Фейнман - 01. Современная наука о природе. Законы механики (1055659), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Наблюдая за работой этого устройства, мы видим довольно интересное движение: вверх — вниз, вверх — вниз... Возникает вопрос, могут ли уравнения Ньютона правичьно описать его? Если применкть закон Ньютона (9.7) для такого периодического осциддятора, то получим следующее уравнение: /уи „'~ — Йх=- ва ( ус )' (9.11) т. е. здесь мы встречаемся с таким положением, когда х-компонента скорости изменяется с быстротой, пропорциональной х. Нет смысла сейчас вводить многочисленные константы; в целях простоты предположим, что либо изменился масштаб времени, либо что-то произошло с другими единицами измерения, словом, они выбраны так, что?е?т равно единице. Итак, будем пытаться решать уравнение й (9.12) Чтобы пойти дальше, нужно сначала разобраться в том, что такое г„; то, что это быстрота изменения положения, нам, разумеется, уже известно, ф (.
Сльусл дмнамтгчеемыш?урпвненмй Попытаемся теперь понять, что же означает уравнение (9.12). Пусть в данный момент времени г тело находится в точке х и движется со скоростью ив. Каково будет его положение и скорость спустя небольшой промежуток времени, т, е. в момент 8 + е? Если мы сможем ответить на этот вопрос, то проблема решена, так как, исходя пз начальных условий, т. е. положения н скорости в некоторый начальный момент времени, можно сказать, кан они изменяются в первый момент, а зная положение и скорость в первый момент, моягно найти их и в следующий и т. д, Таким образом, шаг за шагом выстраивается вся картина движения. Для большей определенности предположим, что в момент г = 0 положение грузика х —.= 1, а его скорость г „=-О.
Почему вообще движется грузик? Да потому, что иа него в любом положении, за исключением пологкенпя равновесия х —. О, действует сила. Если х ) О, то эта сила гшнравлена вверх. Следовательно, скорость, которая вначале была нулем, благодаря уравнениям движения начинает изменяться. Но как только скорость начинает возрастать, гртзпк приходит в движение. Для любого момента времени? прп о сень малом з можяо с достаточно хорошой точностью найти положение в момент г -~- з через скорость и поло кение в момент г: (9Л3) х (г + з) = х (? ] -, 'е г „(? ). 1(онечно, это выражение тем точнее, чем меньше е, но оно может быть достаточно точным, даже когда интервал з не исчезающе мал.
Что теперь можно сказать о скорости? Чтобы определить скорость в момент г + з, очевидно, нужно знать, как она изменяется со временем, т. е. нужно знать ускорение. Л как узнать его? Вот здесь-то нам иа помощь приходят уравнения динамики. Именно они позволяют определить, челгу равно ускорение. В нашей задаче уравнение динамики говорит, что ускорение равно — х. Поэтому (9. 11) (9. '1 5) г„(? + з) = а„(г ) + за„(г), = ак (г) — зх (1). ф 5.
'Хнсленное ренье нгле ??рггенеглггй Давайте теперь действительно решим нашу задачу. Допустим, что мы взяли е = 0,100 сек. (Если после того, как мы проделаем все вычисления, окажется, что этот интервал не достаточно мал, то необходимо повторить все сначала с меньшим ин- 164 Уравнение (9г14) еще кинематическое; оно просто говорит о том, что из-за наличия ускорения скорость изменяется. Однако уравнение (9.15) уже динаэлпгеское, потому что оно связывает ускорение с силой.
Оно говорит, что в данной частной задаче для данного момента времени ускорение можно заменить на — х (г). Следовательно, если в какой-то момент времени нам известны положение х и скорость г„то мы знаем и ускорение, которое дает возможность найти скорость в следующий момент, а скорость в свою очередь определяет новое положение и т. д. Вот каким образом действует весь этот динамический механизм! Действугощая сила немного изменяет скорость, а скорость приводит к небольшому изменению положения. тервалом времени, например 0,010 сек,) Чему будет равно х (0,1), если в начальный момент времени х (0) =- 1? Оно равно старому положению х (0) плюс скорость в начальный момент (которая равна нулю), умноженная на 0,10 сек. Такни образом, х (0,1) равно 1,00, ибо грузик еще не начал двигаться.
Но новая скорость в момент 0,10 сек будет равна старой скорости а (0) = 0 плюс е, умноженное на ускорение. А саио ускорение равно — х (0) = — 1,00. Так что а (О, 1) =- 0,00+ 0,10. 1, ОО == — О, 10. В момент 0,20 сск х (0,2) = х (0,1) + ее (О, 1) =- '1, 00 — О, 10 0,10 = 0,99 и а(0,2)= в(0,1)+еа(0,1) = — 0,10 — 0,10 1,00= — 0,20. Продолягая зту процедуру еще и ещо, можно найти положение и скорость в любой момент времени, а зто как раз то, что нам нужно.
Однако практически мы используем нехитрый прием, который позволит увеличить точность вычислений. Если бы мы продолжали начатые нами расчеты, то они оказались бы довольно грубыии, поскольку интервал е = 010 свк довольно большой. Пришлось бы уменьшить его, скан ем, до 0,01 сек. Но тогда, чтобы проследить движение за какой-то разумный отрезок времени, потребовалось бы сделать множество шагов. Мы же организуем процесс танин образом, что сможем увеличить точность, используя тот же интервал з =- 0,10 сск.
