rpd000011474 (1008604), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

9.2. На координатной плоскости изобразить эллипсы

а) ; б) .

Для каждого эллипса найти фокусное расстояние, коэффициент сжатия, фокальный параметр и эксцентриситет, координаты центра, фокусов и вершин.

9.3. На координатной плоскости изобразить гиперболы

а) ; б) .

Для каждой гиперболы найти фокусное расстояние, фокальный параметр и эксцентриситет; координаты центра, фокусов и вершин, составить уравнения асимптот.

9.4. На координатной плоскости изобразить параболы

а) ; б) ; в) .

Для каждой параболы найти ее параметр, координаты вершины и фокуса, составить уравнение директрисы.

9.5. Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду (определить название линии, составить каноническое уравнение, найти каноническую систему координат и построить линию в исходной системе координат):

а)

;

б) ;

в) .

9.6. Определить названия линий второго порядка, получающихся в сечениях поверхности плоскостями: а) ; б) ; в) .

Ответ: а) гипербола; б) пара пересекающихся прямых; в) гипербола.

9.7. Привести уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду (определить название поверхности, составить каноническое уравнение, найти каноническую систему координат, указать формулы преобразования координат и построить поверхность в исходной системе координат):

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

Ответ: а) однополостный гиперболоид (вращения) ; , , ; б) конус (круговой) ; , ; в) параболический цилиндр ; , , ; г) эллипсоид ; , , ; д) конус ; , , ; е) двуполостный гиперболоид ; , , ; ж) гиперболический параболоид ; , , . Формулы преобразования координат определяются неоднозначно.

9.8. Привести уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду (определить название поверхности, составить каноническое уравнение, найти каноническую систему координат и построить поверхность в исходной системе координат):

а) ;

б) .

Линейные пространства.doc

Линейные пространства

12.1. Выяснить, является ли линейным пространством данное множество радиусов-векторов с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на число:

а) множество радиусов-векторов, параллельных данной прямой;

б) множество радиусов-векторов, перпендикулярных данной прямой;

в) множество радиусов-векторов, параллельных данной плоскости;

г) множество радиусов-векторов, перпендикулярных данной плоскости;

д) множество единичных радиусов-векторов;

е) множество радиусов-векторов, образующих с данной прямой угол величиной . Ответ: а) да; б) да; в) да; г) да; д) нет; е) нет.

12.2. Выяснить, является ли линейным пространством данное множество функций, определенных на , с обычными операциями сложения функций и умножения функции на число ( , ):

а) множество четных функций ( );

б) множество нечетных функций ( );

в) множество периодических функций (с разными периодами);

г) множество периодических функций (с одним и тем же периодом);

д) множество возрастающих функций;

е) множество ограниченных функций;

ж) множество функций, разрывных в нуле.

Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) да; д) нет; е) да; ж) нет.

12.3. Выяснить, является ли линейным пространством данное множество матриц с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число:

а) множество диагональных матриц порядка ;

б) множество верхних треугольных матриц порядка ;

в) множество треугольных матриц порядка ;

г) множество вырожденных квадратных матриц порядка ;

д) множество невырожденных квадратных матриц порядка .

Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) нет; д) нет.

12.4. Найти размерность и базис следующих линейных пространств:

а) пространство четных многочленов степени не выше ;

б) пространство нечетных многочленов степени не выше ;

в) пространство тригонометрических многочленов (не выше -го порядка), т.е. функций вида .

Ответ: а) размерность: ; базис: , ,…, ; б) размерность: ; базис: , ,…, ; в) размерность: ; базис: , , , , ,…, , . Искомые базисы определены неоднозначно.

12.5. Доказать, что в заданном линейном пространстве система векторов образует базис. Разложить вектор по данному базису:

а) пространство : , , ;

б) пространство : , , ;

в) пространство : , , , ;

г) пространство многочленов степени не выше второй: , , , .

Ответ: а) ; б) ;

в) ; г) .

12.6. Найти матрицу перехода от базиса к базису :

а) , , , ;

б) , , , , , .

Ответ: а) ; б) .

12.7. Доказать, что в заданном линейном пространстве система векторов образует базис. Разложить вектор по данному базису:

а) пространство : , , ;

б) пространство : , , , ;

в) пространство многочленов степени не выше второй: , , , .

