Фейнман - 01. Современная наука о природе. Законы механики (1055659), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Как же найти эту разность? Чтобы найти равность двух векторов, проведем вектор через концы векторов чг и чг, иначе говоря, начертим вектор Ь в качестве разности этих двух векторов. Верно7 11етг Мы можем поступать так только тогда, когда начала векторов расположены в одной точке! Вычитать векторы, приложенные к разным точкам, бессмысленно. Остерегайтесь этого! Чтобы вычесть векторы, нужно начертить другую схему. На фиг.
11. 8 векторы гг и уг перенесены параллельно и равны их двойникам, изображенным на фиг. 11.7. Теперь можно поговорить об ускорении. Ускорение, конечно, просто равно Ьч'Ы. Интересно заметить, ер и е. 11.д. Диаера.нма для вычисления ускорения. 20» 1с а вР (11. 15) Другую, поперечную составляющую ускорения легко вычислить, взглянув па фиг. 11.7 и 11.8. За короткое время й1 изменение угла между т~ и т равно малому углу йО. Еслп величина скорости равна г, то йг» = Рйд, а ускорение а равно ЬО а1 .= в— л~ Теперь пам нужно знать гъ01йг.
дту величину можно найти так: если в даняый момент кривую можно приблизительно заменить окружностью радиусом Л, то, поскольку за время Л1 частица пройдет расстояние з=гЫ, изменение угла равно ти аз ЛО= и, .и Л1 и' Таким образом, как мы уже установили ранео, а=— Я (11.16) О У. Спаляртгое гьроывведение вемпгоров Давайте еще немного займемся свойствами яекторов.
Легко понять, что длина шага в пространстве одинакова во всех координатных системах. Следовательно, если какому-то шагу г соответствуют составляющие х, у, г в одной системе координат и составляющие х', у, г' в другой системе, то расстояние г= ~г~ одно и то же в обеих системах. Сначала мы, конечно, должны ввести два расстояния г =)Гх'+у*+ г' и г'=)1х" О у" +г'*, а затем проверить, что зги обе величины равны. Чтобы не во- зиться с квадратным корнем, будем сравнивать квадраты рас- стояний. Мы должны, таким образом, показать, что (11.17) гог х'+у'+ г' = г" +у'* + г'*. что разность скоростей можно разделить на две части: можно представить себе, что ускорение состоят из двух состасляюи1их: Лч~~ — вектора, параллельного касательной к пути, и вектора Лч, перпендикулярного к втой касательной. Эти векторы показаны на фиг.
11.8. Касательное к пути ускорение равно, естественно, лишь иаменению длины вектора, т. е. изменению величины скорос>пи в: Подставив в это уравнение определяемые соотношением (11.5) вначения х', у', г', мы увидим, что это действительно так. Значит, кроме уже изученных нами векторных уравнений, существуют еще какие-то соотношения, верные в любой системе координат. Незаметно мы получили новый тип величин. Мы можем построить фуккки1о х, у и г, называемую скалярной функцией,— величину, которая не имеет направления, и одинакова в обеих системах координат.
Из вектора можно построить скаляр. Хорошо бы найти общее правило для этого построения. Собственно говоря, мы уже нашли это правило: надо возвести в квадрат каждую из составляющих вектора и сложить их. Определим теперь новую величину, которую обозначим а а. Зто не вектор, а скаляр; зто число, одинаковое во всех координатных системах и определяемое как сумма квадратов трех составляю. щих вектора: а а=а,'+а,'+а,'. (11.18) Вы спросите: «В какой системе координат?» По раэ это число ко зависит от системы координат, то ответ одинаков в любой системе координат.