Этого мо'кно достичь, несколько изменив метод расчета. Заметьте, что новое положение тела равно старому плюс интервал времени е, умноженный на скорость. Но что зто за скорость? 8 какой чояент? В начале интервала одна скорость, а в конце она совсем другая. Прием состоит в том, чтобы брать скорость в середине интервала. Если известна скорость в настоящий моиент и известно, что она меняется, как же можно надеяться получить удовлетворительный результат, считая, что тело все время движется с топ иге скоростью, что и в настоящий момент? Более разумно использовать какую-то среднюю скорость между началом и концом интервала.
Те же рассуждения применимы к изменению самой скорости: для подсчета ее изменений нужно использовать ускорение в средней точке между двумя моментами времени, в которыя необходимо найти скорость. Таким образом, реально мы будем польаоваться следующими уравнениями: положение в конце интервала равно положенин> в начале плюс интервал е, умноженный на скорость в середине интервала. Эта скорость в свою очередь равна скорости в середине предыдущего интервала (т.
е. па отрезок е меиыпе) плюс ускорение в начале интервала, умноженное на е. 1% Таким образом, мы будем пользоваться уравнениями х (! + е) = х (1) + в р (1+ —,' ), ( --';1=в,« — '.)- -(!), (!)= — (1) 2/ Остается еп!е один неболыпой вопрос: что такое и (е 2)? Вначале у нас было и (О), а не о ( — е!2). Но теперь, чтобы начать наши вычисления, необходимо использовать дополнительное уравнение и (в!2) = ц (О) + (е72) а(0). ат 0,0 1,000 0,000 — 0,050 0,1 0,2 0,980 0,955 0,3 0,4 0,921 0,5 0,877 — — 0,523 — О, 825 О,б 0,825 — 0,605 — О, 764 0,7 0,764 — 0,682 0,8 0,696 — О, 751 0,9 0,621 — О, 696 — 0,62! — 0,8!4 — О, 540 — 0,868 1,0 0,540 — 0,453 0,453 — О, 913 1,2 0,362 — 0,949 1,3 0,267 — 0,976 — 0,993 1,4 0,169 0,070 1,5 — 1,ооо — О, 030 166 Табллпа 9.1 ° Рншннне меавнкння (ссс зу0 — а Интервал в = 0,10 сен — О, !50 — О, 248 — О, 343 — О, 435 — 1,000 — О, 995 — О, 980 — 0,955 — 0,92! — 0,877 — О, 362 — 0,267 — О, 169 — 0,070 +О, 030 зд дл а сег Ну, а теперь все готово для расчетов.
Для удобства можно их выполнить в виде таблицы, в столбцах которой стоят время, положение, скорость и ускорение, причем скорость пишется в промежутках между строками (табл. 9.1). Такая таблица есть, конечно, просто удобный способ записи результатов, полученных из уравнений (9.16), и фактически полностью заменяет их. Мы просто заполняем одно за другим свободные места в ней и получаем очень интересную картину движения: сначала грузик находится в покое, затеи понемногу приобретает отрицательную скорость (вверх), а это приводит к уменьшению его расстояния от точки равновесия. При атом хотя ускорение и становится меньше, оно все еще «подгоняет» скорость.
Однако по мере приближения к положению равновесия (х = 0) ускорение становится все меньше и меныпе, скорость нарастает все медленней и медленней, но все же еще нарастает вплоть до точки х = О, которая достигается примерно через 1,5 сев. Скажем по секрету, что произойдет дальше. Грузик, конечно, не остановится в точке х =О, а пойдет дальше, но теперь все пойдет наоборот: его положение х станет отрицательным, а ускорение — положительным. Скорость начнет уменьшаться. Интересно сравнить полученные нами числа с функцией соз1.
Результат этого сравнения представлен на фиг. 9.4. Оказывается, что в пределах точности наших расчетов (три знака после запятой) совпадение полное! Позднее вы узнаете, что функция сов 1 — точное решение нашего уравнения, так что у вас теперь есть наглядное представление о мощи численного анализа: столь простой расчет дает столь точный результат. 9 б. Двмхсенгье тглатетп Приведенный аналпз очень подходит к движению осциллирующей пружинки с грузиком, но можно ли таким же путем вычислять движение планеты вокруг Солнца? Давайте посмотрим, можно ли при некоторых приближениях получить эллиптическую орбиту, Предположим, что Солнце бесконечно 167 йу и г. В.еь Сила притяжеиия, дейетеутели» па планету. тяжелое в том смысле, что его двн:кение не оудет приниматься в расчет.
Допустим, что в известной точке планета начала свое движение и кисет определенную скорость. Она движется вокруг Солнца по какой-то кривой, и мы попытаемся определить с помощьке уравнений движения Ньютона и его же закона всемирного тяготения, что зто за криван. Как это сделать? В некоторый момент времени планета находится в каком-то определенном месте, на расстоянии г от Солнца; в этом случае известно, что на нее действует сила, направленная по прямой к Солнцу, которая, согласно закону тяготения, равна определенной постоянной, умноженной на произведение масс планеты и Солнца и деленной на квадрат расстояния между ними.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
