Фейнман - 01. Современная наука о природе. Законы механики (1055659), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Итог расчета показан на фиг. 14.4. Потенциал отрицателен, равен нулю на бесконечности, падает как 1г'г, пока гне станет равным а, и аатем внутри слоя становится постоянным. Вне слон потенциал равен — Ст!г(пг — масса слоя), что полностью совпадает с потенциалом точки с массой ш, помещенной в центре сферического слон. Но такое совпадение существует только для точек снаружи слоя, а во внутренних точках потенциал оказывается равным — Ст~а и больше не меняется( Л когда потенци л постоянен, то полл неки если потенциальная энергия не меняется, то сила отсутствует, потому что, когда мы двигаем тело из однои внутренней точки в другую, работа, выполняемая силой, в точности равна нулю.
Почеььуг' Да потому, что работа передвижения тела ьи одной точки в другую ранна минус изменению потенциальной энергии (или соответствующий интеграл от поля равен изменениьо потенциала). Но потенциальная энергия в обеих точках одинакова, значит, ее изменение равно нулю, и поэтому никакой работы при любых движениях внутри сферического слоя не производится. А зто возможно лишь тогда, когда внутри слоя нет никаких сил. В этих рассуждениях яростен ключ к вычислению силы или напряженности. поля, когда потенциальная энергия известна. ньъ Пусть потенциальная энергия тела в точке (х, у, г) дана, а мы хотим узнать, какая сила действует на него в этой точке.
Для этого нужно знать потенциал не только в этол точке, но и в соседних. Почему? Попробуем вычислить х-компоненту силы (осли мы это сумеем сделать, то точно таким же способом мы вычислим и у- и г-компоненты, определив тем самым всю силу).
Если б мы сдвинули тело на малое расстояние Лх, то работа, произведенная силой над телом, равнялась бы х-компоненте силы, умноженной на Лх (если Лх достаточно мало), и должна была бы быть равна нзменени»о потенциальной энергии прп переходе от одноп точки к другоп: ЛИ' = — Л!à —.. 1'„Лх. (14.9) Чы просто применили фор»«улу ) г' е)э= — ЛГГ для очень малых расстояний. Теперь разделим на Лх и обнаружим, что сила равна (1Гк10) дГГ дх (14.11) Конечно, это не совсем точно. На самом деле наы нужно перейти в (14.10) к пределу при Лх, стремящемся к нулю, потому что (14 10) точно соблюдается только для бесконечно малых Лх.
Мы узнаем в правой части(14,10) производную ГГ по х и хотим написать — «ГГГГ«(х. Но ГГ зависит и от х, и от у, и от г, и для такого случая математики придумали другое обозначение, которое рассчитано на то, чтобы напоминать нам, что надо быть очень осторожным, дифференцируя такую функцию. Этот символ напоминает, что только х считается изменяющимся, а у и г — нет. Вместо д они просто пишут «6 навыворот», или д.
(По-моему, когда начинаешь изучать дифференциальные исчисления, то вообще лучше работать с д, а не с а'; «Г всегда хочется сократить, а вот на д как-то рука не поднимается!) Итак, они пишут дГГ/дх, а иногда в припадке строгости, желая быть очень бдительныл«и, они ставят за дх скобку с маленькими у, г внизу (дГГГдх) „ что означает: «Продифференцируй ГГ по х, считая у и г постоянными». Но мы чаще всего не будем отмечать, чтб осталось постоянным, иа контекста это всегда можно понять.
Но зато всегда будем писать д вместо д как предупреждение о том, что эта производная берется при постоянных значениях прочих переменных. Ее называют частной производной, т. е. производной, для вычисления которой меняют часть переменных, х. Итак, мы обнаруживаем, что сила в направлении х равна минус частной производной ГГ по х: + + Ф и «. 1Е.Л. Позе.чежде параллельпыма пппетиполп. Точно так же и сила в направлении у получается дифференцированием П по у при постоянных х и г, а третья составляющая силы опять-тани есть производная по г при х н у постоянных; (14.
