Презентация 6. СЛАУ, правило Крамера (1006522), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Вещественные линии изображены в канонических системахкоординат. Изображения мнимых линий даются штриховкой только для иллюстрации.Линия второго порядка называется центральной, если она имеет единственныйцентр (симметрии). В противном случае, если центр отсутствует или не являетсяединственным, линия называется нецентральной.К центральным линиям относятсяэллипсы (вещественный и мнимый), гипербола, пара пересекающихся прямых(вещественных и мнимых). Остальные линии – нецентральные.1710.2.2. ЭЛЛИПСЭллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний откаждой из которых до двух заданных точек F1 и F2 есть величина постоянная ( 2a ), бóльшаярасстояния ( 2c ) между этими заданными точками (рис.10.14,а).
Точки F1 и F2 называютсяфокусами эллипса, расстояние между ними 2c = F1 F2 – фокусным расстоянием, середина Oотрезка F1 F2 – центром эллипса. Отрезки F1M и F2 M , соединяющие произвольную точку Mэллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки M .cназывается эксцентриситетом эллипса. Из определения ( 2a > 2c )aследует, что 0 ≤ e < 1 . Чем больше e , тем эллипс более вытянут.
При e = 0 , т.е. при c = 0 ,фокусы F1 и F2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a .Отношение e =В канонической системе координат, введенной так, как показано на рис.10.14,б, эллипсописывается каноническим уравнениемx2a2+y2b2=1,где b = a 2 − c 2 .Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрииэллипса (называются главными осями эллипса), а его центр – центром симметрии. Числа aи b называются большой и малой полуосями эллипса соответственно, отношение k = b ≤ 1 –aкоэффициентом сжатия.
Прямые x = ± a , y = ± b ограничивают на координатной плоскостиосновной прямоугольник, внутри которого находится эллипс (см. рис.10.14,б). Точкипересечения эллипса с координатными осями называются вершинами эллипса.ЭллипсyF1M + F2 M = 2 aF1O2c2aаF2M (r , ϕ)bMF1−aF2OaxprϕF22сF1x−bбРис.10.14в18Параметрическое уравнение эллипса в канонической системе координат имеет вид x = a ⋅ cos t , y = b ⋅ sin t ,0 ≤ t < 2π .Уравнение эллипса в полярной системе координат F1 r ϕ (рис.10.14,в) имеет видr=гдеb2p=ap,1 − e ⋅ cos ϕ– фокальный параметр эллипса, 0 ≤ e < 1 .( x − x0 ) 2Уравнениеa2+( y − y0 ) 2b2=1, a ≥b ,определяет эллипс с центром в точке O ′( x0 , y 0 ) ,оси которого параллельны координатным осям (рис.10.15,а).
Это уравнение сводится кканоническому путем параллельного переноса. При a < b это же уравнение определяетэллипс, фокусы которого расположены на оси, параллельной оси Oy (рис.10.15,б). В этомслучае уравнение сводится к каноническому путем параллельного переноса ипереименования координатных осей (см.
разд.9.1.2).При a = b = R уравнение ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = R 2 описывает окружность радиуса R сцентром в точке O ′( x0 , y 0 ) (рис.10.15,в).a ≥byy0yy′a <bx′bF2bx′O′y0 − aa2сO′F1ya =b = Ry′x′y′y0aR−bOx0аxOx0бРис.10.15xOx0вx19Пример 10.9. Изобразить эллипсыа)x222+y212=1;б)( x − 1) 222+( y − 2) 212=1;в)( x − 3) 212+( y + 1) 222=1в исходной ( Oxy ) и канонической ( O′x′y′ ) системах координат.
Найти полуоси, фокусное расстояние,эксцентриситет, коэффициент сжатия, фокальный параметр. а) Система координат Oxy является канонической, так как заданное уравнение имеетканонический вид. По уравнению определяем полуоси: a = 2 – большая полуось, b = 1 – малая полуосьэллипса. Строим основной прямоугольник со сторонами 2a = 4 , 2b = 2 с центром в начале координат(рис.10.16,а).
Учитывая симметричность эллипса, вписываем его в основной прямоугольник.Вычисляем коэффициент сжатия k = b = 1 ; фокусное расстояние 2 ⋅ c = 2 ⋅ a 2 − b 2 = 2 ⋅ 22 − 12 = 2 3 ;a222эксцентриситет e = c = 3 ; фокальный параметр p = b = 1 = 1 .aa222б) Сравнивая заданное уравнение с уравнением эллипсаx0 = 1 , y0 = 2 , a = 2 , b = 1 . Учитывая рис.10.15,а, изображаем( x − x0 ) 2a2+( y − y0 ) 2b2= 1 , определяем, чтозаданный эллипс в исходной иканонической системах координат (рис.10.16,б).Заметим, что каноническая система O′x′y′ получается из исходной параллельным переносом навектор s = i + 2 ⋅ j . Другими словами, замена неизвестных x = 1 + x′ , y = 2 + y ′ приводит уравнение кканоническому виду:( x ′) 222+( y ′) 212= 1 .
