Фейнман - 01. Современная наука о природе. Законы механики (1055659), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Сделаем это следующим образом. Нам известно, где шарик находился черев 5 еек. За 5 сек он прошел расстояние 125 м, К моменту 5,1 еек общее расстояние, которое прошел шарик, составит, согласно уравнению (8.1), 130,05 м. Таким образом, за дополнительную десятую дол»о секунды он шепни последнего). Впервые эта идея была высказана независимо Ньютоном и Лейбницем и явилась основой новой области математики — дифференциального исчисления. Оно возникло в связи с описанием движения, н первым его приложением был ответ на вопрос: «Что означает 90 ям!чае?» Попытаемся теперь точнее определить скорость. Пусть за некоторое малое время е машина нли какое-то другое тело прошли малое расстояние х; тогда скорость э определяется как проходит 5,05 лс. А поскольку 5,05 м за О,! еек то же самое, что и бт0,5 м/еек, то это и буде~ его скорость.
Однако это все еще не совсем точно. Для нас совертпенно неваткно, будет лн это скорость в момент 5 еек, или в момент 5,1 еек, нли где-то посредине. Натив задача вычислить скорость точно через 5 еек, а :стого мы пока не сделалп. Придется улу ппнть точность и ваять теперь на тысячнуто долю болыпе 5 еек, т.
е. момент 5,001 сек. Полное расстояние, пройденное за это время, составляет з = 5 5,00! =- 5 25,0!0001 = 125,050005 м. Следовательно, в последнзпо тысячную долю секунды шарик проходит 0,050005 м,и если разделить это число на 0,001 сек, то получим скорость 50,005 и еек. Это уже очень близко, но все же еще не точно. Однако теперь уже ясно, как поступить, чтобы найти скорость точно.
Удобнее решать эту задачу в несколько более общем видо. Пусть треоуется найти скорость в некоторый мометы времени т, (например, 5 сек). Расстояние, которое пройдено к моменту те (назовем его е,), будет 5!, '(в нашем случае 125 м). Чтобы определить расстояние, мы задавали вопрос: где окажется тело спустя время се + (небольшой добавон), илн Ге+э? Новое положение тела будет 5(ге+в)с=5С,'+10сзз+5зз. (Это расстояние болыпе того расстояния, которое шарик прошел за те сек, т. е. больше 5т,'.) Назовем это расстояние ез + (небольшой добавок), или е,+х. Гели теперь вычесть иа него расстояние, пройденное к моменту тю то получим х — то дополнительное расстояние, которое шарик прошел за добавочное время е, т. е. х=10сэе+5ез. Так что в первом приближении ско.
рость будет равна (8 4) е = — = 10 с -с- 5е. т Теперь мы уже знаем, что нужно делать, чтобы получить скорость точно в момент г„: нужно брать отрезок е все меныпе и меньше, т. е. устремлять его к нулто. Таким путем иа уравнения (8.1т) получим г (в момент с,) =10!с. В нашей задаче т,=б сек, следовательно, скорость равна а=10 5=50 м/сек. Это и есть нужный ответ. Раньше, когда е бралось равным 0,1 и 0,001 еек, получалась несколько большая величина, чем 50 м)еек, но теперь мы видим, что в действительности опа в точности равна 50 м,'еек. 8 3. Стсоросттьь етом прочснводнгли Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин е и х было придумано специальное обозначение: е обозначается как Ас, 148 а х — как Лг. Величина Лг' означает «небольшой добавок к Ь, причем подразумевается, что этот добавок можно делать меньше.
Значок Л ии в коем случае не означает умножение на каку«ото величину, точно так же как а«п 0 не оапачает з (.и О. Зто просто некоторый добавок ко времени, причем значок Л напоминает нам о его особом характере. Ну, а если Л не множитель, то его нельзя сократить в отношении ЛЫЛС Это все равно, что в выражении юпй,'йп28 сократить зсе буквы н получить '!з. В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения Лх«Л1 при Лг,, стремящемся к нулю, т. е.
а =-!пп —,. (8.5) ю- еа« Зто по существу формула (8.3), но теперь яснее видно., что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие имеппо величины изменяются. Существует еще один закон, который выполняется с хорошей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скорости, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т. е. Лз=вЛ1. Зто правило строго справедливо только тогда, когда скорость не изменяотся в течение интервала Лц а это, вообще говоря, происходит, только когда Л~ достаточно мало.
В таких случаях обычно пишутдг=-гЖ, где под й подразумевают интервал времени Л1 при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал Ы достаточно велик, то скорость эа это время может измениться и выражение Лз = «Л ~ будет уже приблп«кенным. Однако если мы пишем Н, то при этом подразумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение от= Ы«точное. В новых обозначениях выра»,скио (8.5) имеет вид Лю «« г= ))пт — = — '. *,,д!»«' Величина ла о«называется «производной а по й> (такое название напоминает о том, что изменяется), а ело».ный процесс нахождения производной называется, кроме того, дифференцированием.
Если же оз и «(«появляются отдельно, а не в виде отношения «(Ый, то они носят названия дифференциалов. '(тобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции 5««, или просто производную от 54«. Она оказалась равной 10«. Еогда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте найдем производную более сложной функции. Рассмотрим выражение .«=АР+В«+С, которое моя;ет описывать движение точки.
