Фейнман - 01. Современная наука о природе. Законы механики (1055659), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Если маятник ходиков расположен отвесно, они будут великолепно идти, но если их повернуть так, чтобы маятник уперся в стенку, верного времени они уже не покажут. Значит, нашу теорему нельзя применить к маятнику, если забыть о силе, которая заставляет его качаться. Если мы все-таки верим з симметрию физических законов относительно вращений, то мы должны сделать какие-то вполне определенные предположения о работе ходиков, например что для их работы важен не только часовой механизм, но и что-то, лежащее за его пределами, что-то, что следует обнаружить.
Можно также нредсказать, что ходики будут идти по-разному, если они попадут куда-то в другое место по отношению к загадочному пока источнику асимметрии (может быть, это Земля). Так и есть на самом деле. Мы знаем, что ходики на искусственном спутнике, например, вообще остановятся, ибо там отсутствует эффективная сила, а на Марсе скорость их хода будет совсем иной. Маятниковые часы содержат, помимо механизма, еще нечто вне их. Осознав этот факт, мы увидим, что вместе с ходиками нам придется повернуть и Землю. Но нам, конечно, незачем беспокоиться — сделать это очень легко.
Мы просто подождем минуту или две, и Земля сама повернется, а ходики затикая>т уже в новом положении так же весело, как и раньше. Пока мы поворачиваемся в пространстве, измеряемые нами углы изменяются тоже; эти каменения не причиняют особых беспокойств, поскольку в новых условиях мы чувствуем себя точно так же, как и в старых. Здесь может скрываться источник ошибки; верно, что в новом, повернутом относительно старого положении эако- Ф и г.
11.6. угее координатные системы, ориектироеанные но-раено.нш ны остаются прежними, но неверно то, что во вращающейся системе координат справедливы те же законы, что и в покоящейся. Если проделать достаточно тонкие опыты, то можно установить, что Земля вращается, но ни один из этих опытов не скажет нам, что Земля навернулась. Другими словами, мы не можем при помощи этих опытов установить ориентацию Земли, но можем сказать, что ориентация изменяется. Обсудим теперь влияние ориентации системы координат на физические законы.
Давайте посмотрим, не будут ли нам снова полезны Мик и Джо. Чтобы избежать ненужных сложностей, предположим, что зти молодые лк>ди находятся в одной точка пространства (мы уже показали, что их системы координат можно перемещать). Пусть оси системы координат Мика повернуты относительно системы координат Дя о на угол О. Обе системы координат изображены на фиг. 11.2, где мы ограничились двумя измерениями.
Произвольная точка Р снабжается координатами (х, у) в системе Джо и (х', у') в системе Мика. Как и в предыдущем случае, начнем с того, что выразим координаты х'и у' через х, у и О. Для этого опустим из Р перпенднкуляры на все четыре координатные оси и проведем АВ перпендикулярно Р1Е'. Из чертежа ясно, что х' можно представить как сумму двух отрезков вдоль оси х', а у' — как разность двух отрезков вдоль АВ. Длины этих отрезков выражаются через х, у и О; мы добавляем еще уравнение для третьей координаты: х' = х сов О+ у в1в О, у'=-усовΠ— х вьз О, (11.5) Теперь (мы поступали так и раньше) установим соотношения между силами, измеряемыми двумя наблюдателями. Предположим, что сила Р, имеющая (с точки зрения Джо) составляющие Рк и Р, действует на расположенную в точке Р на фиг.
11.2 у1 частицу массы т,. Для простоты сдвинем обе системы координат так, что начала их переместятся в точку Р, как показано на фиг. 11.3. Мик скажет нам, что сила, по его мнению, имеет составляющие Р; и Ры вдоль его осей. Составляющая Р„, как н 196 Ф и е. 1е.д. Састаеллющив силы е двух сисхаемах. Р, имеет составляющие вдоль обеих осей х' и р'. Чтобы выразйть Р, через Р„и Р», сложим составляющие этих сил вдоль оси х', точно таким же образом можно выразить и Р„через Ри и Р . В результате получим Р„=Р„сов О +Р в1п О, Р„= Р сов Π— Р„в!п О, (11.6) Р; =Р,. 11нтересно отметить случайность, которая в дальнейшем окажется очеяь важной: формулы (11.5) и (11.6) для координат Р и составляющих Р соответственно тоэесдественны по форме. Как и раньше, предположим, что законы Ньютона справедливы в системе координат Джо и выражаются уравнениями (11.1), Снова возникает вопрос: может ли Мик пользоваться законами Ньютона, будут ли их предписания выполняться в повернутой системе координат) Другими словами, если предположить, что уравнения (11.5) и (11.6) дают связь между измеряемыми величинами, то верно ли, что еп( —,, ) =Р„, пе (~ —,, ) =- Р, .
