Презентация 6. СЛАУ, правило Крамера (1006522), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Чертеж в аналитической геометрии служит, как правило, лишьиллюстрацией к решению. 8Пример 10.2. На координатной плоскости Oxy (в прямоугольной системе координат)заданы прямая l уравнением x − 3 ⋅ y + 3 = 0 и точка M (5, 6) (рис.10.8). Требуется:а) составить параметрическое уравнение прямой m , проходящей через точку Mперпендикулярно заданной прямой;б) найти ортогональную проекцию M l точки M на прямую l ;в) определить координаты точки M ′ , симметричной точке M относительно прямой l . а) Нормаль n к прямой l является направляющим вектором p для прямой m .Координаты нормали определяем по общему уравнению прямой l : n = 1 ⋅ i − 3 ⋅ j , тогдаp = 1 ⋅ i − 3 ⋅ j , x0 = 5 , y0 = 6 . Составляем параметрическое уравнениеyM(10.5) прямой m :m x = 5 + 1⋅ t ,t∈. y = 6 + (− 3) ⋅ t ,б) Проекция M l точки M является точкой пересеченияlOпрямых m и l .

Найдем ее координаты. Для этого подставляем вуравнение прямой l : x − 3 ⋅ y + 3 = 0 выражения координат x = 5 + t ,y = 6 − 3 ⋅ t из параметрического уравнения прямой m . Получаем уравнение5+ t − 3 ⋅ (6−3⋅t)+ 3 = 0x⇔10 ⋅ t − 10 = 0⇔MlM′nxРис.10.8t = 1.yЗначению параметра t = 1 отвечает точка с координатами x = 5 + 1 = 6 , y = 6 − 3 ⋅1 = 3 .Следовательно, искомая точка M l (6, 3) .в) В п."а" составлено параметрическое уравнение прямой m . В этом уравнении приt = 0 получаем точку M , при t = 1 – точку M l , значит, искомую точку M ′ получим при t = 2 ,поскольку в силу симметрии M ′M l = M l M . Вычисляем координаты искомой точки:M ′(5 + 1 ⋅ 2, 6 + (− 3) ⋅ 2 ) , т.е. M ′(7, 0) .

910.1.2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИПусть две прямые l1 и l2 заданы их общими уравнениямиl1 : A1 ⋅ x + B1 ⋅ y + C1 = 0 ;либо уравнениями с угловым коэффициентом:l1 : y = k1 ⋅ x + b1 ;l2 : A2 ⋅ x + B2 ⋅ y + C2 = 0l2 : y = k 2 ⋅ x + b2 .Судить о взаимном расположении двух прямых на плоскости по коэффициентамзадающих их уравнений позволяют следующие критерии:– параллельности прямых:A1– совпадения прямых:A2=A1A2– коллинеарности прямых:=B1B2B1B2≠=A1– пересечения прямых:A2C1C2C1C2=либо k1 = k 2 , b1 ≠ b2 ;либо k1 = k 2 , b1 = b2 ;B1B2либо k1 = k 2 ;A1 ⋅ B2 ≠ A2 ⋅ B1 либо k1 ≠ k 2 ;– перпендикулярности прямых:A1 ⋅ A2 + B1 ⋅ B2 = 0 либо k1 ⋅ k 2 = −1 .Если прямые пересекаются, то координаты общей точки находятся в результатерешения одной из систем: A1 ⋅ x + B1 ⋅ y + C1 = 0 , A2 ⋅ x + B2 ⋅ y + C 2 = 0 y = k1 ⋅ x + b1 ,либо  y = k 2 ⋅ x + b2 .10Пример 10.5.

