tus5 (Практические занятия по теории управления)

Семинар 5.ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМС ПОМОЩЬЮ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ1. Описание сигналов. Для описания сигналов используются функции времени.Выделяют два специальных сигнала: импульсное воздействие в виде дельта-функции иединичную ступенчатую функцию. Им соответствуют две системные характеристики:импульсная переходная и единичная переходная функции.2. Описание систем. Рассматривается поведение линейной одномерной нестационарной системы управления, описываемой дифференциальным уравнениемan (t ) x (n) (t )  ...  a0 (t ) x (t )  bm (t ) g (m) (t )  ...  b0 (t ) g (t )с начальными условиямиx (t 0 )  x 0 , x (t 0 )  x 0 ,..., x (n 1) (t 0 )  x 0(n 1),где g (t ) и x (t ) – входной и выходной сигналы; n и m – порядки старших производныхвыходного и входного сигналов соответственно; an (t ),..., a0 (t ) , bm (t ),..., b0 (t ) – коэффициенты, зависящие от времени t ; t0 – начальный момент времени (как правило, моментподачи входного сигнала).Импульсной переходной (весовой) функцией линейной системы называется реакция k (t , ) системы на воздействие в виде дельта-функции g (t )  (t  ) при нулевыхначальных условиях.Единичной переходной функцией линейной системы называется реакция h(t , )системы на воздействие в виде единичной ступенчатой функции g (t )  1 (t  ) при нулевых начальных условиях.З а м е ч а н и я.1.

Поскольку следствие – появление ненулевого выходного сигнала – не можетопережать по времени причину – приложение входного воздействия – переходные функции удовлетворяют условию физической реализуемости:k (t , )  0 при t   ;h(t , )  0 при t   .2. Для линейных стационарных систем, описываемых уравнениемan x (n ) (t )  ...

 a0 x (t )  bm g (m) (t )  ...  b0 g (t ) ,где an ,..., a0 , bm ,..., b0 – постоянные коэффициенты, мгновенное значение k (t , ) импульсной переходной функции зависит только от промежутка времени   t   , прошедшего после приложения импульсного воздействия:k (t , )  k (t  ) илиk (t , )  k () ,   t   .Единичная переходная функция h(t , ) стационарной системы также зависит только от разности своих аргументов:h(t , )  h(t  ) илиh(t , )  h() ,   t   .1Связи вход-выходПусть импульсная переходная функция k t ,  системы известна. Тогдаx t  t k t,  g d .(*)t0Формула (*) – это связь вход-выход, которую устанавливает импульсная переходная функция.

Реакция x t  представляет собой вынужденное движение системы, т.е. решение исходного уравнения с нулевыми начальными условиями:x (t 0 )  0, x (t 0 )  0,..., x (n 1) (t 0 )  0 .Рассмотрим случай стационарной системы, которая описывается уравнением с постоянными коэффициентами. Формула (*) связи вход-выход принимает видx t  tk t    g   d 0t k  g t  d .(**)0Нахождение переходных функцийНАХОЖДЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙПО УКОРОЧЕННОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮРассмотрим случай, когда система управления описывается укороченным дифференциальным уравнением:an (t ) x (n ) (t )  ...

 a0 (t ) x (t )  g (t ) .Импульсную переходную функцию k (t , ) системы (2.8) можно искать несколькими способами.Первый способ. Пусть 1 t  , 2 t  ,..., n t  – фундаментальная система решенийоднородного уравнения. 1n 1k t ,  an   1 t 1 1  n t  n  n  n  2n  2   n 1где  – определитель Вронского:2t  .1  1    n n  .1n 1    nn 1 Заметим, что при t   согласно условию физической реализуемости k t ,   0 .Второй способ.Начальными значениями импульсной переходной функции и ее производных называются правосторонние пределы этих функций при t    0 .Импульсная переходная функция k t ,   является решением однородного дифференциального уравненияan (t ) x (n ) (t )  ...

 a0 (t ) x (t )  0при ненулевых начальных значениях:jtjk (t , )t 0 0, j  0,1,..., n  2 , 1 a () , j  n  1 . nПример 1. Определить импульсную переходную функцию системы, описываемойдифференциальным уравнениемt x (t )  (1  2t ) x (t )  g (t ) . Здесь n  1, a1 (t )  t , a0 (t )  1  2t . Найдем общее решение однородного уравdk1   2   dt , получаем решенения t k(t )  (1  2t ) k (t )  0 .

Разделяя переменныеktcние k (t , c )  e  2t . Начальное значение (2.16) для рассматриваемой системы имеет видtk (t , )t 011 .a1 () c  2 1e . Отсюда c()  e 2  . Подставляя выражение для c() в общеерешение, находим искомую функцию:Следовательно,k (t , ) 1  2(t  )et   .tТретий способ..1. Сначала найти единичную переходную функцию ht ,   системы как решениенеоднородного уравнения3a n (t )nh(t , )  ...  a 0 (t ) h(t , )  1t nпри нулевых начальных условияхh(t , )t  0, h(t , )t2. Используя связь k t ,   t  0,..., n 1h(t , ) t n 1t  0,ht ,   , найти импульсную переходную функцию.Пример 2.