Мы имеем дело с новым видом величины, с инвариантвм, или скаляром, полученным «возведением вектора в квадраты Если теперь определить, исходя из векторов а и Ь, величину (11.19) а Ь =- а«6„+ а»6»+ а,6„ то можно убедиться, что эта величина совпадает в штрихованной и нештрихованной системах координат. Чтобы доказать это, заметим, что это верно для величин а а, Ь Ь и с.с, где с=:а-~. Ь. Сумма квадратов (а„+6,)'ч-(а +6 )'+(а, +6,)' — инвариант: (в + 6„)'+ (ав+ 6 )' лс (а, + 6,)' = =(а„+6»)' —;(ив '„-6»)' -';(а, — , '6» )*. (11.20) Раскроем скобки в обеих сторонах этого уравнения. Перекрестные произведения дадут нам выражения типа (11.19), а суммы квадратов составляющих а и Ь вЂ” выражения (1!.18). Инвариантность слагаемых типа (11.18) приводит к иявариантностн перекрестных произведении типа (11.19).
Величина а Ъ называется скалярным произведением двух векторов а и Ь и имеет много интересных и полезных свойств. Например, легко доказать, что а (Ь+с)=а Ь+а с. (11.21) Есть еще очень простой геометрический способ вычисления а Ь, при котором не надо определять составляющих а и Ь; просто а Ь есть произведение длин векторов а н Ь на косинус угла между ними. Почему? Предположим, что мы выбралн такую систему координат, в которой вектор а направлен вдоль оси х; в этом случае вектор а имеет единственную ненулевую составляющую а, которая равна длине вектора а.
Таким образом, уравнение (11.19) сводится в этом случае к а Ь=а„дк, что равно произведению длины вектора а на составляющую вектора Ь по направлению а, которая в свою очередь равна Ь созО, т. е. а. Ь= ай сов О. Таким образом, в этой частной системе координат мы дока- залп, что а Ь равно произведению длин векторов а и Ь на косинус угла ллелкду ними О.
Но если это верно в одной сиюпеме координат, то это верно и во всех системах, потому что а Ъ не зависит от вьлбора системы координат. Что хорошего может дать нам эта новая величина? Нужно лн физику скалярное произведение? Да, оно необходимо ему постоянно. Например, з гл. 4 мы назвали кинетической энергией величину л1гтг', но если частица движется в пространстве, то нужно возвести в квадрат отдельно составляющие скорости х, у и г, так что формулу для кинетической энергии можно записать в виде к. э. = — т(т т) =- — т(э'-'; э'+ ок). (11.22) 1 1 — 2 к в Энергия не имеет направления. Импульс же направление имеет, это — вектор, и он равен произведению массы на вектор скорости.
Другим примером скалярного произведения может служить работа, произведенная силой при перемещении какого-нибудь предмета с одного места на другое. Мы еще не дали определения работы, она равна изменению энергии, прибавке в весе, после того как сила Р поработает вдоль пути з: Работа=р з (11.23) Иногда целесообразно говорить о составляющей вдоль определенного направления (напрнмер, вдоль вертикали, потому что это направление силы тяжести). Для этого удобно ввести единичный вектор вдоль интересующего нас направления.
Под единичным вектором мы будем понимать вектор, скалярное произведение которого на себя равно единице. Пусть это будет вектор 1; тогда 1.л=1. Скалярное произведение 1 а равно а сов О, т. е. оно равно составляющей вектора а вдоль направления 1. Это наилучший способ получить составляющую вектора. Поступая так, мы можем найти все составляющие вектора и получить забавную формулу.
Предположим, что нам задана какая-то система координат х, у и г. Введем три вектора: 1 — единичный вектор вдоль оси х, т — единичный вектор вдоль оси у и )с — единичный вектор вдоль оси з. Ясно, что 1 1=1. Чему же равно произведение 1 )2 Коли угол между векторами прямой, то их скалярное произведение равно нулю. Таким образом, 1 1=1, 11=0, ) (=1, (11,24) 1 1с=О, ) й=О, 1с 1с=1, Используя эти свойства векторов 1, ь к, моя но записать любой вектор а в виде а = а„1+ ал 1 + а, 1с, ,(11.25) Таким образом, можно от составлясощих вектора легко перейти к самому вектору. Мы изучили далеко не все свойства векторов.