Так как каноническое уравнение эллипса такое же, как и в п."а", тои все остальные параметры эллипсов совпадают: k = 1 ; 2 ⋅ c = 2 3 ; e = 3 ; p = 1 .221y ≡ y′O ≡ O′−21x ≡ x′2−23sO−122O′ 1−1xy′−1−1аx′2s O′x′yy′y2O1бРис.10.16xв−220в) Сравнивая заданное уравнение с уравнением эллипса( x − x0 ) 2a2+( y − y0 ) 2b2=1,определяем, что x0 = 3 , y0 = −1 , a = 1 , b = 2 .
Учитывая рис.10.15,б, изображаем заданныйэллипс в исходной и канонической системах координат (рис.10.16,в).Заметим, что каноническая система O′x′y′ получается из исходной параллельнымпереносом на вектор s = 3 ⋅ i − j и переименованием осей. Другими словами, замена( x ′) 2 ( y ′) 2′′неизвестных x = 3 + y , y = −1 + x приводит уравнение к каноническому виду: 2 + 2 = 1 .21Так как каноническое уравнение эллипса такое же, как в п."а","б", то все остальныепараметры эллипсов совпадают: k = 1 ; 2 ⋅ c = 2 3 ; e = 3 ; p = 1 .
2222110.2.3. ГИПЕРБОЛАГиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разностирасстояний от каждой из которых до двух заданных точек F1 и F2 есть величина постоянная( 2a ), меньшая расстояния ( 2c ) между этими заданными точками (рис.10.17,а).Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы, расстояние 2c = F1 F2 между ними –фокусным расстоянием, середина O отрезка F1 F2 – центром гиперболы.
Отрезки F1M иF2 M , соединяющие произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называютсяcназывается эксцентриситетомaгиперболы. Из определения ( 2a < 2c ) следует, что e > 1 . Эксцентриситет e характеризуетформу гиперболы. Чем больше e , тем шире ветви гиперболы, а чем ближе e к единице, темфокальными радиусами точки M . Отношение e =ветви гиперболы ýже.В канонической системе координат, введенной так, как показано на рис.10.17,б,гипербола описывается каноническим уравнениемx2a2−y2b2=1,где b = c 2 − a 2 .ГиперболаF1M − F2 M= 2ay=−MF1O2aF2b⋅xay=ybF1−a O a−bb⋅xaM (r , ϕ)rF2xF1pϕF2Ox2cабРис.10.17Кв22Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметриигиперболы (называются главными осями гиперболы), а ее центр – центром симметрии, a– действительной полуосью гиперболы, b – мнимой полуосью гиперболы.
Прямые x = ± a ,y = ± b ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, вне которогонаходится гипербола (см. рис.10.17,б). Точки пересечения гиперболы с осью абсциссbaназываются вершинами гиперболы. Прямые y = ± ⋅ x , содержащие диагонали основногопрямоугольника, называются асимптотами гиперболы (см. рис.10.17,б).Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координатF2 r ϕpb2(рис.10.17,в) имеет вид r =, где p =– фокальный параметр гиперболы, e > 1 .a1 − e ⋅ cos ϕвидПараметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет x = a ⋅ ch t ,t∈, y = b ⋅ sh t ,et − e −tet + e −tгде ch t =– гиперболический косинус, а sh t =– гиперболический синус.2223Уравнение( x − x0 ) 2a2−( y − y0 ) 2определяет гиперболу с центром в точке O ′( x0 , y 0 ) , оси=1b2которой параллельны координатным осям (рис.10.18,а).
Это уравнение сводится кканоническому параллельным переносом. Уравнение −( x − x0 ) 2a2O ′( x0 , y 0 ) .+( y − y0 ) 2b2=1определяетсопряженную гиперболу (рис.10.18,б) с центром в точкеЭто уравнение сводится кканоническому путем параллельного переноса и переименования координатных осей (см.разд.9.1.2).( x − x0 ) 2a2y−( y − y0 ) 2b2y′b O′y0=1−( x − x0 ) 2aya x′y02( y − y0 ) 2+b2y=1x′bO′a y′y ′ x′′36sOx0аxOбx0xOO′42y′′x′xвРис.10.1824Пример 10.10.
Изобразить гиперболыа)( x − 4) 222−( y − 6) 232=1 ;б)( y − 6) 232−( x − 4) 222=1в исходной ( Oxy ) и канонической системах координат. Найти полуоси, фокусное расстояние,эксцентриситет, фокальный параметр, уравнения асимптот. а) Сравнивая заданное уравнение с уравнением гиперболы( x − x0 ) 2a2−( y − y0 ) 2b2=1,определяем, чтоx0 = 4 , y0 = 6 , a = 2 , b = 3 . Учитывая рис.10.18,а, строим основной прямоугольник со сторонами 2a = 4 , 2b = 6с центром в начале канонической системы координат.
Проводим асимптоты, продлевая диагоналиосновного прямоугольника. Строим гиперболу, учитывая ее симметричность относительно координатныхосей (изображена на рис.10.18,в сплошной линией).Заметим, что каноническая система координат O′x′y′ получается из исходной параллельнымпереносом на вектор s = 4 ⋅ i + 6 ⋅ j . Другими словами, замена неизвестных x = 4 + x′ , y = 6 + y′ приводитуравнение2⋅c = 2⋅кканоническомуa 2 + b 2 = 2 ⋅ 2 2 + 32 = 2 13 ;Составляем уравнения асимптотвиду:( x ′) 222−( y ′) 232=1.Вычисляемфокусное13; фокальныйe= c =a2y − y0 = ± ba ⋅ ( x − x0 ) , т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
