Фейнман - 01. Современная наука о природе. Законы механики (1055659), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Но ови ве притягиваются один к другому; все дело в геометрии, зто с нею происходит что-то «чудное». Хотя зта картинка и не касается геометрии Евклида (пе показывает нам, что в ней есть «чуднбго»), но она показывает, что, заметно исказив геометрию, можно все тяготение отнести за счет псевдосилы. В етом и состоит общая идея теории тяготения Эйнштейна. ~ «». зй'дериь«е силы Мы заключим зту главу кратким обзором единственных ныне известных сил, отличающихся от перечисленных,— ядерных сил.
Зги силы действуют внутри ядра атома, н, хотя нх много изучалн, никто ни разу еще не смог рассчитать силу, действующую между двумя ядрами; и фактически закон ядерных сил сепчас не известен. Зги силы имеют крайне незначительную протяженность действия — онп дойствуют только на размерах ядра около 10 1» сл. Поскольку частицы столь малы, а расстояния так коротки, нам нечего надеяться на законы Ныотона— здесь действуют только законы квантовой механики. Анализируя ядра, мы болыпе не говорим о силах; мы заменяем понятие силы понятием знергии взаимодействия двух частиц (поз>не об этом будет сказано подробнее). Любые формульц которые можно написать для ядерных снл, представляют довольно грубые приближения, в которых опущены многие детали взаимодействия; выглядят они примерно так: силы внутри ядер убывают яе обратно квадрату расстояния, а отмирают зкспоненцнально за некоторым расстоянием гр (порядка 10 "сж) как г'=(1)гз) ехр ( — г)г,).
11наче говоря, чуть частицы удалятся, как сплы тут я~е исчезают, хотя ближе 10 " см онн очень велики. По-видимому, законы ядерных сил сложны до чрезвычайности; мы их не понимаем, н вся задача анализа фундаментального механизма, стоящего за ними, не решена. Попытки решить зту задачу привели к открытию множества необычных частиц, например л-мезонов, но происхождение снл все равно остается темным.
Тлааа хд ф 1. Работа падаю- щего тела РАБ01А И И(УРЕНЦИАЛЬНАЯ ИННР1'ИЯ (1) й 2. Работа, выполняемая тяжестью У 1. 1гпботпп ппдпюгг1его тпелп й 3. Сложение энергий В гл. 4 мы разобрали вопрос о сохранении энергии. При атом законами Ньютона мы не пользовались. Интересно теперь посмотреть, как возникает сохранение энергии нз-за того, что действуют эти законы. Для ясности мы начнем с самых простых примеров и посгененно будем их усложнять. Простейший пример сохранения энергии— зто тело, падающее вниз, т. е. тело, движущееся только в вертикальном направлении.
Если оно меняет свою высоту под влиянием только тяя'ести, то из-за движения оно обладает кинетической энергией Т (илп к. э.) Кроме того, у уего есть потенциальная энергия тбй (сокращенно П, или п. э.). Их сумма постоянна: — тг + тдй = сопзП 2 2 к.э. п.э. й 4. Поле тяготгяля больших те.т (К11) Т )- Г' = соней А)ы хотим показать, что это утверждение правильно. Что значит докааать его правильность? Второй закон Ньютона говорит, как движется тело, как со временем изменяется его скорость (а именно, что в падении она растет пропорционально времени, а высота падения меняется как квадрат времени).
Если поэтому отмерять высоту от нулевой точки (где тело покоилось), то не будет ничего странного в том, что она окажется равной квадрату скорости, умноженному на какие-то постоянные. Однако все же рассмотрим зто повнимательней. Попробуем вычислить ирямо из второго аакона Ньютона, как обязана меняться кинетическая энергия; мы продифференцируем Ф и е. 1д.1. Тело, деижущееся под дейстеием тяжести по криеой бее перенял. кинетическую энергию по времени и потом применим закон Ньютона. Дифференцируя Ч, та' по времени, получаем с1Т д / г ег г дг' до — = — ( — глп' ) = — лг2г — = тг— (13.2) дг дс(, 2 ) 2 дг ' др потому что пг считается постоянной.
Но по второму закону Ньютона пг(г(гЯ1) —.-1', так что дТ вЂ” =рю (13.3) В общем случае получается Г ч, но для нашего одномерного случая лучше оставить просто произведение силы на скорость. Сила в нашем простом примере постоянна, равна — те и направлена вниз (знак минус именно это и показывает), а скорость есть степень изменения положения по вертикали (высоты Ь) со временем. Поэтому степень изменения кинетической энергии ранна — глд(г)Ь(г11). Взгляните: что за чудо! Перед нами снова чья-то скорость изменения — скорость изменения со вроменем величины лгдЬ) Поэтому выходит, что с течением времени изменения в кинетической энергии и в величине тдЬ остаются равнымн и противоположными, так что их сумма остается неизменной.
Что и требовалось доказать. Ь(ы только что показали, пользуясь Вторым законом Ньютона, что для постоянных снл энергия сохраняется, если только прибавлять потенциальную энергию тдЬ к кинетической П, лггг. Исследуем этот вопрос дальше; посмотрим, можно лн его обобщить, можно ли еще продвинуться в его понимании. Действует ли этот закон только для свободно падающих тел или являетсн более общим1 Из того, что мы знаем о сохранении энергия, можно ожидать, что он будет верен для тела, движущегося из одной точки в другую по кривой без трения и под действием одной лишь тяжести (фиг. 13.1). Когда тело, начав двигаться с высоты Н, достигает высоты Ь, то опять должна быть верной та же формула, хотя бы скорость уже не была направлена по вертикали. Нам надо понять, почему она все еще правильна.
