Фейнман - 01. Современная наука о природе. Законы механики (1055659), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Симметрия в физике р 1. Сггммещрггя в Фггзггке В этой главе мы вводим понятие, которое среди физиков известно под названием симметрия законов физики. Слово «спьгметрияз употребляется здесь в несколько необычном смысле, и поэтому нужно его определить. Как >ке определить симметрию какого-либо предмета? Когда мы говорим, что изобраясенгге симметрично, то этим мы хотим сказать, что одна его часть такая же, как другая. Профессор Герман Вейль дал такое определение симметрии: предмет симметричен, если его можно подвергнуть какой-либо операции, после которой он будет выглядеть как и вначале. Например, если мы повернем вазу на 180' вокруг вертикальной осн и она не изменит своего внешнего вида, то мы говорим, что обе стороны вазы симметричны. Мы будем понимать определение Бейля в более широком смысле и говорить о симметрии законов физики.
Предположим, что где-то мы установили сложную машину со множеством зацеплений, с какими-то маховиками, шатунами и т. п. Предположим теперь, что в каком-то другом месте мы собрали такое же устройство, все части которого являются точной копией частей прежней машины, причем сохранены все размеры и ориентация отдельных ее частей, все то же самое, только перенесено на некоторое расстояние. Затем мы запустим обе машины в одинаковых условиях и посмотрим, будут ли они работать совершенно одинаково? Будут ли движения отдельных частей одной машины повторять в точности соответствующие движения другогйр Вообще говоря, ответ моягет быть отриггательним, потому что мы можем ведь й 2.
Переносы начала й 3. Вращения й 4, Векторы й 5. Векторная алгебра й 6. Законы Ньютона в векторной записи й 7. Скалярное произведение векторов выбрать для второй машины неудачное место, скажем поставить ее так, что какие-то ее части будут при работе ударяться о стенку, тогда машина вовсе не будет работать. Любая физическая идея требует здравого смысла при своем осуществлении, ведь это не чисто математические или абстрактные идеи. Нужно понимать, что мы имеем в виду, когда говорим, что при перенесении какого-либо устройства в другое место наблюдаются те же явления. Под этим мы понимаем, что мы передвигаем все, что можно передвинуть. Если же при этом явление в чем-то изменяется, то мы предположим, что что-то послужило помехой, и ааймемся изучением причин. Если мы ничего не обнаружим, то объявим, что физические законы не обладают ожидаемой симметрией.
Но если физические законы все-такн обладают симметрией, то мы найдем причину помех, во всяком случае мы надеемся найти ее. Осмотревшись, мы обнаружим, например, что работе машины мешает стена. Основной вопрос состоит в следующем: если мы достаточно хорошо изучим наши устройства, если все основные источники сил имеются внутри аппарата н если на другое место передвинуть все, что следовало передвинуть, то будут ли законы меняться? Будет ли машина па новом месте работать так, как раньше? Ясно, что мы хотим передвинуть само устройство и источники основнмж влияний, а вовсе не все на свете — планеты, звезды и т. п., ибо если бы мы и совершили эту грандиозную работу, то наблюдали бы прежнее явление по той простой причине, что мы оказались бы на том же самом месте.
Но мы и не можем передвинуть все на свете. Оказывается, что если передвигать наше устройство более или менее разумно, то оно будет работать одинаково. Другими словами, если мы не будем вламываться в стенку, будем знать происхождение внешних сил и постараемся, чтобы они были передвинуты вместе с машиной, то она будет работать на новом месте так же хорошо, как и прежде. й 3. перекосив иамалгз Мы ограничим наше рассмотрение законами механики, которую достаточно хорошо изучили. В предыдущих главах мы установили, что законы механики можно свести к трем справедливым для любой частицы уравнениям: Зто означает, что существует такой способ измерения расстояний л, у и з вдоль трех взаимно перпендикулярных осей и сил вдоль этих направлений, при котором определяемые уравне- га и г.
11.1. Вувг нагаллгльныв кгордингтныг вы»темы, нпямн (11.1) законы верны. Расстояния должны отсчитываться от некоторого начала, но где следует расположить это начало? Ньютон сказал нам только, что такая точка, от которой можно начать отсчет, суагестеуеаз; может быть, зто центр Вселенной, и при измерении расстояний от нее его законы верны. Но мы можем немедленно показать, что незачем искать центр Вселенной, ибо безразлично, какую точку взять за начало координат.