Выяснить взаимное расположение каждой пары прямых (пересечение,параллельность, совпадение, перпендикулярность, в случае пересечения прямых найти их общуюточку):а) 2 ⋅ x − y + 3 = 0 , − 4 ⋅ x + 2 ⋅ y − 6 = 0 ;б) 2 ⋅ x + 3 ⋅ y − 6 = 0 , 4 ⋅ x + 6 ⋅ y + 3 = 0 ;в) 3 ⋅ x − 2 ⋅ y + 1 = 0 , 4 ⋅ x + 6 ⋅ y − 16 = 0 ;г) x + 2 ⋅ y − 3 = 0 , x − 4 ⋅ y + 3 = 0 ;д) y = − 4 ⋅ x + 1 , y = − 4 ⋅ x − 3 ;е) y = − x + 1 , − 2 ⋅ x + 2 ⋅ y − 6 = 0 .A1 а) Так как A1 = 2 , B1 = −1 , C1 = 3 , A2 = − 4 , B2 = 2 , C2 = − 6 итоA1A2=B1B2=C1C2=−12A2=21 B311 C=− , 1 =− , 1 ==− ,−42 B22 C2 − 62.

Следовательно, прямые совпадают.б) Так как A1 = 2 , B1 = 3 , C1 = − 6 , A2 = 4 , B2 = 6 , C2 = 3 иA1A2=12,B1B2=12,C1C2= −2 ,тоA1A2=B1B2≠C1C2.Следовательно, прямые параллельны.в) Так как A1 = 3 , B1 = −2 , C1 = 1 , A2 = 4 , B2 = 6 , C2 = −16 , то A1 ⋅ B2 = 3 ⋅ 6 = 18 и A2 ⋅ B1 = 4 ⋅ (−2) = −8 .Следовательно, A1 ⋅ B2 ≠ A2 ⋅ B1 и прямые пересекаются. Поскольку A1 ⋅ A2 + B1 ⋅ B2 = 3 ⋅ 4 + (−2) ⋅ 6 = 0 , топрямые перпендикулярны.

Координаты точки (1; 2) пересечения прямых удовлетворяют системе 3⋅ x − 2 ⋅ y +1 = 0,уравнений  4 ⋅ x + 6 ⋅ y − 16 = 0 .г) Поскольку A1 = 1 , B1 = 2 , C1 = −3 , A2 = 1 , B2 = − 4 , C2 = 3 , то A1 ⋅ B2 ≠ A2 ⋅ B1 иA1 ⋅ A2 + B1 ⋅ B2 = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ (− 4) = −7 ≠ 0 . Поэтому прямые пересекаются, но не являются перпендикулярными. x + 2 ⋅ y − 3 = 0,Координаты точки (1;1) пересечения прямых удовлетворяют системе уравнений  x − 4 ⋅ y + 3 = 0.д) Так как k1 = − 4 , b1 = 1 , k 2 = − 4 , b2 = −3 , то k1 = k 2 и b1 ≠ b2 . Поэтому прямые параллельны.е) Для первой прямой имеем k1 = −1 , b1 = 1 .

Разрешая второе уравнение относительно у ,получаем уравнение y = x + 3 , т.е k 2 = 1 , b2 = 3 . Поскольку k1 ≠ k 2 , то прямые пересекаются. Так какk1 ⋅ k 2 = (−1) ⋅ 1 = −1 , то прямые перпендикулярны. Координаты точки (− 1; 2 ) пересечения прямых y = − x + 1,удовлетворяют системе уравнений  y = x + 3.1110.1.3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИПеречислим формулы для вычисления длин отрезков (расстояний) и величин угловпо уравнениям образующих их прямых.Углом между двумя прямыми на плоскости называется угол между ихнаправляющими векторами.

По этому определению получаются не один угол, а двасмежных угла, дополняющих друг друга до π . В элементарной геометрии из двух смежныхуглов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина ϕ угла между двумя прямымиудовлетворяет условию 0 ≤ ϕ ≤ π .21. Расстояние d от точки M ∗ ( x ∗ , y ∗ ) до прямой A ⋅ x + B ⋅ y + C = 0 (рис.10.11,а)вычисляется по формуле d =M ∗ ( x∗, y∗ )yA ⋅ x∗ + B ⋅ y ∗ + CA2 + B 2ydOxаM 2 ( x2 , y 2 )d1Ax+ B y +C = 0.A2 x + B2 y + C2 = 0A1 x + B1 y + C1 = 0xOбРис.10.112.