12.8. Найти матрицу перехода от базиса к базису :

а) пространство : , , , ;

б) пространство симметрических матриц второго порядка: , , , , , ;

в) пространство многочленов степени не выше второй: , , , , , .

12.9. В пространстве заданы подпространства:

а) – множество решений системы уравнений:

б) – линейная оболочка столбцов , , .

Найти размерности и базисы подпространств.

12.10. В пространстве квадратных матриц второго порядка задано множество матриц, перестановочных с матрицей . Показать, что это множество является линейным подпространством в , найти его размерность и базис.

Линейные отображения.doc

. Линейные отображения

и преобразования

13.1. Выяснить, является ли инъективным, сюръективным, биективным, обратимым, линейным заданное преобразование пространства радиус-векторов на координатной плоскости :

а) поворот плоскости вокруг начала координат на угол ;

б) увеличение длины радиус-вектора на единицу при сохранении его направления;

в) симметрия относительно прямой, проходящей через начало координат;

г) сжатие к оси абсцисс с коэффициентом (ордината радиус-вектора уменьшается в раз);

д) ортогональное проектирование на данную прямую, проходящую через начало координат.

Для линейных преобразований найти ядро, образ, дефект, ранг.

Ответ: а,в,г) преобразование инъективное, сюръективное, биективное, обратимое, линейное, ядро: , образ: , дефект: 0; ранг: 2; б) преобразование инъективное, несюръективное, небиективное, необратимое, не является линейным; д) преобразование неинъективное, несюръективное, небиективное, необратимое, линейное, ядро – множество радиусов-векторов, перпендикулярных данной прямой; образ – множество радиусов-векторов, принадлежащих данной прямой; дефект: 1; ранг: 1.

13.2. Найти ядро и образ линейного преобразования , которое в стандартном базисе пространства имеет матрицу . Указать, является ли преобразование инъективным, сюръективным, биективным, обратимым.

Ответ: , , преобразование неинъективное, несюръективное, небиективное, необратимое.

13.3. Линейное преобразование в базисе , имеет матрицу , а линейное преобразование в базисе , имеет матрицу . Найти матрицу преобразования в базисе , . Ответ: .

13.4. В стандартном базисе , , в пространстве многочленов не выше второй степени с действительными коэффициентами заданы матрицы линейных преобразований:

а) ; б) .

Найти собственные значения и соответствующие собственные векторы этих преобразований.

Ответ: а) , , , , ; б) , . Комплексные (с ненулевой мнимой частью) корни характеристического многочлена не являются собственными значениями преобразования. Собственные векторы определяются неоднозначно.

13.5. Найти линейное преобразование и составить его матрицу относительно стандартного базиса в :

;

;

,

где – остаток от деления числа на 2; – остаток от деления числа на 3.

13.6. Найти собственные векторы и собственные значения линейных преобразований и , если заданы матрицы этих преобразований (относительно стандартных базисов):

а) ; б) .

Экзамен (1 семестр).doc

Промежуточная аттестация №1

Экзамен

Семестр:

Вид контроля:

Вопросы:

1. Экзаменационный билет № 1.Матрицы, виды матриц. Операции над матрицами и их свойства.Векторное произведение и его свойства. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.

2. Экзаменационный билет № 2 Блочные матрицы. Теорема о произведении блочных матриц. Скалярное произведение и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.

3. Экзаменационный билет № 3 Индуктивное определение детерминанта (определителя). Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по элементам строки, столбца (без доказательства). Линейная зависимость и линейная независимость векторов.

4. Экзаменационный билет № 4 Свойства определителей. Аффинная система координат на прямой, плоскости, в пространстве. Координаты вектора, точки. Выражение координат вектора через координаты его начала и конца.

5. Экзаменационный билет № 5 Элементарные преобразования матриц. Методы вычисления определителей. Смешанное произведение и его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей.

6. Экзаменационный билет № 6 Теорема об определителе произведения матриц. Следствие об определи-теле блочно-диагональной матрицы. Выражение линейных операций над векторами через их координаты. Деление отрезка в заданном отношении.

7. Экзаменационный билет № 7 Обратная матрица. Теорема о существовании и единственности об-ратной матрицы. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми.

