Фейнман - 01. Современная наука о природе. Законы механики (1055659), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Сейчас вы достаточно много знаете о времени, но помните, что адесь есть некоторые тонкости, которые мы еще обсудим в дальнейшем. Другая хитрость (мы уже упоминали о ней) — это правильно ли думать, что наблюдаемая нами движущаяся точка всегда находится в каком-то определенном месте (т. е. где-то локализована). Разумеется, когда мы смотрим на нее, она находится .в определенном месте; но можно ли зто утверждать в те моменты, когда мы отвернулись. И вот оказывается, что при изучении движения атомов так думать нельзя. Навоз»южно посадить метку на атом и наблюдать за его движением. С этой тонкостью мы вплотную столкнемся в квантовой механике.
Но сначала давайте рассмотрим те проблемы, которые возникают до введения этих усложнений, а уж после этого учтем те поправки, на которые нас вынуждают новейшие сведения о природе вещей. Итак, примем наиболее простую точку зрения о пространстве и времени. Мы приблизительно понимаем, что означают эти понятия, а тот, кому доводилось управлять автомобилем, знает и что такое скорость.
ф М. Скорое»»»ь Хотя мы примерно представляем себе, что такое «скорость», однако здесь есть одна очень важная тонкость. Заметьте, что древние греки так и не смогли до конца разобраться в проблеме скорости. Тонкосп, о которой идет речь, дает себя знать, когда пытаешься точно определить, что же подразумевается под понятием «скорость». Этот вопрос был камнем преткновения для древних греков, и потребовалось открытие новой области математики, помимо геометрии и алгебры, которые были извест. ны и грекам, и арабам, и вавилонянам.
11опробуйте-ка с помощью одной лишь алгебры решить следующую задачу. Воздушный шар надувается таким образом, что его объем увеличивается со скоростью 100 сз«»1сек. С какой скоростью увеличивается его радиус, когда объем шара достигает 1000 сз««7 Задачи такого рода были неразрешимы для древних греков. Кроме того, их сбивали с толку многочисленные «парадоксы». Вот один из вих, придуманный Зеноном, который хорошо показывает, насколько была слоя«на в то время проблема скорости движения.
«Предположим,— говорит он, — что Ахиллес бегает в десять раз быстрее черепахи. Но тем не менов оп никогда не перегонит ее. Дей. стзительно, пусть в начале состязания черепаха находилась в 100 метрах впереди Лхиллеса. Тогда ко времени, когда Ахиллес пробежит эти 100 метров, черепаха окажется в 10 метрах впереди него. Пробе»кав и зти 10 метров, Ахиллес увидит черепаху в 1 метре впереди себя.
За то время, пока он пробежит этот метр, черепаха пройдет 10 сантиметров и так далее ... до бесконечности. Следовательно, в любой момент черепаха будет впереди Ахиллеса, и он никогда не смол«ет перогнать ее». В чем здесь ошибка? Конечный интервал времени можно разделить на бесконечноо число частей точно так же, как и конечный отрезок длины, если последовательно делить его пополам. Но бесконечное число этапов до того места, где Ахиллес поравняется с черепахой, вовсе не означает бесконечное количество времени. Этот пример хорошо показывает, с какими трудностями приходилось сталкиваться в проблеме определения скорости. Чтобы еще яснее представить сеое этн трудности, вспомним старую шутку, которую вы наверняка слышали.
Вы помните, что автомобиль, о котором мы говорили в начале этой лекции, был остановлен полицейским. Он подходит к машине и говорит: «Мадам (ибо за рулем была женщина), Вы нарушили правила уличного движения. Вы ехали со скоростью 90 километров в час». Женщина отвечает: «Простите, это невозможно. Как я могла делать 90 километров в час, если я еду всего лишь 7 минут!» Как бы вы ответили на месте полицейского? Конечно, если вы действительно настоящий полицейский, то такими хнтростямн вас не запутаешь. Вы бы твердо сказали: «Мадам, оправдываться будете перед судьей!» Но предположим, что у вас нет такого выхода. Вы хотите честно доказать нарушительнице ее вину н пытаетесь объяснить ей, что означает скорость 90 кл«~'час. Как это сделать? Вы скажете: «Я имел в виду, мадам, что если бы зы продолжали ехать таким же образом, то через час Вы бы проехали 90 километров».
«Да, но я ведь затормозила и остановила машину,— может ответить она,— так что теперь-то я уж никак не могла бы проохать 90 километров в час». Аналогичная проблема возникает и в случае падающего шарика. Предположим, что мы хотим определить его скорость через 3 сек, если бы он двигался таким же образом. Но что означает «двигался таким же обрааом»? Сохранял бы ускорение, двигался быстрее, что ли? Конечно, нет! Сохранял бы ту же самую скорость.
Но ведь это как раз то, что мы пытаемся определить! Если бы шарик продоля«ал двигаться <с»аким же образом», то он падал бы так же, как падает. Так что куя<но придумать что-то лучшее для определения скорости. Что же все-таки должно сохраняться? Нарушительница могла бы вам еще отвотнть и так: «Если бы я продолжала ехать, как ехала, еще час, то налетела бы на стену в конце улицы!» В общем, как виднто, полицейский оказался бы в очень трудном положении, пытаясь объяснить, что он имел в виду. Многие физики думают, что единственным определением любого понятии является способ его измерения.