Расстояние между параллельными прямыми A1 ⋅ x + B1 ⋅ y + C1 = 0 и A2 ⋅ x + B2 ⋅ y + C2 = 0(рис.10.11,б) находится как расстояние d1 от точки M 2 ( x2 , y 2 ) , координаты которойудовлетворяют уравнению A2 ⋅ x2 + B2 ⋅ y2 + C2 = 0 , до прямой A1 ⋅ x + B1 ⋅ y + C1 = 0 по формулеd1 =A1 ⋅ x2 + B1 ⋅ y2 + C1A12 + B12.123. Острый угол ϕ между двумя прямыми l1 и l2 находится по формуламa1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2а) cos ϕ =a12 + b12 ⋅a22 + b22, если p1 = a1 ⋅ i + b1 ⋅ j и p2 = a2 ⋅ i + b2 ⋅ j – направляющие векторыпрямых l1 и l2 соответственно (в случае задания прямых каноническими илипараметрическими уравнениями (рис.10.12,а));A1 ⋅ A2 + B1 ⋅ B2б) cos ϕ =A12+B12⋅A22+B22, если n1 = A1 ⋅ i + B1 ⋅ j и n2 = A2 ⋅ i + + B2 ⋅ j – нормали к прямым l1и l2 соответственно (в случае задания прямых общими уравнениями (рис.10.12,а));в) tg ϕ =k1 − k 21 + k1 ⋅ k 2, k1 ⋅ k 2 ≠ −1 , если k1 = tg α1 и k 2 = tg α 2 – угловые коэффициенты прямых l1и l2 соответственно (в случае задания прямых уравнениями с угловыми коэффициентами(рис.10.12,б)).

Если k1 ⋅ k2 = −1 , то ϕ = π , поскольку прямые перпендикулярны (см. разд.10.1.2).2yϕl1n2ϕn1Oаyl2p1ϕ p2α2Oxl1k1 = tg α1k 2 = tg α 2ϕα 2 α1l2α1бxРис.10.1213Пример 10.6. Найти:а) расстояние от точки M ∗ (1, − 2) до прямой 3 ⋅ x + 4 ⋅ y + 10 = 0 ;б) расстояние между параллельными прямыми 2 ⋅ x + 3 ⋅ y − 6 = 0 и4⋅ x + 6⋅ y + 2 = 0 ;в) острый угол между прямыми l1 : 3 ⋅ x − y − 3 = 0 и l2 : x − 2 ⋅ y + 4 = 0 ;г) острый угол между прямымид) острый угол между прямымиx −1 y − 3x−4 y−2==и−1−31−2y = 3 ⋅ x − 1 и y = −2 ⋅ x + 2 .; а) Воспользуемся формулой п.1 ( x ∗ = 1 , y ∗ = −2 , A = 3 , B = 4 ,C = 10 ): d =A ⋅ x∗ + B ⋅ y∗ + C=A2 + B 23 ⋅ 1 + 4 ⋅ ( −2) + 1032 + 4 2=5=1.5б) Выберем произвольную точку M 2 ( x 2 , y 2 ) на второй прямой4 ⋅ x + 6 ⋅ y + 2 = 0 .

