Фейнман - 01. Современная наука о природе. Законы механики (1055659), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Чтобы рассуждать дальше, нужно выяснить, какое ускорение вызывает зта сила. Однако в отличие от предыдущей задачи нам потребуются теперь когаиопенты ускорения в двух направлениях, которые мы назовем х и у. Положение планеты в данный момент будет определяться координатами х и у, поскольку третья координата х всегда равна нулю. Действительно, координатная плоскость ху выбрана нами таким образом, что з-компоненты как силы, так и начальной скорости равны нулю, а поэтому нет никаких причин, которые бы заставили планету выйти из этой плоскости. Сила при этом будет направлена по линии, соединяющей планету с Солнцем, как зто показано па фпг.
9.5. Из этого рисунка видно, что горизонтальная компонента силы так относится к полной ее величине, как координата х относится к расстоянию г. Это сразу следует из подобия треугольников. Кроме того, если х положительна, то Р„отрицательна, и наоборот. Таким образом, Р,/~Р~ = — х,'г, или Р„= — ~Р~х!г= — СМ тхаг н соответственно Р = — 6Мтд!га. Теперь можно воспользо- У ваться динамическими законами (9.7) и написать, что х- или у-компонента ускорения, умноженная на массу планеты, равна соответственно х- плн р-компоненте силы: (9 !7) з г г=)'х~, уг. —, = 8,000, а = 0,000. у г (0) = 0,500, а„= — 4,000, После этого можно вычислять компоненты г„(0,05) и е (0,05).
е„(0,05) = 0,000 †,000 0,050 = — 0,200, г (0,05) =- 1,630 +0,000 0,100 = 1,630. Это именно та система уравнении, которукэ мы должны решить. Для того чтобы упростить вычисления, предположим, что:шбо единицы измерения времени или массы выбраны соответствующим образом, чнбо нам просто повезло, словом, получилось так, что СМ = 1.
Для нашего случая предполоязим, что в начальный момент ~ =- 0 планета находплась в точке с координатами х == 0,500 и у =- 0,000, а скорость ее в этот момент направлена параллельно оси у н равна 1,6300. Как же в этом случае делаются расчеты? Снова составляется таблица со столбцами для времени 1, координаты х, х-компонент скорости г, и ускорения аге Затем идут отделенные чертой три колонки: для координаты у, у-компонент скорости и ускорения. Однако, для того чтобы подсчитать ускорения, мы должнга воспользоваться уравнением (9.17), согласно которому его компоненты равны — х7гз и — уЛ"', а г = У х'+ у'.
Так что, получив х и у, мы должны где-то в сторонке провести неболыпие вычисления — извлечь квадратный корень нз суммы квадратов и получить расстояние. Удобно также отдельно вычислить и 1/гз. После этого все готово, чтобы определить компоненты ускорения. Всю эту работу можно сильно облегчить, если пользоваться таблицами квадратов, кубов и обратных величин. На нашу долю останется тогда только умноэкение х на 1!гз, которое легко выполняется на логарифмической линейке. Перейдем к дальнейшему. Возьмем интервал времени е = 0,100. В начальный момент г = 0 х(0) =0,500, у(0) = 0,000, г, (0) =- 0,000, г„(0) = -+ 1,630.
Отсюда находим о а сч о с- с сч о \а са со со с» СО л со с с с» с о а сч сс о о сч о о О О О О О О Ю й О» Ю са сс о сс с сч о с- ! ! ! с» со сч с сч сч с а ю о о о о о о а а о а с- с- о о о о ! о с» + Т Т сс СО Ю С» Ю сч сс о ! ! ! ! ! ! ! а о л сч о сч сс с'5 с а! о о о о а о сч Ю сч о ю с» со с» а Ю О О о о о с о о с о о О с о и о к ОЛ!! и !,„ !! оо 4!а Ы о а л а а а, Т ! ! ! сч сч со о а а с ас ас с сч о со сч сч о с со с с а о а са с с с сс З О О О О о ' о Т Т Т ! са со о О о о с о О О О О О О о о со сс о с с с со о о ! сь «3 ь са ас ь 3 с са оо о а3 сь а3 о о ас а 3 са а3 м м са са о са:3 сь с» о а ь ас а со о — — сч а о ь ь о сч а3 =ч о о са а ,а Сс СЧ са со а3 ос ос О О О ь О ч Ь Ь 3 Ь о с Ь а Ь а о к о й Сс Ю СЧ Ь о:а 3- са о о о ь О Ю о о о ! о + Я с» ! о о ! ~ ! а 34 к 4 к а ЬК Ю с'3 са С4 а 3 3 С- 3- 3- а а аа сь а' аа с ь о о о ! о о о ! ! о о о о СЬ о о о О са» сч аа О О О О О + + + + + м а3 с\3 о о О 3О Са а3 а' а3 о о ь а с» о сь са м 3 аа сс сч са о а» сч о о о о о о о С'4 С4 О 3 аь са сь о о са С- л а са С'3 О О О о ! ! + 3 'а а 3 5 С3 СЬ о- о с~ о с3 'а С'4 о о со я сч со со ...", О О О 1 ! с4 са С'4 СЧ С4 Ь 3- а СЬ О С3 са сч сч иа С4 3 3' сч 3 с» о м ОО а иа м ь са 33 сч — сь О Са О О Ь О О О Ю О Я а а Ф Ь а Ь 3 Ь Ь о Ь о о «ч 3 а В а Ь а к 3 а « 3 а а о ь Ф 3о 4 И к П Са к а к о 3 3 8 а к к а Сс 3 й" Л теперь начнем пати основной расчет: х (0,1) = 0,500 — 0,200 0,1 =- 0,480, у(0,1)=0,00 -)-1,63 0,1=0,163, г= Р (0,480)'-!-(0,163)'=-0,507, —,= 7,67, а„(0,1) =.
