Фейнман - 01. Современная наука о природе. Законы механики (1055659), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Итак, символ г представляет один и тот же объект независимо от того, как мы ориентируем осн системы отсчета. Предположим теперь, что существует другая направленная величина, например сила — еще одна величина, которую можно определить, задав связанные с ней три числа.
Эти три числа переходят при изменении системы координат в другие тричисла по строго определенным математическим правилам. Эти пра- » В книгах вектор обозначается полужирной буквоя; в рукописях же используется стрелка: г, 193 вила должны быть теми же самыми, которые определяли переход тройки чисел х, у, з в х', у'„г .
Другими словами, вектор— это величина, определяемая тремя числами, которые преобразуются прн изменениях системы координат так же, как составляющие шага в пространстве. Уравнение типа Г =- г справедливо в любой системе координат, если оно верно хотя бы в одной из ннх. Оно заменяет нам трн уравнения Р'„=.т, 1"„=р, /",=г пли соответственно Г„=-х', Р, =у', Г, =т,'. Тот факт, что физические соотновгения между какими-либо величинами можно выразить в виде векторных уравнений, говорит о том, что эти соотношения верны в любой системе координат.
Вот почему понятие вектора очень удобно в физике. Давайте теперь рассмотрим некоторые свойства векторов, В качестве примера «вектора» можно указать скорость, импульс, силу н ускорение. Часто бывает удобно изобразить вектор в виде стрелки, указывающей направление действия. Но почему же можно представить силу стрелкой? Да потому, что она преобраауется по тем же законам, что и «шаг в пространстве». Именно поэтому можно представить силу в виде чертежа, как если бы это изображалось перемещение, причем выберем такой масштаб, чтобы единица силы, например ньютон, соответствовала некоторой длине. Проделав такую процедуру однажды, мы всегда сможем изображать силы в виде отрезков, потому что уравнение типа (где й — некоторая постоянная) имеет вполне определенный смысл.
Возможность представлять силу отрезком сулит нам оольшпе выгоды, потому что, изобразив отрезок или стрелку, можно не заботиться о координатных осях. При этом, конечно, всегда можно быстро подсчитать, как изменяются составляющие вектора при поворотах осей, потому что дело сводится к простому геометрическому построению. р г». ггеятортпл алгебрп, Теперь мы должны описать законы, или правила, регулирующие возможные сочетания различных векторов. Прежде всего мы изучим сумму двух векторов.
Пусть векторы а и Ь задаются в какой-нибудь системе координат составляющими а„, а„а, и Ь„Ью Ь,. Предположим, что кому-то пришло в голову составить три числа а„+ Ь„, а + Ь, а»+ Ь,. Получим ли мы веэ в результате вектор? Вы можете сказатгя «Разумеется, ведь это три числа, а три числа образуют вектор». Нет, вектор образуют не любые три числа! Чтобы задать вектор, мы должны связать заданные нам три числа с координатной системой так, чтобы при повороте координатных осей эти числа «поворачивались» относительно друг друга и «перемешивались» по описанным ранее правилам. Таким образом, мы должны выяснить, во что превращаются числа ак + 6„, ао + 6 „а, + 6„если известно, что при изменении системы координат числа а„, ао а, переходят в а„, а„, а„а 6„6„, 6, переходят в 6, 6«, 6,? Получим лн мы после поворота координатных осей числа а„+ Ь„а„+ 6„, а, +6,? Ответ, конечно, будет утвердительным, потому что паше основное уравнение (11.5) определяет так называемое линейное преобразование.
Если мы применим зто преобразование к ак и 6„н вычислим а„+ 6„, то окажется, что преобразованное ак+ 6„есть то же самое, что и а„+ 6„. «Складывая» векторы а и Ь по только что описанному правилу, мы получ»ем новый вектор с. Мы запишем это так: с= — а+ Ь. Вектор с обладает интересным свойством: с=-Ь+а; это легко проверить, написав составляющие вектора г. Кроме того, а+(Ь+с) =(а Ь Ь)-,'-с. Векторы можно складывать в любом порядке. Каков геометрический смысл а+ Ь? Как будет выглядеть вектор с, если мы, скажем, изобразим а и Ь с помощью стрелок? Ответ на этот вопрос дает фиг.
11.1. Мы видим, что прибавить составляющие вектора Ь к составляющим вектора а проще всего, приложив соответствующим образом прямоугольник, определяемый составлнющими Ь, к такому же прямоугольнику, определяемому составляющими а. Поскольку а и Ь хорошо подогнаны к своим прямоугольникам, то это все равно, что по- Ф и г. в1А. Сов»кение векторов. О> и г.
11.Б. Ви»итаиие веи>иоров. ставить вектор Ь «ногамн> на «голову» вектору а. Стрелка, соединяющая «ноги» вектора а и «голову» вектора Ь, и будет вектором с. Можно поступить иначе: поставить «ноги» а ка «голову» Ь. Вспомнив геометрические свойства параллелограмма, можно убедиться в том, что мы снова получим тот же вектор с.
