Фейнман - 01. Современная наука о природе. Законы механики (1055659), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Поэтому кинетическая энергия в конце спуска в точности такая же, какой она была в начале подъема; зто и есть принцип сохранения энергии. (Заыетые, что в присутствии сил трения сохранение энергии на первый взгляд не выполняется. Значит, нужно искать другую форму энергии. И действительно, оказывается, что когда два тела трутся друг о друга, то возникает тепло, мы же сейчас делаем вид, что об этом не знаем.) ~ М..Рпбогпоо выг>овгняе ггпя тпяд>гес>пью Теперь займемся задачей потруднее, когда силы уже не постоянны и пе направлены вниз, как раньше.
Мы рассмотрим, например, двиягение планеты вокруг Солнца или спутника вокруг Земли. Сперва мы рассмотрим движение тела, которое падает из точки 1 ярялю на Солнце или на Землю (фиг. >3.2). Будет лн в этих обстоятельствах сохраняться эггергия? Единственное отличие от того, что было раньше, — что теперь сила не постоянка, она мелле>вся по мере падения.
Мы знаем, что сила равна произведениго С,'И>го на массу т. падающего тела. Конечно, и теперь кинетическая энергия при падении возрастает, как возрастала и тогда, когда нас еще не волновало изменение силы с высотой. Вопрос только в том, можно ли отыскать иную, отличнуго от >вдй, формулу для потенциальной энергии, найти другучо функциго расстояния от Земли, чтобы для нее сохранение энергии не нарушалось.
Этот одномерный случая рассматривать легко, потому что мы знаем, что изменение кинетической энергии равно интегралу Ф и е. 122. Падение мамой .иосси т иод действием тяисести ии боль>аут лтссу М. <Э и г. 1З,З, Замкнутый путь обгова г поле тяготения. от начала движения до конца от силы — СМ<п!гг по перемещепшо е)г Т,— Т, = — ) СЛХт —;. (13.11) 1 В формуле нет никакого косинуса, потому что сила и перемеще- ние направлены одинаково.
Интегрировать дг?гг легко; получает- ся ( — 1,г), так что l<. гз Т вЂ” Т =+СМт~ —— г 1 е / г ! (13. 12) Перед намк другая формула дляпотенциальной энергии. Уравнение (13.12) говорит нам, что величина гез ть' — СЛХт/г, вычисленная в точке 1, в точке о илп в лгобой другой, остается постоянной. У нас теперь есть формула для потенциальной энергии в поле тяготения для вертикального движения. Здесь вознпкает интересный вопрос: можно ли добиться вечного движения в поле тяготения? Поле-то меняется, в разных местах у него разная напряженность и разное направление. Нельзя ли взять бесконечную ленту без трения и запустить ее, скажем, так: пусть она сперва поднимает тело из одной точки в другую, потом прова дит его по дуге окружности в третью точку, опускает на некоторый уровень, сдвигает по наклонному направлению и выводит на новый путь и т.
п., так что по возвращении в начальную то~ку оказывается, что поле тяготения совершило некоторую работу и кинетическая энергия тела возросла? Нельзя ли так начертить эту траекторию, чтобы, обойдя по ней, тело приобрело чуть-чуть больше скорости, чем имело вначале? Так получится вечное двия<ение. Но ведь оно невозможно, значит, мы обязаны доказать, что такая траектория немыслима. Мы должны доказать следующее предположение: раз трения нет, тело должно вернуться ни с меныпей, нн с большей скоростью, а как раз с такой, чтобы еще и еще делать круги по этому замкнутому путя. Илп, другими словами, вся работа, произведенная в движении гго замкнутому <гуты, должна быть нулем для сил тян<ести, потому что если бы она не была нулем, то можно было бы получить энергию за счет такого двнгкения тела.
(Если бы работа оказалась меныпе нуля, так что скорость в конце обхода уменьшилась бы, то для получения энергии стоило бы только повернуть обратно; силы ведь зависят не от направления движения, а только от положения. Если в одном направлении работа получится с плюсом, то в обратном она будет с минусом; любая ненулевая работа означает создание вечного двигателя.) Так что же, действительно ли работа равна нулю? Попробуем показать, что да.
Сперва мы лишь на пальцах поясним, почему это так, а уж потом оформим математически. Положим, мы выдумали траекторию, показанную на фиг. 13.3; масса падает от 1 к 2, поворачивает до 3, обратно поднимается к б, затем через 5, 6, 7, 1> движется ооратно к 1. Все линии идут либо по радиусу, либо по кругу с центром >11. Какая работа совершается на таком пути? Между 1 и й она равна произведекпк> СЛ1т на разность 1,'г в этих точках: От 2 до 3 сила в точности направлена поперек движения, и И>зз — О. От 3 к в( в И'„=) Р сЬ=- — СМт (~ — — — ) э Так же получаются И'ез =О, И'ьв — — СЛт(1 гв — 1>'гв), Игвз — —.О, И'>в= — Сзе)т(1?гв — 1>>з) и И'в>=0.
Веете> Иэ С>У1т э( + + + /1 $ 1 1 $ $ 1 1у е гэ гз гв г" гв гз ге Но ведь гз = гз, гв=эгси гв — — г,, г,=-г,. Поэтому И'=О. Но возникает подозрение, не слишком ли эта кривая проста. А что даст >вастолшая траектория? Что ж, попробуем настоящую. Сразу же ясно, что ее можно достаточно точно представить как ряд зазубрин (фиг. 13.4) и поэтому... и т. д„что и треоовалось доказать. Но надо еще посмотреть, действительно ли работа обхода вокруг маленького треугольника тоже равна нулю.