Но тогда при объяснении ьы должны прибегнуть к прибору, измеряющему скорость. «Смотрите,— скажете вы в этом случае,— ваш спидометр показывает 60». «Мой спидометр сломан н давно не работает»,— ответят она. Но достаточно ли этого, чтобы поверить, что машина не двигалась? Мы полагаем, что как-то нужно было бы определять скорость и без помощи спидометра. Только прн этих условиях можно сказать, что спидометр не работает, что он сломан. Это было бы абсурдным, если бы скорость не имела смысла без спидометра. Очевидно, что понятие «скорость» не зависит от спидометра.
Спидометр нужен только для того, чтобы измерять ее. Давайте посмотрим, нельзн ли придумать лучшееопределение понятия «скорость». Вы скажете: «Разумеется, За«а» »» 2»2» мадам, если бы вы ехали таким же образом в течение часа, то налетели бы на стену, но за 1 секунду вы бы проехали 25 метров, так что вы делали 25 метров в секунду, и если бы продолжали ехать таким нге образом, то в следующую секунду опять проехали бы 25 метров, а стена стоит гораздо дальше«. «Но правила запреща>отдолать90километроввчас, а не 25метров в секундуз.
«Да ведь это то же самое, что и 90 километров в час»,— ответите вы. А если зто то я«е самое, то к чему тогда все длинные разговоры о 25 м>сек? В действительности же падающий шар не может двигаться одинаковым образом даже 1 сек, так как он постоянно ускоряется, и, следовательно, нужно определить скорость как-то точнее.
Но теперь мы, кажется, находимся на правильном пути, который приводит нас вот к чему. Если бы машина продолжала двигаться такич же образом следующую тысячную долю часа, то она прошла бы тысячную долю 90 км. Другими словами, нет никакой необходимости ехать целый час с той же оыстротой, достаточно какого-то момента. Это означает, что за какой-то момент времени машина проходит такое же расстояние, как я идущая с постоянной скоростью 90 км'час.
Наши рассуждении о 25 м,'сек, возможно, н правильные; мы отмечаем, сколько машина прошла в следующую секунду, и если получается расстояние 25 м, то это означает, что скорость достигает 90 км час. Другими словами, можно определить скорость следующим образом. Определяем расстояние, которое было пройдено эа очень малый отрезок времени, и, разделив его на этот отрезок времени, получаем съорость. Однако этот отрезок должен быть как можно меньше, и чем меньше, тем лучше, потому что в этот период могут произойти снова изменения.
Смешно, например, для падающего тела в качестве такого отрезка принять час. Принять в качестве отрезка секунду, может быть, удобно для автомобиля, так как за секунду его скорость изменяется не слишком сильно, но этот отрезок велик для падающего тела. Таким образом, чтобы вычислить скорость более точно, нужно брать все меньшие и меньшие интервалы времени. Если на миллионную долю секунды мы разделим расстояние, которое было пройдено в течение этого времени, то получим расстояние в секунду, т.
е. как раз то, что мы понимаем под скоростью. Именно это нуя«но было сказать нашей нарушнтельн>що, т. е. дать то определение скорости, которое мы и будем использовать. Такое определение содержит пеку>о новую идею, которая была недоступна грекам в ее общей форме. Она заключается в том, чтобы малые расстояния разделить на соответствующие малые отрезки времени и посмотреть, чтб произойдет с частным, если отрезок времени брать все меныпе и меньше (иными словами, брать предел отношения пройденного расстояния к интервалу времени при неограниченном умень- 446 е а=— причем точность будет тем больше, чем меньше е. Математики записывают это следующим образом: х ь =-11ш —, е « (8.3) т.
е. скорость есть предел отношения х/е прн е, стремящемся к нулю. Для нашей мшпнны-нарушнтельннцы невозможно точно вычислить скорость, так как таблица неполная. Ее положение известно нам только через интервалы 1 мин. Приближенно, конечно, мо'кно сказать, что в течение седьмой минуты, например, она гпла со средней скоростью 90 км!чае, однако о ее скорости в конце шестой минуты ничего сказать невозможно.
Может быть, она ускорялась и скорость с 40 км1чае в начале шестой минуты возросла до 90 км'час в конце ее, а мо кет быть, она двигалась иначе. Мы не знаем этого точно, так как у нас нет детальной записи ее движения между шестой и седьмой минутами. Только когда таблица будет пополнена бесконечным числом данных, из нее можно будет действительно вычислить скорость. Если, однако, нам известна полная математическая формула, как, например, в случае падающего тела (уравнение (8.1)), то можно подсчитать скорость. Ведь по формуле можно найти положенно тела в любой момент времени. В качестве примера давайте найдем скорость падающего шара через 5 сек после начала падения.
Один способ — это посмотреть по табл. 8.2, чтопропсходило с шариком на пятой секунде. В течение этой секунды он прошел 45 м, так что, казалось бы, он падал со скоростью 45 мосек. Однако это неверно, посколы«у скорость его все время изменялась, Конечно, е среднем в течение этой секунды она составляла 45 м1еек, но в действительности шар ускорялся и в конце пятой секунды падал быстрее 45 мосек. Наша задача состоит в том, чтобы определить скорость точно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