0,480 7,67 —.— — 3,68, и (0,1) = — 0,163 7,70 == — 1,256, г„(0,15) = — 0,200 — 3,68 0.1 =-- — 0,568, г (О 15)= 1,630 — 1,26 0,1 =-1,505, х(0,2) =0,480 — 0,568 0,1 =-0,423, у(0,2) =0,163+1 50 0,1 =-0,313 и т. д. В результате мы получим числа, приведенные в таол. 9.2, где приблизительно за 20 шагов прослежена половина пути нашей планеты вокруг Солнца.
На фиг. 9.6 отложены координаты планеты х и у, приведенные в табл. 9.2. Точки представляют собой последовательные положения планеты через каждую десятую долю выбранной нами единицы времени. Видно, что сначала она двигалась быстро, а затем — все медленней и медленней. Видна также и форма кривой движения планеты. Итак, вы теперь знаете, как реально можно вычислять движение планет! Давайте посмотрим теперь, каи вычислять движение Нептуна, Юпитера, Урана и остальных планет.
Моя<но ли сделать подробные расчеты со множеством планет, учитывая к тому же и движение Солнца? Разумеется, можно. Найдем сначала силу, действующую яа каждую данную планету, например на ту, которую мы обозначим номером 1 я координаты которой х;, у,. и г, (1 = 1 может означать Солнце, ~' = 2 — Меркурий, 1 = 3 — Венеру и т. д.). Наша задача — найти координаты всех планет. По закону тяготения х-компонента свлы, действующая иа Ою планету со стороны планеты номер у с координатами х,, у, гт будет равна — Ст,тт(х; — х )!гч Коли же учесть силы со стороны всех планет.
то получим следующую систему уравнении: (9.18) 172 ("-'-") =' ~- '"""" -'"! ~=1 "1 (~';,) Ч ~ бап', (Ю вЂ” Лт) ~ 7=! "и я (аъ;,~ ~~ ~ ст,т (л,— г~)] /=~ ~'! гз и г, д,д. ГрпГдия дважеаав авааети вокруг Совала. ~=ад-~. -10 где г; — раестояипе мея;ду 1-й и )-и плакетамк: г,,=- ~~ (и, — и )' —. (у, — у .)' 1- (з, — г,)', (9.19) а ~ч~~ означает суммирование по всем остальным планетам, т. е. по всем значениям /, за исключением, конечно, 1 = г. Таким ооразом, чтобы решить это уравнение, нужно лишь значительно увеличить количество столбцов в нашей таблице. Для движения Юпитера понадобится девять столбцов, для Сатурна — тоже девять и т.
д. Если нам заданы все начальные положения и скорости, то из уравнения (9.18) можно подсчитать все ускорения, вычислив, конечно, предварительно по формуле (9.19) все расстояния г,,. А сколько же времени потребуется на все эти вычисления? Если вы будете делать их сами дома, то очень много! Однако сейчас уже имеются машины, неимоверно быстро выполняющие все арифметические расчеты. Сложение, например, такая машина выполняет за 1 эгксек, т. е. за одну миллионную долю секунды, а умножение — эа 10 мксек. Так что если один цикл расчетов состоит из 30 операций умножения, то это займет всего лишь 300 эгксек, нли за 1 сея можно сделать 3000 циклов.
Если мы хотим считать с точностью до одной миллиардной, то для того, чтобы покрыть все время обращения планеты вокруг Солнца, требуется 4 10' циклов. (Оказывается, что ошибка в расчетах приблизительно пропорциональна квадрату е. Если брать интервал в тысячу раз меньший, то ошибка уменьшится в миллион раз. Так что для обеспечения нашей точности нужно взять интервал в 10 000 раз меньше.) На машине это займет 130 сел, или около 2 мин. Всего лишь 2 мин, для того чтобы «прогнатьг Юпитер вокруг Солнца и при этом еще с точностью до одной миллиардной учесть все возмущения от других планет! Итак, в начале этой главы для вас были загадкой движения грузика на пружинке, однако теперь вооруженные таким мощным орудием, как законы Ньютона, вы можете вычислять не только такие простые явления, как качание грузика, но и неимоверно сложные движения планет, причем с любой желаемой точностью! Нужна только машина, знающая арифметику.
Гневи 10 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА й 1. Третий закон Ньютона й 2. Закон сохранения импульса й 1. Тревьмй никин Ньзотпона Второй закон Ншотона, который связывает ускорение любого тела с действующей на него силой, позволяет хотя бы в принципе решить любую механическую задачу. Можно, например, с помощью числового метода, знакомого вам узке по предыдущей главе, определить движение нескольких частиц. Однако имеется еще достаточно причин, чтобы продолжить изучение законов Ньютона. Во-первых, существуют такие сравнительно простые случаи движения, которые можно изучать не только числовым путем, но и с помощью прямых математических методов. Вы знает, например, что ускорение свободно падающего тела постоянно и равно 9,8 м1севз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