Увеличим один из треугольников (см. фиг. 13.4). Равны ли работы по пути от а к (> и от (> к с работе, совершаемой, когда иден>ь иапряьшк от а к с? Пусть сила действует в каком-то на- Ф и з. 18.1. вПлавнийв иуть обхода, показан и еликвнний окереэок ээкозо кути и б иэкал и нему тртнзтория, еоетоя>иая иэ радиальная и кру овне р аетков, а такт один из зубное этой траекэкории. правлении. Расположим треугольник так, чтобы у его катета 6е было как раз такое направление.
Предположим также, что сам треугольник так мал, что сила всюду на нем постоянна. Какова работа на отрезке ас? Она равна е И'„= ) Е дя =- Рв сов О и (поскольку сила постоянна). Теперь определим работу на двух катетах. На вертикальном катете а6 спла перпендикулярна к дв, так что работа равна нулю. На горизонтальном катете 6с с И „= 1 Р. (з = Рх.
Мы убеждаемся таким образом, что работа обхода по бокам маленького треугольника такая же, как ы по склону, потому что всозб равно х. Мы уже показали прежде, что работа при движении по зазубринам (ьак на фиг. (3.3) равна нулю, а теперь вадим, что производимая работа одинакова, независимо от того, движемся ли мы по зазубринам или срезаом путь между ними (если только зазубрины малы, но ведь ничто не мешает сделать их такими); поэтому работа обхода по любому вампнутолу пути в поле тявотепая равна нулю. Зто очень примечательный результат.
Благодаря ему нам становятся известны такие подробности о движении планет, о которых мы раньше и не догадывались. Выясняется, что когда планета вертится вокруг Солнца одна, без спутников и в отсутствие каких-либо других сыл, то квадрат ее скорости минус некоторая константа, деленная яа расстояние до Солнца, вдоль орбиты но меняется. Например, чем ближе планета к Солнцу, том быстрее она движется. Но насколько быстрее? А вот насколько: если вместодвижения вокруг Солнца вы толкнете ее к Солнцу с той же скоростью и подождете, пока она не упадет на нужное расстояние, то приобретенная скорость будет как раз такой, какой планета обладает на этой орбите, потому что получился просто другой пример сложного пути обхода. Если планета вернется по такому пути обратно, ее кинетическая энергия окажется прежней.
Поэтому независимо от того, движется ли она по настоящей невозмущенной орбите илн я;е по сложному пути (по без трения), кинетическая энергия в момент возвращения на орбиту оказывается как раз такой, какой нужно. Значит, когда мы проводим численный анализ движения плакаты по орбите (как мы делали раныпе), мы можем проверить, не сделали ли заметных ошибок при расчете этой постоянной величины, энергии, на каждом шаге; она не должна меняться.
Для орбиты, приведенной в табл. 9.2 (стр. 170), энергия И' = ~ Г г?и —.: ~ ( — lех) гЬ -.—. — —,, йх'. (13.13) о 9 Значит, у массы, подвешенной на пружпне, сумма кинетической энергии ее колебаний и ', йхе постоянка. Посмотрим, как это происходит. Оттянем массу вниз; она неподвижна и скорость ее равна нулю, но х не равно нулю, теперь величина х максимальна, так что имеется и некоторый запас энергии (потенциальной).
Отпустим теперь массу: начнется какой-то процесс (в детали мы не вникаем), но в лгобое мгновение кинетическая плюс потенциальная энергии будут постоянны. Например, когда масса проходит через точку первоначального равновесия, то х=О, но тогда значение р' наиоолыпее, и чем больше величина х', тем меньше а' и т. д.
Значит, во время колебаний собл|одаотся равновесие между величинами х' п р'. Мы получилп, таким образом, новое правило: потенциальная энергия пружины равна Чз Йхе, если сила равна — Йх. й З. Слолгенне внергнй Перейдем теперь к более общему случаю и рассмотрим, чтб произойдет, если тел много.
Предположим, что имеется несколько тел; пронумеруем их: ~'=1, 2, 3, ... и пусть все они притягивают друг друга. Что тогда произойдет? Можно доказать, что если сложить кинетические энергии всех тел и добавить с1ода сумму (по всем парам частиц) их взаимных потенциальных энергий тяготения — П;[йль'г... то все вместе даст постоянную: (13.14) пары о '/ Как же это доказать? Мы продпфференцируем обе стороны по времени и докажем, что получится нуль.
При дифференцировании Че гл,.г~ мы получим производные скорости — силы [как в (13.5)[, а потом эти силы заменим их величиной, известной нам * Энергия в единицах табл. 9.2 есть ',', (~ '+р„') — Пг. меняется * примерно на 1,5 "е с начала чвижения до конца. Почему. То лп потому, что в численном методе мы пользовались конечными приращепняхпц толи из-за мелких погрешностей в арифметике. Рассмотрим энергию в другой задаче: задаче о массе, подвошенпой па пружине. Когда отклоняют массу от положения равновесия, сила, восстанавлпвающая ее положение, пропорциональна смещеншо. Можно лп в зтпх условиях вывести закон сохранения энергии? Да; потому что работа, совершаемая атой силой, равна из закона тяготения, и увидим в конце концов, что останется как раз производная по времени от Пачинаем доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