Например, точку M 2 (1, − 1) . Тогда по формуле п.2 получаем(при A1 = 2 , B1 = 3 , C1 = − 6 , x2 = 1 , y 2 = −1 ):A1 ⋅ x 2 + B1 ⋅ y 2 + C1d1 =A12 + B12=2 ⋅ 1 + 3 ⋅ ( −1) − 62 2 + 33=7.13в) По общим уравнениям прямых находим нормалиn1 = A1 ⋅ i + B1 ⋅ j = 3 ⋅ i − 1 ⋅ j , n2 = A2 ⋅ i + B2 ⋅ j = 1 ⋅ i − 2 ⋅ j ,а также ϕ угол между прямыми, используя формулу п.3,"б" (при A1 = 3 ,B1 = −1 , A2 = 1 , B2 = −2 ):cos ϕ =A1 ⋅ A2 + B1 ⋅ B2A12+B12⋅A22+B22=3 ⋅ 1 + (− 1) ⋅ (− 2 )3 + ( −1) ⋅ 1 + ( −2)2222=55⋅ 2=⇒ ϕ= π.42114г) Прямые заданы каноническими уравнениями. По коэффициентам уравненийнаходим направляющие векторы p1 = a1 ⋅ i + b1 ⋅ j = −1 ⋅ i − 3 ⋅ j , p2 = a2 ⋅ i + b2 ⋅ j = 1 ⋅ i − 2 ⋅ j , а затем –угол ϕ между прямыми по формуле п.3,"а" (при a1 = −1 , b1 = −3 , a2 = 1 , b2 = −2 ):a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2cos ϕ =a12+ b12⋅a22( −1) ⋅1 + ( −3) ⋅ ( −2)=+ b22( −1) + ( −3) ⋅ 1 + ( −2)2222=5=10 ⋅ 5⇒ ϕ= π.421д) По уравнениям прямых определяем их угловые коэффициенты: k1 = 3 , k 2 = −2 , азатем угол ϕ между прямыми по формуле п.3,"в":l1ytg ϕ =π41Olπ4l2xРис.10.13k1 − k 21 + k1 ⋅ k 2=3 − ( −2)=1,1 + 3 ⋅ ( −2)т.е.

ϕ = π . 4Пример 10.7. Составить уравнение прямой, проходящей черезточку y0 = 1 на оси ординат и образующей с прямой y = 1 ⋅ x + 1 угол π .24 Искомая прямая (с угловым коэффициентом k ) образует сзаданной прямой l (с угловым коэффициентом 1 ) острый угол ϕ = π ,24tg ϕ = 1 . По формуле п.3,"в", учитывая, что угол ϕ острый, составляем уравнение и упрощаемего:1=k − 121 + k ⋅ 12⇔k − 121 + k ⋅ 12= ±1⇔ k − 1 =1+ 1 ⋅ k ,2211−=−1−⋅k.k22Отсюда находим два решения: k1 = 3 или k 2 = − 1 . Следовательно, учитывая (10.10) при3y0 = 1 , поставленной задаче удовлетворяют две прямые (рис.10.13) – l1 : y = 3 ⋅ x + 1 или l 2 :y = − 1 ⋅ x +1.3Заметим, что эти прямые взаимно перпендикулярны, поскольку выполняетсяусловие k1 ⋅ k 2 = 3 ⋅ (− 1 ) = −1 . 31510.2.

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА10.2.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКААлгебраической линией второго порядка называется геометрическое место точекплоскости, которое в какой-либо аффинной системе координат Oxy может быть заданоуравнением видаa11 ⋅ x 2 + 2 ⋅ a12 ⋅ x ⋅ y + a22 ⋅ y 2 + 2 ⋅ a1 ⋅ x + 2 ⋅ a2 ⋅ y + a0 = 0 ,2где старшие коэффициенты a11 , a12 , a22 не равны нулю одновременно ( a112 + a122 + a22≠ 0 ). Длякаждой линии второго порядка существует прямоугольная система координат Oxy , вкоторой уравнение принимает наиболее простой (канонический) вид.

Она называетсяканонической, а уравнение – каноническим.Канонические уравнения линий второго порядка1.x2a2+y2b2=1– уравнение эллипса;yxy2.x2a2x2a2x2a2+y2b2= −1 – уравнение мнимого эллипса;xy3.4.5.x2a2+−−y2b2y2b2y2b2=0– уравнение пары мнимыхxпересекающихся прямых;y=1– уравнение гиперболы;xy=0– уравнение пары пересекающихсяпрямых;x166.y2 = 2 ⋅ p ⋅ x– уравнение параболы;yx7.y 2 − b2 = 0– уравнение пары параллельных прямых;yx8.9.y 2 + b2 = 0y2 = 0– уравнение пары мнимых параллельныхпрямых;– уравнение пары совпадающих прямых.yxyxВ этих уравнениях a > 0 , b > 0 , p > 0 , причем a ≥ b в уравнениях 1–3.Линии (1),(4)–(7),(9) называются вещественными (действительными), а линии(2),(3),(8) – мнимыми.

Характеристики

Список файлов лекций