(11. 7) т ( —,) =и ( —,) сов О -) еп( — ~)в!оО, еп ( —,, ) = еп („—,, ) . (11.8) лвт г1тобы проверить эти уравнения, вычислим левые и правые части независимо, а затем сравним результаты. Чтобы вычислить левые части, умножим уравнения (11.5) на пх и продифференцируем их дважды по времени, считая угол О постоянным, Это дает Вычислим правые части уравнений (11.7), подставив (11.1) в уравнения (11.6). Получаем Р„=т(д —,, х 9+т ( ~,, ) з1пй, (11.9) Глядите! Правые части уравнений (11.8) и (11.9) тождест- венны; значит, если законы Ньютона верны в одной системе координат, то имн можно пользоваться и в другой системе. Эти рассуждения заставляют нас сделать некоторые важные выводы: во-первых, никто не может утверждать, что избранная им система координат единственна, она может быть, конечно, более удобной при решении частных задач. Например, удобно, но не обязательно взять направление силы тяжести за одну из осей координат.
Во-вторых, это означает, что любой механизм, если только он является самостоятельным устройством и обладает всем необходимым для создания силы, будет работать одинаково, как бы его нп повернули. 9 4. Юекпзорьс Насколько нам известно сейчас, не только законы Ньютона, но и все физические законы обладают двумя свойствами, которые называют инвариантностью (или симметрией) относительно перемещений и поворотов координатных осей. Эти свойства столь важны, что для учета их при изучении физических законов была разработана специальная математическая техника. Решение поставленных в предыдущих параграфах задач потребовало довольно длинных расчетов.
Чтобы свести их к минимуму, йзобретен могучий математический аппарат. Эта система, называемая векторным анализом, определила название главы, хотя в ней, собственно говоря, речь идет о симметрии физических законов. Конечно, можно получить искомый результат, поступая так, как было описано раньпхе, но, чтобы облегчить и ускорить нашу задачу, мы применяем технику векторного анализа.
Заметим, что в физике важно знать величины двух типов (на самом деле их больше двух, по давайте почнем с двух). Величины первого типа, например число картофелин в мешке, мы будем нааывать обыкновенными числами, или скаллрами. Еще одним примером такой величины может служить температура. Другие очень важные в физике величины имеют направление, это, например, скорость; мы должны задать не только быстроту перемещения тела, но и путь, по которому оно дви- жется. Импульс и сила тоже имеют направление, как и смещение: когда кто-нибудь делает шаг, можно сказать не только, как далеко он шагнул, но и куда он шагает, т. е.
определить направление его движения. Все величины, имеющие направление, подобно шагу в пространстве, называются векторами. Вектор определяется тремя числами. Чтобы описать шаг, скажем из начала координат в точку Р, определяемую координатами х, у и г, мы фактически должны задать три числа, Но мы будем использовать для этой цели один-единственный математический символ г, с которым нам чаще всего придется иметь дело в дальнешпем е, Это не одно чис.со: символ г задается тремя числами: х, у и г. Символ г означает три числа, но не только эти три числа, потому.
что прп переходе к другой системе координат нужно заменять пх числами х', у' н г'. Однако мы хотим как можно более упростить нашу математику и используем один и тот же сил>вал в качестве представителя трех чисел х, у, г и трех чисел х', у', г'. Точнее говоря, мы используем один и тот я'е символ в качестве представителя первого набора чисел в одной системе координат и делаем его представителем второго набора чисел, если захотим сменить систему координат, ото удобно потому, что иам не придется изменять формы уравнений при переходе от одной системы координат к другой. Если мы ааппсываем уравнения, используя координаты х, у и г, а затем меняем систему отсчета, то появляются координаты х', у' и г', но мы пишем просто г, условившись, что этот символ служит представптелем х, у, г, если мы пользуемся первой системой отсчета, и х', у', г', если мы перешли к другой системе.
Три числа, которые описывают векторную величину в заданной системе отсчета, называются составкяюисими (коан>опентамп) вектора в направлении координатных осей системы отсчета. Иначе говоря, мы используем один символ для обозначения трех букв, и он соответствует наблюдению одного и того же адье>>- та с трех равных то>ек эре>сия. Произнося слова «один и тот же объект», мы обращаемся к пашен физической сштуиции, которая говорит нам, что шаг в пространстве не зависит от того, какими составляющими мы его описываем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