12) В этом н состоит способ получать силу из потенциальной энергии. Поле получается из потенциала в точности так же; д%' дьу, д1« С = — —, С = -- —., С = †. (14.13) и де ' У ду ' е дг Заметим, кстати, что существует и другое обозначение (впрочем, пока оно нам не понадобится). Так как С есть вектор с компонентами х, у, г, то символы д!дх, д!ду, д/дг, дающие х-, у-, г-компоненты поля, чем-то напомнна«от векторы.
Математики изобрели знаменитый символ Ч, или ятад, называемый «градиентомз; это не величина, а оператор, он делает из скаляра вектор. У него есть трн составляющие: х-компонента этого йга«( есть д~дх, у-компонента — д1ду, а г-компонента — д!дг, ц мы можем позабавиться, переписав наши формулы в виде Р= — ЧГ, С= — ЧЧ'. (14.14) Глядя на Ч, мы мгновенно узнаем, что наши уравнения векторные; но на самом деле уравнение (14.14) означает в точности то же, что и (1еь11) и (14Л2); просто это другой способ записи. Не н«елая иисать каждый раз три уравнения, мы пишем одно лишь ЧП.
Еще один пример полей и потенциалов связан с электричеством. В этом случае сила, действующая на неподвижное тело, равна заряду, умноженному на поле: Р =- дЕ. (В х-составляющую силы входит, вообще говоря, и члены, которые зависят от магнитного поля.
Но из уравнения (12.10) легко увидеть, что сила, действующая на частицу со стороны магнитных полей, всегда направлена поперек поля и поперек ее скорости. Благодаря этому свойству магнетизм не произеодит никакой работы над движущимся зарядом, потому что сила перпендикулярна переиещению. Значит, вычисляя кинетическую энергию в электрическом и магнитном полях, можно пренебречь вкладом магнитного поля, так как оно не изменяеткннетической энергии.) Наложим, что имеется только электрическое поле.
Тогда мы можем рассчитать энергию или произведенную работу точно таким же способом, как и для тяготения; вычислить величину ~р, равную минус интегралу от Е ав от произвольной фиксированной точки Р до точки, в которой вычисляется потенциал; тогда потенциальная энергия в электрическом поле равна просто произведению заряда на эту величину ~р: гр(г) = — Е Ыв, с =Л. В качестве примера рассмотрим две параллельные металлические пластины с поверхностным зарядои -~-о (на единицу площади) каждая. Такая штука называется плоским конденсатором. Мы уж убедилнсь раньше, что снаружи пластин сила равна нулю, а между ними существует постоянное электрическое поле.
Оно направлено от плюса к минусу и равно а/ее (фиг. 14.5). Мы хотим знать, какую работу надо совершить, чтобы перенести зарнд от одной пластины к другой. Работа равна интегралу от (Сила) (дв). Его можно записать как проивведение заряда на значение потенциала на пластине 1 минус та же величина на пластине 2: И' = ) Г т(в = д (<р, — ~р,).
1 Интеграл здесь легко вычислить, так как сила постоянна, и если обозначить толщину конденсатора Ы, то интеграл равен и й Г ав= — ~де=— ао г еоа ео 3 еа 1 1 Разница в потенциалах Л~р=од/е„называется на ирлжением н ~р измеря1от в вольтах. Когда мы говорим, что пара пластин зарлжена до определенного напряжения, мы хотим этим сказать, что разность электрических потенциалов двух пластин равна столькнм-то вольтам. У конденсатора, сделанного нз двух параллельных пластин с поверхностным зарядом ~о, напряжение (илн разность потенциалов этой пары пластин) равно од'е„.
НЕКОТОРЫЕ ПОСТОЯННЫЕ '1псло Авогадро Скорость света Зарлд электрона Постоянная Планка Массо эаектрояа 51ассл протопи 1 кюри 1 год Ускорение силы тякптти 1 атмосфера Л = 6,0249 10вв лволелул/г-.ноль с =2,99793 10'в еле,'сек в=4,80286 вл-стет. ед. =1,6021 ° 10 " кулон 5=-6,5817 10 вв 3!вв сев=-1,054.10 говрг сек о1е О,о11006 Ллвв ЛХ =1836,12 т, 3,? 10" распадов в секунду 3,1536 10' сек ( я 10' сек) 980,67 еле,'секс 1033,2 г?слп .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
