Фейнман - 01. Современная наука о природе. Законы механики (1055659), страница 53
Текст из файла (страница 53)
р 3. Бдиеерви»т»««вньее силы В природе существуют силы, скажем сила тлжести, обладающие замечательным свойством — <консервативностью» (никаких политических идей, ничего двусмысленного в этом понятии нет). Когда мы подсчитываем, какую работу выполняот сила, двигая тело от одной точки к другой, то вообще работа зависит от траектории; но в особых случаях эта зависимость пропадает. Коли работа не зависит от траектории, мы говорим, что сила консервативна.
Иными словами, если интеграл от произведения силы на приращения смещений мея ду точками 1 и 2 (фиг. 14.2) один раз вычислен вдоль кривой Л, а другой — вдоль кривой В, и оба раза получается одинаковое количество джоулей, н если это выполнено для любой кривой, соединя|ощей эту пару точек, и если это же справедливо для любой пары точек, то говорят, что сила консервативна. В таких обстоятельствах интеграл работы между точками 1 и 2 можно легко подсчитать и дать для него формулу.
А в других случаях это не так просто: нужно задавать еще форму кривой; но когда работа не зависит от кривой, то, ясное дело, остается только зависимость от положений точек 1 и 2. Чтобы доказать это, рассмотрим фиг. 14.2. Фиксируем произвольную точку Р. Криволинейный интеграл работы на участке (1,2) можно вычислить, разбив его на две части: работу иа участке (1, Р) и работу на участке (Р, 2), потому что сейчас у нас всюду консервативные силы, и по какому пути ни войти, значение работы одно и то же. Работа перемещения из точки йе и е, ли.з. Воен<ление куте<, еоедиияюи»ие дее точки е коле еил 1 Р в любую точку пространства является функцией положения конечной точки.
Она зависит и от Р, но мы во всем дальнейшем анализе точку Р закрепим, так что работа перемещения тела от точки Р к точке 2 будет некоторой функцией положения точки 2. Она зависит от того, где находится точка 2; если переместить тело в другую точку, ответ будет другой. Обозначим эту функцию положения через — У(х, у, г); желая отметить, что речь идет именно о точке 2 с координатами хэ, у,, г>, мы будем просто писать 1!(2), сокращая обозначение 1!(хг, у„гг).
Работу перемещения из точки 1 в точку Р можно написать, обратив направление интегрирования (переменкв знаки всех аа). Другнмп словами, работа на учаспье (1,Р) равна работе на участке (Р,1) со знаком минус: 1 ! ) Г а>з= ~ Г ( — а>е)=- — ) Г ь)е. > Р Значит, работа на участке (Р,1) есть — 1!(1), а на участке (Р 2) есть — 1!(2). Поэтому интеграл от 1 до 2 равен — 1!(2) пл>ос ! — !!(1) кагал), т. е. л-7У(1) — 1!(2)ь > 6'(1) =- — ) Г ь!з. ь!(2) =- — ) Г ь!з, г 1 Г . !в =- 6' (1) — С (2).
(14.1) 1 Вели нна с!(1) — !!(2) называется изменением потенциальной энергии, а б> можно назвать потенциальноп энергией. Мы будем говорит, что когда предмет находится в положении 2, то он обладает потенциальной энергией 1!(2), а в положении 1 — потенциальной энергией У(1). Когда он находится в положении Р, его потенциальная энергия равна нулю. Если бы вместо Р взять любую другую точку (), то оказалось бы (это предоставляется доказать вам самим), что потенциальная энергия всех точек изменилась бы только на постоянную добавку. Так как сохранение энергии зависит только от изме>ьений ее, то эта добавочная постоянная никакого значения не имеет.
Вот поэтому точка Р произвольна. Итак, у нас имеются два утверждения: 1) работа, выполняемая силой, равна изменению кинетической энергии системы, но 2) математически для консервативных сил выполненная работа равна минус изменению функции 11, называемой потенциальной знергизй. Как следствие этих утверя'дений возникает еще одно: если действуют только консервативные силы, сумма потенциальной У и кинетической Т энергий остается постоянной: 1' -( (! = сопле. (14.2) РассмотРим формулу потенциальной энергии для ряда случаев. Если поле тяготения однородно, осли мы не поднимаемся до высот, сравнимых с радиусом Земли, то сила постоянна и направлена верппзально, а работа равна просто произведению силы на расстояние по вертикали. Стало быть, Г (г) = ллдз, ((4.3) и за точку Р с нулевой потенциальной энергией можно припять лзобую точку на поверхности э =- О.
Но можно также говорить, что потенциальная энергия равна тд(г — 6), если пам так уж этого хочется! Все результаты в наьчем анализе останутся теми же, кроме гого что потенциальная энергия иа поверхности з = О будет равна — тгб. Разницы никакой, ведь в расчет надо принимать только разности потенциальных энергий.