За»<етим, что, ставя векторы друг на друга, мы складываем их без помощи координатных осей. Предположим, что мы умножплп вектор а на число а. Что пуп<но понимать код таким произведением? Договоримся понимать под этим вектор с компонентами иа„, аао, па,. Докажите сами, что это действительно вектор. Рассмотрим теперь вычитание векторов. Можно определить вычитание тем же способом, что и сложение, но вместо того, чтобы складывать, будем вычитать составляющие. Можно также определить вычитание как сложение с отрицательным вектором — Ь = ( — 1)Ь. Результат будет тот же.
Вычитание векторов показано на фиг. 11.5. На этом чертеже изображено <( = а — Ь =а + ( — Ь); заметим также, что, зная векторы а п Ь, разность а — Ь можно легко найти из эквивалентного соотношения а = Ь + <). Таким образом найти разность векторов даже легче, чем сумму: просто нужно провести вектор, соединяющий Ь и а, и вы получите а — Ь! Перейдем теперь к скорости. Почему скорость есть вектор? Если координаты точки равны х, р, з, то скорость ее равна <?х><?1, <?у><?1, <?з,><?Г. Вектор это или не вектор? Дифференцируя выражение (11.5), можно найти закон преобразования <?х'",<?1.
Видно, что величины <?х'<?1, <?у>И преобразуются по тому же закону, что и х и у. Таким образом, скорость есть вектор. Выражение дли скорости можно записать очень интересно: <1» ч= —. л» Постараемся нагляднее представить себе, что такое скорость и почему она вектор. Далеко ли продвинется частица за малое время Лг? Ответ: на Лг, т. е.
если частица находится «здесы> в первое мгновение, а «там» вЂ” во второе, то векторная разность положений частицы равна вектору Лг = г, — г„ расположенному вдоль направления движения. Как зто выгля- Ф и г. 11.6. Иерелееиееиие чипиицы ви милое время Ы=бе — 1 . Ьг=г;г дит, показано на фиг. 11.6. Если разделить этот вектор на промежуток времени еэ1 =- 1з — 1о то мы получим вектор «средней скорости». Иначе говоря, под вектором скорости мы понимаем предел разности радиус-векторов, соответствующих моментам 1+Л1 и 1, деленной на Л1 при Л1, стремящемся к нулю: т= Пгн — = — . иг <~г ,Я=Я' (11.10) Скорость есть вектор постольку, поскольку она равна разности двух векторов.
Это верно также и потому, что составляющие этого вектора равны в(х1в(1, е(уЯ1, в(Ыв(1. Подумав над тем, что сейчас было проделано, мы придем к выводу, что, проднфференцировав любой вектор по времени, мы снова получим какойто новый вектор. Таким образом, имеется несколько способов получать новые векторы: 1) умножая вектор на постоянное число; 2) дифференцируя вектор по времени; 3) складывая два вектора нли вычитая. й б.
Законы ггьгогпона в венгпорной ванном Чтобы записать законы Ньютона в векторной форме, мы дол кны поучиться еще кое-чему и определить вектор ускорения. Этот вектор равен производной по времени вектора скорости, причем легко показать, что его составляющие равны вторым производным х, у и з по 1: (11. 11) 0'~1 а = — „-, и,е ее ,1ге е иге гг .
а = —, к е11е (11. 12) образом: (11ЛЗ) (11.14) После этого законы Пьютона можно записать таким та=У, или етег ,1 ее йг и е. 11.У. Криволинейная траен- агория. Теперь задача о доказательствеинварнантности законов Ньютона относительно вращений сводится к следующему: нужно доказать, что а (ускорение) есть вектор; это мы уже сделали. Затем нужно доказать, что г (сила) есть вектор; зто мы предпо сараем. Следовательно, если сила есть вектор, то уравнение (11,13) будет выглядеть одинаково во всех системах координат, ибо нам известно, что ускорение тоже вектор. Запись уравнений в виде, не содержащем явно х, у, з, привлекательна тем, что нам нет необходимости выписывать пгри уравнения каждый раз, когда мы хотим написать законы Ньютона или другие законы физики. Мы записываем то, что выглядит как один закон, хотя фактически, конечно, это три закона для каждой оси системы координат, потому что любое векторное уравнение содержит з себе утверждение, что асе соспгавллющие равны.
Тот факт, что ускорение — это скорость изменения вектора скорости, помогает найти ускорение в любых, казалось бы, трудных обстоятельствах. Предпололсим, например, что частица, двигаясь по какой-то сложной кривой (фиг. 11.7), имеет в момент ге скорость ч„а несколько позже, в момент гм скорость оа. Чему равно ускорение7 Опгвепп ускорение равно разности скоростей, деленной на малый промежуток времени; значит, нужно знать разность скоростей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