Однако, прежде чем углубиться в зтот вопрос, научимся сперва применять обсужденные сейчас идеи в физике. И тогда, когда мы хорошо овладеем основным материалом, будет легче продвинуться дальше, не впадая в ошибки. Позднее мы увидим, что удобно определить еще одно произведение двух векторов, которое называется векторным произведением и записывается в виде ахЬ. Однако обсуждение етого вопроса лучше отложить до следующей главы, Глава ~3 ХАРАКТЕРИСТИКИ СИЛЫ $ 1.
Что есть сила? й 2. Трение р 1. Чт»»о есм»ь сил«»т Хотя изучение законов физики интересно и поучительно, хотя они и помогают нам понимать природу и овладевать ее силами, все же порой стоит остановиться и поразчыслитто что же онн на самом деле значат? Смысл любого утверждения — вещь, которая издавна, с незапамятных времен, интересовала и тревожила философов, а ул«смысл физических законов тем более должен волновать нас, ведь повсеместно считается, что в этих законах таятся некоторые реальные знания.
Смысл истины — это глубочайший философский вопрос; всегда ва«кно вовремя спросить: что это значит'. Спросим же: в чем смысл физических законов Ньютона, в чем смысл формулы Р=та? В чем смысл силы, массы и ускорения? Мы интуитивно понимаем, что такое масса; мы можем также оиределить ускорение, если нам понятно, чтб такое место и чтб такое время. Смысл этих понятий мы поэтому не будем обсуждать, а сосредоточимся на иовом понятии силы.
И здесь ответ тоже весьма прост: если тело ускоряется, значит на него действует сила. Так говорят законы Ньютона, и самое точное н красивое нз мыслимых определений силы состояло бы в толи что сила есть масса тела, умноженная на его ускорение. Имеется, положим, закон, что импульс сохраняется тогда, когда сумма внешних снл равна нулю. И вот у нас спрашивают: «А что это значили сумма внешних сил равна нулю?» И мы любезно отвечаем: «Когда полный импульс постоянен, то сумма внешних сил равна нулю».
Нет, здесь что-то не то. Ведь ничего 3 Заказ эв 2020 8 3. Молекулярные силы й 4. Фундаментальные силы. Поля й Ь. Псевдосилы й 6. Ядерные силы 209 нового мы при этом не сказали. Обнаружив основной вакон, утверждающий, что сила есть масса на ускорение, а потом оиределив силы как произведение массы на ускорение, мы ничего нового не открываем. Можно также определить силу и на другой манер: движущееся тело, на которое сила не действует, продолн«ает двигаться по прямой с постоянной скоростью.
Тогда, увидев, что тело ие двин«ется по прямой с постоянной скоростью, мы можем утвер»кдать, что на него действует сила. Но такие высказывания не могут составить содержание физики: зачем же ей гонять определения по кругу? Несмотря на это, приведенное выше положение Ньютона, по-впдимому, самое точное нз всех определений силы, одно из тех, которые так много говорят сердцу математика. И все же оно совершенно бесполезно,потому что из одного определения никогда ничего никто яе выводил. Можно день-деньской просиживать в кресле, определяя слова по своему хотению, но совсем иное дело — понять, чтб происходит прн столкновении двух шаров или что бывает, когда груз висит на пру'кинке. Пав«де>сие тел и выбор определений — между этими вещами нет ничего общего.
Пусть, например, мы бы решились говорить, что тело, предоставленное самому себе, лежит на месте и не движется; тогда, заметив, что что-то дви.кется, мы бы стали утверждать, будто на него действует «жил໠— мера охоты к перемене мест. Мы получили бы прекрасный новый закон, все было бы хорошо, кроме тех случаев, когда действует «жила». Как видите, все было бы подобно вашему определению силы и точно так же не несло бы в себе никакой информации. Истинное»ке содержание законов Ньютона таково: предполагается, что сила обладает независимыми свойствами в дополнение к закону Г=та; но характерные независимые свойства сил не описал полностью ни Ньютон, ни кто-нибудь еще; поэтому физический закон г =та— закон неполный.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
