Фейнман - 01. Современная наука о природе. Законы механики (1055659), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Дифференцируя все виды функций, вы сами можете составить таблицу интегралов. Любая функция, заданная в аналитическом виде, т. е. выражающаяся через комбинацию известных нам функций, дифференцируется очень просто — вся операция выполняется чисто алгебраическп, н в результате мы всегда получаем какую-то известную функцию.
Однако интеграл не от всякой функции можно записать в аналитическом виде. Разумеется, для каждого частного интеграла всегда сначала пытаются найти такую функцию, которая, будучи продифференцирована, давала бы функцию, стоящую после знака интеграла (она называется подынтегральной). Однако зто не всегда удается сделать, В таких случаях интеграл вычисляют просто суммированием, т.
е. вычислшот суммы типа (8.6) со все меньшими и меньшими интерваламн, пока не получат результат с достаточной точностью. 90 км'час. Зная это, мы можем определить, как изменяется скорость, но только в среднем. Займемся следующим более сложным вопросом: как узнать быстроту изменения скорости. Другими словамп, на сколько метров в секунду изменяется скорость за 1 сек. Мы уже установили, что скорость падающего тела изменяется со временем по формуле а=9,8 ~ (см.
табл. 8.4), а теперь хотим выяснить, насколько ока изменяется за 1 сек. Эта величина называется ускорением. Таким образом, ускорение определяется ьак быстрота изменения скорости. Эсен сказанным ранее мы уже достаточно подготовлены к тому, чтобы сразу записать ускорение в виде производной от скорости, точно так же как скорость записывается в виде производной от расстояния. Если теперь продифференцпровать формулу т=9,8 1, то получим ускорениепадающего тела а = — '.—. 9,8. Ла (8.
()) И(ри дкфференцкрованип этого выра кения использовался результат, полученный нами раньше. Мы видели, что производная от Вг равна просто В (постоянной). Если же выбрать эту постоянную равной 9,8, то сразу находим, что производная от 9,8 г равна 9,8.) Это означает, что скорость падающего тела постоянно возрастает на 9,8 м!сек за каждую секунду. Этот же результат можно получить и пз табл.
8.4. Как видите, в случае падающего тела все получается довольно просто, но ускорение, вообще говоря, непостоянно. Оно получилось постоянным только потому, что постоянна сила, действующая на падающее тело, а по закону Ньютона ускорение должно быть пропорционально силе.
В качестве следующего нрнмера найдем ускорение в той задаче, с которой мы уже имели доло при изучении скорости: з = Ат'+ Вг+ С. Для скорости а.=.дюо1 мы получили формулу а = ЗА1'+В. Так как ускорение — это проиаводная скорости по времени, эо для того, чтобы найти его значение, нужно продифференцировать эту формулу. Вспомним теперь одно из правил табл. 8.3, а именно что производная суммы равна сумме производных. Чтобы продифференцировать первый из этих членов, мы не будем проделывать всю длинную процедуру, которую делали раньше, а просто напомним, что такой квадратичный член встречался нам при дифференцировании функции 5Р, причем в результате коэффициент удваивался, а 1з превращалось в Г.
Йы можете сами убедиться в том, что то же самое произойдет и сейчас. Таким образом, проиаводная от ЗЛгз будет равна 6А1, Перейдем теперь к дифференцированию второго слагаемого. По одному из правил табл. 8.3 производная от постоянной будет нулем, следовательно, этот член не даст в ускорение никакого вклада. Окончательный результат: а==де)й=6А1. Выведем еще две полезные формулы, которые получаются интегрированием. Если тело из состояния покоя движется с постоянным ускорением д, то его скорость г в любой момент времени 1 будет равна а расстояние, пройденное им к этому моменту времени, з = — - е1 1 2 в ь Заметим еще, что поскольку скорость — это дзЯВ а ускорение — производная скорости по времени, то можно написать (8АО) Так что теперь мы знаем, как записывается вторая производная. Существует, конечно, и обратная связь между ускорением и расстоянием, которая просто следует иа того, что а=дгЯ1.
Поскольку расстояние является интегралом от скорости, то оно может быть найдено двойным интегрированием ускорения. Всо предыдутцее рассмотрение было посвящено движению в одном измерении, а теперь мы коротко остановимся на движении в пространстве трех измерений. Рассмотрим движение частицы Р в трехмерном пространстве. Зта глава началась с обсуя<дения одномерного движения легковой машины, а именно с вопроса, на каком расстоянии от начала движения находится машина в различные моменты времени. Затем мы обсуждали связь ме'кду скоростью и изменением расстояния со временем п связь между ускорением и иаменением скорости. Давайте в той же последовательности разберем движение в трех измерениях. Проще, однако, начать с более наглядного двумерного случая, а уж потом обобщить его на случай трех измерений.
Нарисуем две пересекающиеся под прямым углом линии (оси координат) и будем задавать положение частицы в любой момент времени расстояниями от нее до каждой из осей. Таким образом, положение частицы задается двумя числами (координатами) х и у, каждое нз которых является соответственно расстоянием до оси у и до оси х (фиг.
