Фейнман - 01. Современная наука о природе. Законы механики (1055659), страница 51
Текст из файла (страница 51)
энергии по времени есть Производная кинетической ! 4 ! и (13.15) Производная по времени от потенциальной энергии есть но г!,= )/(х, — х!)' !- (у! — у,)'+ (г, — з!)', так что л.„! г !з ! з г~, гр! лг|~ — = — ~2(х — х!) ~ — ' — — ) +2(у.— у ) ~ — ' — — -)+ З! 2а,,'( ' ! ~Л! !!,) ! ! (З! а! ) /!!а! г(а ~1 р! — ат г; а! +2(з.— г ) ( — — — ) ~ =г . — ' =г! ° — +г "—, !Г ау !! ау /' гг! ' потому что г!.= — г;, хотя г!,=г и Итак, — ( — — '" !) = ~~'„~ — !""г!!.ч,,+ ы! ггд ° ч,,), (13„16) пары аары "а! "!! Теперь внимательно посмотрим, что значит и ~Х,'„. В (13.15)~~', ~~~ означает, что1 принимает по порядку пары \ все значения !=1, 2, 3,..., и для каждого ! индекс ~' принимает все значения, кроме й Если, например, р=3, то/ принимает значения1,2,4, .... С другой стороны, з (13.16) ~Л'., означает, что кая:дая пара пары ! и ) встречается лишь однажды.
Скажом, частицы 1 и 3 дают только один члсн в сумме. г1тобы отмотить это, можно договориться, что ! принимает значения 1, 2, 3, ..., а)для вал<доге ! — только значения, большие чем ! Если, скажем, !=3, то ( равно 4, 5, 6, .... Но вспомним, что каждая пара !, 1 дает два слагаемых в сумме, одно с го а другое с г~, и что оба эти члена выглядат так же, как член в уравнении (13.14) [но только в последнем в сумму входят все значения 1 и) (кроме 1=у)). В уравнениях (13.16) и (13.15) член за членом совпадут по величине. Знаки их, однако, будут противоположны, так что производная по времени от суммы потенциальной н кинетической энергий действительно равна нулю. Итак, мы видим, что и в системе многих тел кинетическая энергия, составляется иг суммы энергий отдельных тел и что потенциальная энергия тоже состоит пз взаимных потенциальных энергий пар частиц.
Почему она складывается из энергий пар? Зто можно уяснить себе следующим образом: положим, мы хотим найти всю работу, которую нужно совершить, чтобы развести тела на определенные расстояния друг от друга. Можно это сделать не за один раз, а постепенно, доставляя их одно за другим из бесконечности, где на них никакие силы не влиялн. Сперва мы приведем тело 1, на что работы не потребуется, потому что, пока нет других тел, силы отсутствуют. Доставка тела 2 потребует работы )Г„= — Сгн~тггг1г.
И вот теперь самый существенный момент: мы доставляем тело 3 в точку д. В любой момент сила, действучощая на 3, слагается из двух частей: из силы, действующей со стороны 1, и силы со стороны 2. Значит, н вся произведенная работа равна сумме работ каждой иг сил, потому что раз Гг разбивается на сумму сил Г,=Ä— ,'-Г„ то работа равна ')Г,.уз=--)Г„дз+ ~Г„сдз.=И'„+)У„. Стало быть, вся работа равна сумме работ, произведенных против силы 1 и против силы 2, как если бы они действовали независимо. Продолжая рассуждать таким образом, мы увидим, что полная работа, которую необходимо выполнить, чтобы собрать данную конфигурацию тел, в точности равна значению (13.14) для потенциальной энергии.
Именно из-за того, что тяготение подчиняется принципу наложения свл, можно потенциальную энергию представить в виде суммы по всем парам частиц. ~ и. Поле ггъяготенггя болыиггж вггел 'Теперь рассчитаем поля, встречающиеся во многих физических задачах, когда речь идет о распределении масс.
Мы пока не рассматривали распределения масс, а занимались только отдельными частицами. Но интересно рассчитать и поля, образуемые более чем одной частицей. Для начала найдем силу притяжения со стороны плоскогопластавеществабесконечнойпротяженности. Сила притяжения единичной массы в данной точке Р (фпг. 13.5), конечно, направлена к плоскости. Расстояние от точки до плоскости есть а, а масса единицы площади этой плоскости есть )г. 999 -мрн — р)о Ф и е. ло.Б. Сила притяясення лсатериальной точки лсатериальной плоскостью. Пусть р будет постоянной: слой однороден. Какой же величины поло ь?С создается массой с(т, удаленной от О не ближе, чем на р, и не дальше, чем на й+ с?р (Π— это точка плоскости, бливсайшая к Р)? Ответ: йС =С(с?пег?гз).
Но оно, это поле, направлено вдоль г, а мы понимаем, что из трех составляющих С после сложения всех йьС должна остаться лишь х-составляющая. Она равна О а'тс С о'та с' с' Все массы соль, которые находятся на одном н том же расстоянии г от Р, дадут одно и то же значение сьС„, так что за ьгт можно сразу принять массу всего кольца между й и д+с(й, т. е. с?ль=-р2яойчй (2лдс(о — это площадь кольца радиусом о и ши- риной сьев при с?сй((р).
Итак, с?Сл = ОР2яй йяа с' Но ос(й=-гс)г из-за того, что гк.=оч+а'. Поэтому х С„=.. 2лбрй ) —, =-2лСрй( — — — ) = 2лбр. (13,17) Глс ?1 11 а Стало быть, сила не зависит от расстояния а! Почему? Не ошиб- лись ли мы? Казалось бы, чем далыпе от плоскости, тем сила слабее.