8. Экзаменационный билет № 8 Матричные уравнения. Алгоритмы нахождения обратной матрицы. Векторы, линейные операции над векторами. Базис на прямой, плоскости, в пространстве. Теорема о разложении вектора по базису.

9. Экзаменационный билет № 9 Линейная зависимость и линейная независимость столбцов матрицы. Свойства. Метрические приложения скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.

10. Экзаменационный билет № 10 Базисный минор матрицы. Теорема о базисном миноре. Понятие об уравнении линии и поверхности. Алгебраические линии и поверхности, их порядок. Теорема об инвариантности порядка алгебраической поверхности (линии). Найти квадратную матрицу 2-го порядка, удовлетворяющую уравнению.

11. Экзаменационный билет № 11 Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Плоскость. Различные виды уравнений плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.

12. Экзаменационный билет № 12 Теорема о ранге произведения и суммы матриц. Прямая в пространстве. Различные виды уравнений прямой в пространстве. Угол между прямыми, между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до прямой и между скрещивающимися прямыми.

13. Экзаменационный билет № 13 Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя. Преобразование координат точки на плоскости при повороте и параллельном переносе, при изменении названий и при изменении направлений осей координат.

14. Экзаменационный билет № 14 Алгоритмы нахождения ранга матрицы. Определения эллипса, гиперболы, параболы как геометрических мест точек плоскости. Фокус, эксцентриситет, директриса.

15. Экзаменационный билет № 15 Системы линейных алгебраических уравнений, основные понятия. Матричная запись системы. Правило Крамера. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Классификация поверхностей второго порядка.

16. Экзаменационный билет № 16 Теорема Кронекера-Капелли. Алгоритм (Гаусса) решения неоднородной системы линейных уравнений. Метрические приложения скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.

17. Экзаменационный билет № 17 Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Общее решение однородной системы. Прямоугольная система координат. Ориентация базисов в пространстве. Выражение длины вектора через его координаты.

18. Экзаменационный билет № 18 Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений.¶Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Классификация линий второго порядка.

19. Экзаменационный билет № 19 Свойства определителей. Координатное пространство. Линейные операции со столбцами. Базис. Теорема о разложении элемента по базису.

20. Экзаменационный билет № 20 Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение. Спектр матрицы. Алгоритм нахождения собственных векторов и собственных значений матрицы.

21. Экзаменационный билет № 21 Базисный минор матрицы. Теорема о базисном миноре. Замена базиса. Матрица перехода от базиса к базису. Связь координат вектора в разных базисах. Свойства матрицы перехода.

22. Экзаменационный билет № 22 Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Координатное пространство. Линейные операции со столбцами. Базис. Теорема о разложении элемента по базису.

23. Экзаменационный билет № 23 Метрические приложения скалярного, векторного и смешанного произведений векторов. Подобные матрицы. Теорема о приведении матрицы к диагональному виду с помощью преобразования подобия.

24. Экзаменационный билет № 24 Условия параллельности и совпадения двух прямых и двух плоскостей. Свойства характеристического многочлена, собственных чисел и собственных векторов.

25. Экзаменационный билет № 25 Метрические приложения скалярного, векторного и смешанного произведений векторов. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение. Спектр матрицы. Алгоритм нахождения собственных векторов и собственных значений матрицы.

26. Экзаменационный билет № 26 Системы линейных алгебраических уравнений, основные понятия. Правило Крамера. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми.

27. Экзаменационный билет № 27 Алгоритмы нахождения ранга матрицы. Координатное пространство. Линейные операции со столбцами. Базис. Теорема о разложении элемента по базису.

28. Экзаменационный билет № 28 Базисный минор матрицы. Теорема о базисном миноре. Прямая в пространстве. Различные виды уравнений прямой в пространстве. Угол между прямыми, между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до прямой и между скрещивающимися прямыми.

29. Экзаменационный билет № 29 Теорема Кронекера-Капелли. Алгоритм (Гаусса) решения неоднородной системы линейных уравнений. Линейное подпространство: определение, размерность.

30. Экзаменационный билет № 30 Теорема о ранге произведения и суммы матриц. Аффинное подпространство (плоскость) в: определение, размер.

Экз._билеты_1 фак..doc

Экзаменационные вопросы

по курсу "Линейная алгебра и аналитическая геометрия"

Характеристики

Список файлов учебной работы