Буквы А, В, С, так же как и'в обычном квадратном уравнении, обозначазот постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент 149 Таблица б.б ° нккоторык прокзводкык звольные фунниии; звольные постоянные. 6, и, о, ин — прои а, Ь, с,л — ирои Фуянцвя Прввзввдная бз — =луп бС бз 0и 6СС нСС вЂ” =с— дз би бс бм бС бС бС дС + + + ° ° ° бз бС вЂ” =О бз /ахи Ь йр с бар -=,(--+- — +- — + ...) бС (ибС и сСС 6вбС в=си иа оь знс 150 времени С. Рассмотрим для этого момент С+ЛС, причем к в прибаввтся некоторая добавка Лз, н найдем, как выражается Лу через ЛС. Поскольку 6+ли =А (с+ лс)'+В (с ц-лс) +С= = А С'+ ВС + С + ЗА С'ЛС+ ВЛС + ЗА С (ЛС)'+ А (ЛС)*, 6 = АС'+ВС--, 'С, то Лз = ЗА С'ЛС+ ВЛС+ 3 4 С (ЛС)в+ А (ЛС)'.
Но нам нужна не сама величина Лз, а отношение Л6СЛС. После деления на ЛС получим выражение —, = ЗА С'+ В+ ЗА С (ЛС) + А (ЛС)', которое после устремления ЛС к нулю превратится ⠄— ', =-ЗАС' —, В. Н этом состоит процесс взятия производной, нли дифференциро- вания функций, На самом деле он несколько легче, чем это ка- жется на первый взглнд. Заметьте, что если в разложенпях, по- добных предыдущим, встречаются члены, пропорциональные (ЛС)' или (ЛС)з или еще более высоким степеням, то их можно сразу вычеркнуть, поскольку оки все равно обратятся в нуль, когда в конце мы будем ЛС устремлять к нулю.
После небольшой тренировки вы сразу будете видеть, что нужно оставлять, а что сразу отбрасывать. Существует много правил и формул для дифференцирования различных видов функций. Их можно либо запомнить, либо пользоваться специальными таблицами. Небольшой список таких правил приводится в табл. 8.3. 8 4. 1'асспьоянтле мык т»»ьтпегрол Обсудим теперь обратную проблему. Пусть вместо таблицы расстояний нам дана таблица скоростей в различные моменты времени, начиная с нуля. В табл.
8.4 представлена зависимость скорости падающего шара от времени. Аналогичную таблицу можно составить н для машины, если записывать показания спидометра чероз каждую минуту или полминуты. Но можно Таблица 8.4 м скогость плдлюп»кто шлгл », с»м и, м »»м 0 !О 20 ЗО 40 ли, зная скорость машины в любой момент времени, вычислить расстояние, которое ею было пройдено» Эта задача обратна той, которую мы только что рассмотрели. Как же решить ее, если скорость машины непостоянна, если она то ускоряется до 90 км»'час, то замедляется, затем где-то останавливается у светофора и т,д.7 Сделать это нетрудно. Нужно использовать ту же идею и выражать полное расстояние через бесконечно малые его части.
Пусть в первую секунду скорость будет г», тогда по формуле Ля= а»Л1 можно вычислить расстояние, пройденное за эту секунду. В следующую секунду скорость будет несколько другой, хотя, может быть, и близкой к первоначальной, а расстояние, пройденное машиной за вторую секунду, будет равно новой скорости, умноженной на интервал времени (1 сик). Этот процесс можно продолжить дальше, до самого конца пути.
В резул ь» ате мы получим иного маленьких отрезков, которые в сумме дадут вась путь. Таким образом, путь является суммой скоростей, умноженных иа отдельные интервалы времени, нлн г =- ~ » ЛГ, где греческая буква чо (сигма) означает суммирование. Точнее, зто будет сумма скоростей в некоторые моменты времени, скажем 1», ль»»»ожениые на Лй 8 = ~~~~ ~и (г») Лг» (8.С) причем каждый последующий момент 1»~, находится по правилу г»л»-— -г,+Лг. Но расстояние, получейное зтнм методом, не будет точным, поскольку скорость за время Лг все же изменяется. Выход из етого положения заключается в том, чтобы брать все меныпне и меныпне интервалы Лс, т. е.
разбивать время движения на все большее число все меньших отрезков. В конце 151 концов мы придем к следующему, теперь уже точному выражению для пройденного пути: з = 1пп ~~~~~ г (1,) ЛГ. (8.7) Ы Математш и придумалн для этого предела, как и для дифференциала, специальный символ. Значок й превращается в д, вапомияая о том, что интервал временн сколь угодно мал, а знак суммирования превращается в ) — искаженное большое о', первая буква латинского слова «Зашлю».
Этот значок назван интегралом. Таким образом, мы пишем з =- ) г (1) Й, (8.8) й;».,Гсморент«е Следующий шаг на пути к уравнениям движения — зто введение величины, которая связана с изменением скорости движения. Естественно спросит«к а как изменяется скорость движения? В предыдущих главах мы рассматривали случай, когда действующая сила приводила н изменению скорости. Бывают легковые машины, которые набирают с места за 10 сек скорость 1И где е(1) — скорость в момент К Сама же операция суммирования этих членов называется интегрированием. Она противоположна операции дифференцирования в том смысле, что производная этого интеграла равна а(1), так что один оператор (Йс»1) «уничтон;ает» другой ( ~). Это дает возможность получать формулы для интегралов путем обращения формул для дифференциалов: интеграл от функции, стоящей в правой колонке табл.8.3, будет равен функции, стоящей в левой колонке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