Но нет! Если точка находится вплотную к плоско- сти, то большая часть вещества притягивает ее под неудачяымя уг,тами, а если вдалеке, то у большей части вещества притяжение направлено прямее к плоскости. На любом расстоянии самая «влиятельная» часть плоскости лежит в некотором конусе. С удалением сила ослабляется обратно пропорционально квадрату расстояния, но в том же кояусе под тем же углом оказывается больше аеи)ества, а рост количества вещества тоже пропорцио- нален квадрату расстояния! Этот анализ может быть сделан болев строгим, если заметить, что дифференциал вклада любого дан- ного конуса не зависит от расстояния в результате противопо- ложных изменений напряженности поля данной массы и количе- ства самой этой массы (с ростом расстояния). Впрочем, на самом деле сила не постоянна, ибо на другой стороне плоскости она меняет знак.
Мы решили, кстати, и аадачу по электричеству: мы доказалн, что у заряженной пластины, каждая единица площади которой Ф и г. 1о.б. Тонкий с4сриксский слой масс (или горлвовд несет заряд о, электрическое поле равно а?2ео и направлено от пластины, если она заряжена положительно, и к ней, если она заряжена отрицательно. Чтобы доказать это, надо просто вспомнить, что в заковетяготения 6 играет ту же роль, что (г4пео в электричестве. А теперь пусть имеются две пластины, одна с положительным зарядом +о, а другая с отрицательным — о (на единицу площади), и пусть промежуток между ними равен О.
Каково поле этих пластин? Снаружи пластин поле равно пулю. Отчего? Оттого, что одна пз ких отталкивает, а другая притягивает и у обеих сила не зависит от расспгояния; значит, силы всюду уничтожаются! А вот поле между пластинами вдвое больще, чем поле одной пластины, направлено оно от положительной пластины к отрицательной и равно Ь=о/зо. Перейдем теперь к еще более интересному и ваясному вопросу; впрочем, мы давно уже ответили на него, предположив, что сила притяжения Земли в точке на ее поверхности или над нею такая же, как если бы вся масса Земли сосредоточилась в ее центре.
Справедливость этого предположения не очевидна: ведь когда мы находимся у самой аемлн, какая-то часть ее массы очень к нам близка, а другая далека и т. д. Когда мы складываем действие всех таких масс, то кажется чудом, что в конце концов сила сводится к тому, что вся Земля сжалась в одну точку, стянулась к своему центру! Мы теперь покажем, что это чудо обыкновенное; чтобы продемонстрировать зто, разобьем Землю на топкие сферические слои.
Пусть вся масса сферы равна т. Давайте рассчитаем потенциальную энергию частицы массы т' на расстоянии Л от центра сферы (фиг. 13.6). Мы увидим, что потенциальная энергия как раз такая, как если бы масса т сферы вся собралась в ее центре. (Легче иметь дело с потенциальной энергией чем с напряженностью поля: не нужно думать об углах, а просто складывать потенциальные энергии всех частей сферы.) Нарежем сферу на узкие пояски, и пусть х — расстояние плоскости пояска от центра сферы; тогда вся масса пояска толщиной с?х находится на одном и том же расстоянии г от точки Р, а потенциальная энергия притяжения этого пояска равна — Ст'Йтгг.
Сколько же массы содержится в пояске с)х? Вот сколько: с?т = 2пурс?в = —. 2лиийх 2яиис?ха = 2па)аагх, а!о э у 9 заказ эа газа где у=тайна' — поверхностная плотность массы. (Вообще площадь поверхности шарового пояса пропорциональна его высоте.) Поэтому потенциальная энергия притяяаения массы дггз есть Ст'Влг Ст'2ларел г Но мы видим, что г' = у'+ (Л вЂ” х)' == у' + х'+ Л' — 2Лх.= а'-(- Л* — 2Лх.
Значит, 2гдг =- — 2Лдх, или а'г г й Поэтому Пт'2лаиаг и и получается Ст'2лаи Г йт'2лаи Ст'(4ла'р) г 2а=— и ~ и и — а — — (13. 18) Стало быль, для тонкого слоя потенциальная энергия массы т', внешней по отношению к слою, такова, как если бы масса слоя собралась в его центре. Землю же можно представить в виде ряда таких слоев, и притяжение каждого из слоев зависит только от его массы; сложив кх, получим всю массу планеты; значит, и вся Земля действует так, словно все ее вещество находится в ее центре! Но посмотрим, что произойдет, если точка Р окажется внутри слоя. Проделывая те же расчеты вплоть до интегрирования, мы получим разность двух значений г, но уже в другой форме: (а+Л) — (а — Л)=2Л (двойное расстояние от Р до центра).
Другими словами, теперь И' становится равной И'= — Стт'/а, что не зависит от Л, т. е. точка Р всюду внутри сферы обладает одной и той же энергией тяготения. А значит, на нее не действует никакая сила, и не нужно никакой работы, чтобы двигать ее внутри.
Когда потенциальная энергия тела всюду, в любой точке внутри сферы, одинакова, то на тело не действует никакая сила. Внутри сферы тело не испытывает действия сил, сила действует только снаружи. Глава И РАБОТА И ПОТИНЦИАЛЬНАЯ ОННРГИЯ фт) ,!зьэ..-;по л;. ~ 1..Работ«за В предыдущей главе мы ввели много новых понятий и идей, играющих важную роль в физике. Идеи эти столь важны, что, пожалуй, стоит посвятить целую главу внимательному ознакомлению сними. Мы не будем здесь повторять «доказательства» и красивыч приемы, поз-' воляющие просто получать важные результаты, а вместо этого сосредоточим наше внимание на обсуждении самих идей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