8.3). Теперь мы можем описать движение, составляя, например, таблицу, в которой эти две координаты заданы как функции времени. (Обобщение на трехмерный случай требует введения еще одной оси, перпендику- сп и г. д.д, Описание движения тело па плоскости и вычисление его скорости.
(8.1 1) лярной двум первым, и измерения еще одной координаты г. Однако теперь расстояния берутся не до осей, а до координатных нлоскоетей.) Как определить скорость частицы? Для етого мы сначала найдем составляющие скорости по каждому направлению, или ее компоненты. Горизонтальная составляющая скорости, или х-компонента, будет равна производной по времени от координаты х, т. е.
ссх сс' а вертикальная составлясосцая, или у-компонента, равна й (8.12) В случае трох измерений необходимо еще добавить Юг=' —,', (8.13) Как, зная компоненты скорости, определить полную скорость в направлении дви;кения? Рассмотрим в двумерном случае два последовательных положения частицы, разделенных коротким интервалом времени с1С= Сг — С, и расстоянием с1г. Иа фиг. 8.3 видно, что сгз = )с (стх)* -1- (Лу)*.
(8. 14) (Значок соответствует выражению <щриблнзительно равно».) Средняя скорость в течение интервала Л1 получаесся простым делением: сгдСЬС. Чтобы найти точную скорость в момент С, нунсио, как зто уже делалось в начале главы, устремить стг к нулю. В результате окааывается, что и= )пп — '= — '= ~~ („— ') +(Я) =)/ х„'+гд. (8.15) В трехмерном случае точно таким же способоммолсно получить .=~"'+.',+ й. (8.16) Ф и г. В.б. ггарабола, которую оииснваелс падагоигее игело, брошенное с горнвонагальноа начальной скоростью. Ускорения мы определяем таким же образом, как и скорости: х-компонента ускорения а„определяется как производная от х-компоненты скорости вн (т.
е. а„=сгзхясз — вторая производная по времени) н т. д. Давайте рассмотрим еще один интересный пример смешанного двннсения на плоскости. Пусть шарик движется в горизонтальном направлении с постоянной скоростью и и в то же время падает вертикально вниз с постоянным ускорением я. Что зто за движение? Так как у„=г?хгс?1=и и, следовательно, скорость ь„постоянна, то (8.17) х= гг1, а поскольку ускорение движения вннз постоянно и равно — л, то координата р падающего шара дается формулой (8,18) 1(акую же кривую описывает наш шарик, т. е. какая связь мевсду координатами х и у? Из уравнения (8.18), согласно (8.17), можно исключить время, поскольку?=х и, после чего находим р= —,— х. в ь (8,19) Эту связь между координатами х и у мо'кно рассматривать как уравнение траектории движения шарика.
Если изобразить ее графически, то получим кривую, которая называется параболой (фнг. 8.4). Так что любое свободно падагощее тело, будучи брошенным в некотором направлении, движется по параболе. Глава 9 ДИИЛМИтТЕСКИЕ ЗЛКОИИ ИЫОТОИй ~ А Хя.гггггутгьс гя см.мг Открытие законов динампкп пли законов дзилгения стало одним иа наиболее драматических моментов в истории наушг. До Ньютона движение различных тел, например планет, представлялось загадкой для ученых, но после открытия Ньютона все вдруг сразу стало яонятно. Смогли быть вычислены даже очень слабые отклонения от законов Кеплера, обусловленные влиянием других планет.
Движение маятника, колебания груза, подвешенного на пружине, и другие непонятные до того явления раскрыли свои загадки благодаря законам Ньютона. То гке самое можно сказать и об этой главе. До нее вы не могли рассчитать, как движется грузик, прикрепленнып к пружине, не говоря уже о том, чтобы определить влияние Юпитера и Сатурна на движоние Урана. Но после этой главы вам будет доступно и то и другоег Первый болькюй шаг в понимании движения был сделан Галилеем, когда он открыл свой принцип инерции: тело, предоставленное самому себе, осли на него не действует никакая сила, сохраняет свое прямолинейное движение с постоянной скоростью, как двигалось до этого, клн остается в покое, если оно до этого покоилось. Конечно, в природе такого не бывает. Попробуйте толкнуть кубик, стоящий на столе. Он остановится.
Причина в том, что кубик >прется о стол, он нв предоставлен самому себе. Нужно иметь очень богатое вообран;ение, чтобы увидеть за этим принцип инерции. Естественно нужно еще разрешить следующий вопрос: а как изменяется скорость тела, ак С Импульс и сила 5 2 Компонентыскорости, ускорения и силы ф 3. Что такое сита? ф 4. Смысл динамических уравнений ф 5. Чпсленноерешение уравнений ф 6. Движение планет гйт если на него что-то действует? Ответ был дан Ньютоном. Он сформулировал три закона. Первый закон представляет собой просто повторение принципа инерции Галилея. Венерой закон говорит о том, как изменяется скорость тела, когда оио испытывает различные влияния, т. е. когда на него действуют сила«. 7'ретнй закон в каком-то смысле описывает силы, но о нем мы поговорим несколшсо позже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