Иными словами, предположим, что имеются два человека— Джо, который выбрал начало своей системы координат в какойто точке, и Мик, который построил систему координат, параллельную первой, но принял за начало другую точку (фиг. 11.1), расположенную на расстоянии а по оси х в его системе. Когда Джо определяет положение произвольной точки в пространстве, он находит три ее координаты: х, у и г (обычно мы опускаем ось г, ибо ее трудно изобразить на нашем чертелге). В системе Мика зта точка будет иметь другое значение х (чтобы отличить его, введем обозначение х') и, вообще говоря, другое значение у, хотя в нашем примере они численно равны. Таким образом, мы имеем х'=х — а, (11.2) Чтобы сделать наш анализ полным, нужно знать, какие силы измеряет Мик.
Если сила действует вдоль произвольной линии, то под силой вдоль направления х мы понимаем некоторую часть общей силы, которая равна произведению величины силы на косинус угла между направлением силы и осью х. Легко видеть, что Мик получит те же проекции силы, какие получил Джо, т. е. мы имеем систему уравнении ~ г' ~г Рг' — »'» (11 3) Уравнения (11.2) и (11.3) определяют соотношения между величинами, используемыми Дгко и Миком. Теперь поставим вопрос так: если Джо знает законы Ньютона, то будут ли они верны, когда их попробует использовать Микг Имеет ли значение выбор начала координат» Другими словами, предположим, что уравнения (11.1) верны, а (11.3) определяют соотношения между измеряемыми (11.2) и величи- нами; верно ли, что (11.4а) (11.46) (11.4в) Чтобы проверить зги уравнения, дважды продифференцируем выражение для х' по времени.
Прежде всего б'з' Нг Нз — = — (х — о) = — — —. л~ сй лю лг' Предположим теперь, что начало системы координат, которой пользуется Мик, фиксировано (не движется) относительно си- стемы координат Джо, т. е. а постоянна и На/Ж = О; таким об- разом, получаем с'х' 0х ар Й и, следовательно, 0'х' сР'т сч~ ди Если предположить, что измеряемые Джо и Миком массы равны, то уравнение (11.4а) принимает вид лФх лг — = Р„. ып Таким образом, произведения массы на ускорение одинаковы у обоих друзей. Можно получить и формулу для г'„. Использовав (11.1), мы обнаружим Г; = г'„. Следовательно, законы механики, с точки зрения Мика, точно такие же: он пишет законы Ньютона в других координатах, и зти законы оказываются верными.
Это означает, что центра Вселенной нет и законы движения выглядят одинаково, с какого бы места они нп наблюдались. Верно и такое утверждение: если в каком-либо месте установить устройство с каким-то механизмом, то и в любом другом месте зто устройство будет работать одинаково.
Почему? Потому что любая машина, которую изучает Мик, подчиняется тем же уравнениям, которые описывают работу машины, контролируемой Джо. Поскольку уравнения одинаковы, то и явления одни и те же. Таким образом, доказательство того, что аппарат в новом месте будет работать так же, как на прежнем, сводится к деказательству, что отнесенные к новой точке пространства уравнения воспроизводят себя. Поэтому мы говорим, что законы физики симметричны относительно перемещений в пространстве, симметричны в том смысле, что законы не изменяются при перемещениях начала системы координат.
Конечно, каждый интуитивно знает, что это верно, но интересно и полезно обсудить математику этого явления. ~ 3. Врьмгг>енггя Разобрав вопрос о перенесении начала координат, мы рассмотрели первую задачу из серии более сложных теорем о симметрии физических законов. Следующая теорема утверждает, что и направления координатных осей можно выбрать произвольно. Другимн словами, если мы сооружаем где-то какое-то устройство и наблюдаем, как оно работает, а затем по соседству соорудим аналогичное устройскво, но расположим его под любым углом относительно первого, то будет ли второе устройство работать так же, как и первое? Вообще говоря, нет, если это, например, старые часы-ходики, известные еще нашим дедам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
