Презентация 6. СЛАУ, правило Крамера (1006522), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

y − 6 = ± 32 ⋅ ( x − 4) .эксцентриситетб) Сравнивая заданное уравнение с уравнением −( x − x0 ) 2a2+( y − y0 ) 2b2=1,параметррасстояние22p = b = 3 = 4,5 .a2получаем параметры x0 = 4 ,гиперболы, сопряженной для гиперболы, построенной в п."а". Учитывая рис.10.18,б,строим основной прямоугольник и асимптоты гиперболы как в п."а", а затем сопряженную гиперболу(штриховая линия на рис.10.18,в).Заметим, что каноническая система O′x′′y′′ получается из исходной в результате параллельногопереноса на вектор s = 4 ⋅ i + 6 ⋅ j и переименования координатных осей.

Другими словами, заменаy0 = 6 , a = 2 , b = 3неизвестных x = 4 + y′′ , y = 6 + x′′ приводит уравнение к каноническому виду:b = 2 ).Вычисляем фокусное расстояние2⋅c = 2⋅a 2 + b 2 = 2 ⋅ 32 + 2 2 = 2 13 ;фокальный параметр p = ba = 23 = 34 . Уравнения асимптот такие же, как в п."а". 22( x ′′) 232−( y ′′) 222= 1 (здесь a = 3 ,эксцентриситетe = ac =133;2510.2.4.

ПАРАБОЛАПараболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных отзаданной точки F и заданной прямой d , не проходящей через заданную точку. ТочкаF называется фокусом параболы, прямая d – директрисой параболы, середина Oперпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, – вершиной параболы, расстояние pот фокуса до директрисы – параметром параболы, а расстояниеp2от вершины параболыдо ее фокуса – фокусным расстоянием (рис.10.19,а). Параметр p параболы характеризуетее форму. Чем больше p , тем шире ветви параболы, чем ближе p к нулю, тем ветвипараболы ýже.ПараболаMM d = FMMdyMp2p2FOdOdpx=−аM ( x, y )MdM (r , ϕ)MdrpFp2ϕO Fxdxpp2бРис.10.19вПрямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осьюпараболы (фокальной осью параболы).

Отрезок FM , соединяющий произвольную точку Mпараболы с ее фокусом, называется фокальным радиусом точки M . Эксцентриситетпараболы по определению равен единице ( e = 1 ).В канонической системе координат, введенной так, как показано на рис.10.19,б,парабола описывается каноническим уравнениемy2 = 2 ⋅ p ⋅ x .В этой системе координат уравнение директрисы x = − , координаты фокуса F  , 0  . Осиp2канонической системы координат называются главными осями параболы.p226Уравнение параболы в полярной системе координат F r ϕ (рис.10.19,в) имеет видr=p,1 − e ⋅ cos ϕгде p – параметр параболы, а e = 1 – ее эксцентриситет.Уравнение ( y − y 0 ) 2 = 2 ⋅ p ⋅ ( x − x0 ) , p ≠ 0 , определяет параболу с вершиной O ′( x0 , y 0 ) , оськоторой параллельна оси абсцисс: при p > 0 направление осей Ox и O′x′ совпадают(рис.10.20,а), а при p < 0 – противоположные (рис.10.20,б).

Это уравнение сводится кканоническому параллельным переносом (а также изменением направления оси абсцисс вслучае p < 0 ).( y − y0 ) 2 = 2⋅ p ⋅( x − x0 )p>0Oy y′x′O′x0аxx′y0Op<0p>0p<0y y′y0( x − x0 ) 2 = 2⋅ p ⋅( y − y0 )O′x0бx′yy0xOРис.10.20yO′y′y0O′x0вy′x0xOгx′xУравнение ( x − x0 ) 2 = 2 ⋅ p ⋅ ( y − y 0 ) , p ≠ 0 , также определяет параболу с вершинойO ′( x0 , y 0 ) , ось которой параллельна оси ординат: при p > 0 направление осей Oy и O ′x′совпадают (рис.10.20,в), а при p < 0 – противоположные (рис.10.20,г), Это уравнениесводится к каноническому при помощи параллельного переноса, переименованиякоординатных осей (а также изменения направления координатной оси в случае p < 0 ).27Пример 10.11.

Изобразить параболыа) y 2 = 2 ⋅ x ; б) ( y − 1) 2 = −2 ⋅ ( x − 2) ; в) ( x − 2) 2 = 2 ⋅ ( y + 1) ;в исходной ( Oxy ) и в канонической ( O′x′y′ ) системах координат. Найти параметр параболы,координаты фокуса и уравнение директрисы. а) Система координат Oxy является канонической, так как заданное уравнениеимеет канонический вид.

По уравнению определяем параметр p = 1 . Строим параболу,учитывая ее симметрию относительно оси абсцисс (рис.10.21,а). Координаты фокусаxF =p 1p= , y F = 0 , т.е. F  1 , 0  . Составляем уравнение директрисы x = − , т.е. x = − 1 .2 2222 б) Сравнивая заданное уравнение с уравнением параболы ( y − y 0 ) 2 = 2 ⋅ p ⋅ ( x − x0 ) ,определяем, что x0 = 2 , y0 = 1 , p = −1 < 0 .

Учитывая рис.10.20,б, строим параболу,симметричную относительно оси O′x′ (рис.10.21,б).Заметим, что каноническая система координат O′x′y′ получается из исходной врезультате параллельного переноса на вектор s = 2 ⋅ i + j и изменения направления осиабсцисс. Другими словами, замена неизвестных x = 2 − x′ , y = 1 + y′ приводит уравнение кканоническому виду: ( y′) 2 = 2 ⋅1 ⋅ x′ .

Так как каноническое уравнение параболы такое же, как ив п."а", то значение параметра, уравнение директрисы x ′ = − 1 и координаты x ′F =y′F = 0фокуса совпадают с найденными в п."а".2p 1= ,2 228yy′yyx′2x′0,5O2–2аxO′0,51sOx2x2O s–10,5y′O′вбРис.10.21в) Сравнивая заданное уравнение с уравнениемпараболы ( x − x0 ) 2 = 2 ⋅ p ⋅ ( y − y 0 ) , определяем, что x0 = 2 , y0 = −1 ,p = 1 > 0 . Учитывая рис.10.20,в, строим параболу, симметричнуюотносительно оси O′x′ (рис.10.21,в).Заметим, что каноническая система координат O′x′y′получается из исходной в результате параллельного переносана вектор s = 2 ⋅ i − j и переименования координатных осей.Другими словами, замена неизвестных x = 2 + y′ , y = −1 + x′приводит уравнение к каноническому виду: ( y′) 2 = 2 ⋅1 ⋅ x′ .

Таккак каноническое уравнение параболы такое же, как и в п."а",p"б", то уравнение директрисы x ′ = − 1 и координаты x ′F = = 1 ,y′F = 02фокуса совпадают с найденными в п."а","б". 2229.

Характеристики

Список файлов лекций