Проведем тот же анализ; отыщем скорость изменения кинетической энергии во времени. Опять будет получаться лгд(с(д)й)— скорость изменения величины импульса, т. е. сила д направлении деижения — касательная сила Ри Итак, ар Й« — = то — = Р'«с. Йг Йг так что /еа'« /Й«1 Й«« гаг= (, «((ег,« = гг (Йе выпадает). И опять, как прежде, мы получили величину — лгу(ЙЫЮ), равную скорости изменения «пдй. Чтобы точно уяснить себе, как вообще соблюдается сохранение энергии в механике, рассмотрим сейчас некоторые полезные понятия.
Во-первых, рассмотрим скорость изменения кинетической энергии в общем трехмерном случае. Кинетическая энергия, когда движение имеет три измерения, равна г Т = —, т ( о«+ с'+ с«). Дифференцируя ее по времени, получаем три устрашающих члена: (13.4) ег= '«Йг т«гг «Йг'/ Но ведь т(Йг„7Й!) — это сила Р„, действующая на тело в на- правлении х.
Значит, в правой части формулы (13.4) стоит Г„о„+Р' с +Г,о„. Призвав на помощь векторный анализ, вспоминаем, что это г т. Итак, Йт — =г т. ег А можно это вывести и быстрей: если а и Ь вЂ” два вектора, зави- сящих от времени, то производная от а Ь равна (13.6) Подставим сюда а=- Ь ==гк ) = т — ° ч = Р ч = г — . (13,7) Йг Йс г ег ' (13. 5) Так как понятие кинетической энергии и вообще энергии очень важно, то различным величинам в этих уравнениях присвоены разные имена: Чз тв' называется, как известно, кинетической энергией; Г.
т называется эгощносгпью: сила, действующая на тело, умногкенная («скалярноз) на скорость тела,— это Скорость — это скорость изменения расстояния вдоль кривой Й«Ю, а касательная сила г'« теперь оказывается меньше тд в отношении, равном отношению расстояния Йе вдоль пути к вертикальному расстоянию Йй. Иными словами, ей Г = — езгпЕ= — д — „, мощность, сообщаемая телу этой силой. Получается велпколеп. ная теорема: скорость изменения кинетической энергии тела равна .мощности, затраченной силами, действующими на тело. Но для изучения сохранения энергии анализ следует продолжить. Давайте оценим изменение кинетической энергии за очень короткое время ггг.
Умнов'ив обе части уравнения (13.7) на дг, найдем, что изменение шшегической энергии равно силе, скалярно умноженной на дифференциал пройденного расстояния (!3.8) ггт=у га. Л интегрируя, получаем г Л т = ~ Г . ага. г (13 тй) '1то это значит? Это значит, что, как бы и по какой бы кривой траекторпи ни двигалось тело под действием силы, все равно изменение в к. з, прп переходе от одной точки кривой к другой равно интегралу от коьшонепты силы вдоль кривой, умноженной на дифференциал смещения дз (интегрирование от первой точки до второй).
И у этого интеграла есть имя: его называют работой, сввершенпвй силой над телом. Немедленно мы обнаруживаем, что мощность — вто работа ва секунду. И еще мы замечаем, что работу производит только составляющая силы вдоль направления движения. В нашем первом простом примере участвовали только верпгкальные силы с одной-единственной составляющей Е„равной — тд. В этих обстоятельствах совершенно неважно, как тало движется, прямо вниз или по параболе, все равно от Р дз (которое могкно написать как Е дх+Е„ду+Г,ггз) остается только 7г,дз =-.
— туд(г, потому что прочие составляющие сизы — нули. Значит, в этом случае 2 и ~ Р агз.=. ') — гидггз = — тд(г,— з,), (13,10) 1 1 йзв так что в потенциальную энергию входит только высота, с которой тело падает. Несколько слов о единицах. Так как сила измеряется в ньютонах, а для получения работы ее умножают на расстояние, то работу измеряют в единицах ньютон метр, но большинство людей этого названия не любит, предпочитая название длсоуль (дж). Это только другое слово, а единица та же. Итак, работу.
измеряют в джоулях. Мощность же — в джоулях в секунду; згу единицу называют ватт (вт). Если умножить ватты па время, то получим произведенную работу. Работу, которую местная энергосистема производит в наших квартирах (в техническом смысле), оценивается в ваттах, умноженных на время. Например, киловатт-час — это 1000 втх3600 сек, т. е. 3,6 10в длс. Приведем еще несколько примеров работы и сохравеншг энергии. Рассмотрим тело, которое вначале имеет кинетическую энергию и быстро двигается, скользя по полу с трением. Ояо останавливается.
В начале кинетическая энергия яс равна нулю, а в конце она равна крево; существует работа, произведенная силамп, потому что раз есть трение, то есть и составляющая силы в направленпи, противоположном направлению дв>>явен>гя, и энергия постепенно теряется. Теперь рассмотрим массу на конце маятника, который качается в вертикальной плоскости в поле тяжести без трения. Здесь наблюдается нечто другое, потому что, когда масса опускается, сила направлена тоже вниз, а когда подымается, сила направлена в обратную сторону, так что у Е г?в на спуске и на подъеме разные знаки. В соответствугощих точках спуска и подьема значения Г г?в рав~ы по величине, но противоположны по знаку, так что в цтоге интеграл есть чистый нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