Энергия, необходимая для сжатия пружины на расстояние х от точки равновесия, равна Е! (х) == —, йх', ((4.4л) и нуль потенциальной энергии приходится на точку х = О, т. е. иа равновесное состояние пружины. И здесь тоже мы люлкем добавить любую константу. Пвтенциальная энергия тяготения точечных масс М и т на расстоянии г друг от друга равна (14.5) Константа здесь выбрана так, чтобы потенциал исчезал иа бесконечности. Конечно, зту же формулу можно применить и к электрическим зарядам, поскольку закон один и тот же: О(г) =- —. ч|ЧЙ 4яз,с ' (14.
()) Давайте теперь поработаем с одной из этих формул, посмотрим, поняли ли мы их смысл. Вопрос: С какой скоростью должна отправиться раьета с Земли, чтобы покинуть ее? Ответ: Сумма кинетической и потенциальной энергий долзкна быть постоянной; покинуть Землю — значит удалиться от нее на миллионы километров; если у ракеты только-только хватает сил, чтобы покинуть Землю, то надо предположить, что там, вдалеке, ее скорость будет равна нулю и что на бесконечности она будет едва-едва двигаться. Пусть а — радиус Земли, а М— ее масса.
Кинетическая плюс потенциальная энергии первоначально были равны '4, тал — СтМ~а. В конце движения эти обе энергии должны сравняться. Кинетическую энергию в конце движения мы считаем нулевой, потому что тело еле движется (почти с нулевой скоростью), а потенциальная энергия равна величине ОиМ, деленной на бесконечность, т. е.
опять нулевая, Значит, с одной стороны стоит разность двух нулей; поэтому квадрат скорости должен быть равен 2Слу~и. Йо СМ/аэ это как раз то, что называют ускорением силы тяжести л. Итак, г' = 2яа. С какой скоростью должен двигаться искусственный спутник, чтобы не падать на Землю? Мы когда-то решали зту задачу и получили ~'=-СЛХ,'а. Значит, чтобы покинуть Землац нужна скорость, в 1'2 большая, чем скорость вращения спутника вокруг Земли. Иными словами, чтобы улететь с Земли, нужно вдвое больше энергии (энергия пропорциональна квадрату скорости), чем чтооы облететь вокруг нее. Поэтому исторически сначала были совершены облеты искусственных спутников вокруг Земли, для чего понадобились скорости около 7,8 кл/сев.
И только потом космические корабли были заброшены в мировое пространство; для этого потребовалось уже вдвое больше энергии, т. е. скорости около 11,2 кл,'сев. Продолжим теперь наш обзор характеристик потенциальной энергии. Давайтте рассмотрим взаимодействие двух молекул пли двух атомов, например двух атомов кислорода. Когда они находятся далеко друг от друга, онн притягиваются с килой, обратно пропорциональной седьмой степени расстояния, а при тесном сближении они сильно отталкиваются. Проинтегрировав минус седьмую степень расстояния, чтобы получить работу, мы увидим, что потенциальная энергия Г (функция расстояния мея'ду атомами кислорода) изменяется как минус шестая степень расстояния (па больших расстояниях). Если мы чертим некую кривую потенциальной энергии С(г) (фпг.
14.3), то при больших г она выглядит как г ~, а при достаточно малых г достигает минимума. Минимум потенциальной энергии в точке г == б означает, что если мы сдвинемся от нее на малое расстояние, на очень малое расстояние, то произведенная работа, равная изменению потенциальной энергии на атом промежутке, почти равна нулю, потому что на донышке кривой энергия почти не меняется.
Значит, в этой точно сила равна нулю, п это есть точка равновесия. Условие равновесия можно высказать н иначе: для удаления из точки равновесия в любую сторону нужно затратить работу. Когда два атома кислорода расположены так, что никавой энергии из их силы взаимодействия больше выжать невьзя, то онинаходятся в наиннзптемэнергетическом состоянии и промежуток между ними равен д.
Так выглядит молекула кислорода, когда она не нагрета. При нагревании атомы колеблются и расходятся; их можно и совсем развести, но для этого нужно определенное количество работы или энергии, равное разности потенциальных энергий в точках ЧЬ и г. 14.д. Потенциальная енереия вваимодействив двух атомов ная феуннция расстояния меясду ними. УИ г=э1 и с=с>. При попытке сблизить атомы энергия быстро возрастает вследствие нх взаимного отталкивания.
Почему мы говорим о потенциальной энергии? Потому что идея силы не очень пригодна для квантовой механики, там более естественна иден энергии. Когда мы рассматриваем более сложные взаимодействия; ядерного вещества, молекул и т. д., то, хотя понятия силы и скорости «рассасываются» н исчезают, оказывается, что понятие энергии все же остается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
