ~ я Рассмотртгм другой пример. Представим, что мы смогли создать устройство (фиг.
9.3), в котором сила прямо пропорциональна отклонению от положении равновесия и направлена противоположно ему,— зто пружина с грузиком. Действительно, поскольку сила тяжести компенсируется начальным давая~внии раакавввия ву Ф и а. 0.8.
Грувии на пруяеанке. натяукением пружины, то имеет смысл говорить только об изомтоиной силе. Если потянуть грузик вниз, то пружина растянется и потянет его вверх, если же толкать грузик вверх, то пружина сожмется и будет толкать его вниз. При этом все устроено таким образом, что чем больше сила и чем сильнее мы оттягиваем грузик вниз, тем болыпе растягивается пружина и тем скльнее она тянет его вверх, н наоборот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