Найти переходные функции h(t , ) и k (t , ) системы, описываемойдифференциальным уравнением(t 2  1) x(t )  2t x (t )  2 x (t )  g (t ) . 1. Единичная переходная функция h(t , ) является решением уравнения(t 2  1) h(t )  2t h(t )  2 h(t )  1при нулевых начальных условияхh(t , )t  0, h(t , )tt  0.Соответствующее однородное уравнение (t 2  1) h(t )  2t h(t )  2 h(t )  0 имеетдва линейно независимых частных решения 1 (t )  t , 2 (t )  t 2  1 . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет видt   c1 t  c 2 (t 2  1) ,где c1 , c2 – произвольные постоянные.1Так как функция h1 (t )  является частным решением неоднородного уравнения22(t  1) h(t )  2t h(t )  2 h(t )  1 , то общее решение неоднородного уравнения имеет видh(t , c1 , c 2 )  c1 t  c 2 (t 2  1) 1.2Из начальных условийc1   c 2 ( 2  1) 1 0,2c1  2c 2   0 ,находим c1 () , c 2 () 1.

Подставляя эти выражения в общее решение,2  12( 2  1)определяем единичную переходную функцию:4h(t , )  t2  1t2 12( 2  1)12при t   .2. Находим импульсную переходную функцию системы:k (t , )  (t  ) (1   t )при t   .h(t , ) ( 2  1) 2НАХОЖДЕНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ОБЩЕГО ВИДА1. Определяется импульсная переходная функция k0 (t , ) системы, описываемойукороченным дифференциальным уравнением. Это можно сделать одним из трех рассмотренных выше способов.2. Находится искомая импульсная переходная функция по формулеk t ,    1mmm k0 t,  bm    ...

 k0 t,  b0 при t   .Пример 3. Найти импульсную переходную функцию системы, описываемой дифференциальным уравнением(t 2  1) x(t )  2t x (t )  2 x (t )  (t 2  1) g (t )  g (t ) . 1. Для укороченного дифференциального уравнения (см. пример 2) импульсная переходная функция k0 (t , ) имеет видk 0 (t , ) (t  ) (1  t )( 2  1) 2при t   .2. Получаем искомую функцию:k t ,    k0 t,  b1    k0 t,  b0      (t  2) (1 2t ) ( 2  1)  (t  2) (1 2 t )    (  1)(  1)(t  ) (1  t ) (1  2)( 2  1) 21  2t   t 22  1при t   .НАХОЖДЕНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫРассмотрим особенности нахождения импульсной переходной функции стационарной системы управления, описываемой уравнением5an x (n ) (t )  ...

 a0 x (t )  bm g (m) (t )  ...  b0 g (t ) .Переходные функции k t ,   и ht ,   стационарной системы зависят только от разности аргументов   t   , т.е. k   k t    и h  h t    .Связь между переходными функциями принимает видk  dh .dПервый способ.1. По корням 1 ,...,  n характеристического уравнения an n  ...  a0  0 определить фундаментальную систему решений 1 (t ),...,  n (t ) . При этом каждому действительному корню  кратности p соответствует p линейно независимых решенийe t , t e t ,..., t p 1e t , а каждой паре     i  комплексных сопряженных корней кратно-стиpотвечают2pлинейно независимых решенийe t sin t ,..., t p 1e t sin  t ;e t cos t ,..., t p 1e t cos  t .2.

Определив n линейно независимых решений 1 (t ) ,..., n (t ) однородного урав-нения, получить импульсную переходную функцию k0  системы, описываемой укороченным дифференциальным уравнениемk 0 () 1an 1 (0)1 (0) n (0)n (0)1(n  2) (0)(nn  2) (0) n ()1 (), 1 (0)1 (0)n (0)n (0).1(n 1) (0)  (nn 1) (0)3. Найти импульсную переходную функцию k () системы, учитывая ее связь симпульсной переходной функцией k0 () соответствующего укороченного дифференциального уравнения:k ()  bm k 0m  ()  ...

 b0 k 0 () .Пример 4. Найти импульсные переходные функции элементарных звеньев. Усилительное звено. Подставляя в уравнение входной сигнал g (t )  (t  ) ,получаем k (t , )  K (t ) (t  ) .Дифференцирующее звено. Подставляя в уравнение входной сигнал g (t )  (t  ) ,получаем k (t , )   (t  ) .Интегрирующее звено. Дифференциальное уравнение при g (t )  (t  ) имеетрешение k (t , )  1 (t  ) .Апериодическое звено. Запишем для уравнения системы задачу Коши:6k (t , )  k (t , )  0 ,tоднородное уравнение: Tначальное значение импульсной переходной функции: k (t , )t 0Общее решение однородного уравнения имеет вид k (t , )  c eусловия получаем выражение для параметра с :ceT1.TtT.

Из начального1T1c()  e T .TОкончательно получаем1 k (t , )  eT(t  )Tпри t   .Как видим, найденная импульсная переходная функция зависит только от разности t   ,1 т.е. k ()  e T ,   t   .TКолебательное звено. Составляем характеристическое уравнение для дифференциального уравнения: T 2 2  2T    1  0 . При   (1, 1) это уравнение имеет два комплексных сопряженных корня1 1,2  (    i 1   2 ) ,Tпоэтому фундаментальную систему решений образуют функции1 (t )  e  t sin t ,где   ,  Tзвена:1  2Tk () 1T 2 (t )  e  t cos t ,.