tus1 (Практические занятия по теории управления)

Семинар 1. Описание систем дифференциальными уравнениями1. Описание систем. Непрерывные процессы, протекающие в системахуправления, могут быть описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями ссоответствующими начальными условиями. Тогда, если известен входной сигнал,выходной сигнал определяется в результате решения задачи Коши для обыкновенногодифференциального уравнения.Одномерная линейная непрерывная нестационарная система управления описывается дифференциальным уравнениемan (t )d n x (t )dt n   a0 (t ) x (t )  bm (t )d m g (t )dt m   b0 (t ) g (t )с начальными условиямиx (t 0 )  x 0 , x (t 0 )  x 0 ,..., x (n 1) (t 0 )  x 0(n 1) ,где g (t ) – входной сигнал; x (t ) – выходной сигнал; t – время; an (t ) ,..., a0 (t ) ,порядкиbm (t) ,..., b0 (t ) – коэффициенты левой и правой частей уравнения; n и m –старших производных выходного и входного сигналов соответственно; t 0 – момент начала функционирования системы.Если коэффициенты уравнения постоянны, система называется линейной стационарной:and n x (t )dt n   a0 x (t )  bmd m g (t )dt m   b0 g (t ) .В операторной форме уравнение имеет видD(p,t) x(t) = M(p,t) g(t),d– символ, обозначающий операцию дифференцирования; D(p,t), M(p,t) – дифdtференциальные операторы левой и правой частей уравнения:где p D ( p, t )  an (t ) p n  a1 (t ) p  a0 (t ) ,M ( p, t )  bm (t ) p m  b1 (t ) p  b0 (t ) .Уравнение в операторной форме имеет видD ( p ) x (t )  M ( p ) g (t ) ,где D ( p)  a n p n  a1 p  a 0 , M ( p)  bm p m  b1 p  b0 .22Из операторной формы уравнения следует способ изображения стационарной системы на структурных схемах (рис.1).M ( p)D ( p)gxРис.

1Сложные системы управления, как правило, состоят из элементарных и типовыхзвеньев.1. Усилительное звено (рис. 2,а) описывается уравнениемx (t )  K (t ) g (t ) ,где K (t ) – коэффициент усиления. Если звено стационарное, то K (t )  K  const .Примеры усилительных звеньев:а) трансформатор (рис. 2,б), где выходное напряжение связано с входным соотношением: U "/. (t )  KU ".

(t ) ;б) редуктор (рис. 2,в), где угловые скорости выходного и входного вала связанычерез соотношение чисел зубьев шестерен:nn2  1 1  K (t ) 1 ,K (t )  K  1 .n2n22n1g (t )K (t )x (t )U ".U "/.1аn2бРис. 2в2. Дифференцирующее звено (рис. 3) описывается уравнениемd g (t ).dtx (t ) Выходной сигнал равен производной входного сигнала. Уравнение в операторной формеимеет вид x (t )  p g (t ) .g (t )px (t )g (t )1px (t )MаРис. 3бРис. 4233. Интегрирующее звено (рис. 4,а) описывается уравнениемd x (t ) g (t ).dtВыходной сигнал получается в результате интегрирования входного.

В операторной форме уравнение имеет видp x (t )  g (t )илиx (t ) 1g (t ) .pДля примера рассмотрим процесс изменения угловой скорости  диска с моментоминерции J под действием управляющего момента внешних сил М из состояния покоя(рис. 4,б).dУравнение вращательного движения: J M , (t 0 )  0 . Отсюда имеемdtMd M, а если положить x   , g , получаем уравнение.dtJJ4. Звено чистого запаздывания описывается уравнением x (t )  g (t  ) , гдевеличина запаздывания выходного сигнала относительно входного. –5.

Апериодическое звено (рис. 5,а) описывается уравнениемTd x (t ) x (t )  g (t ),dtгде Т – действительное положительное число, называемое постоянной времени. Операторная форма записи уравнения имеет вид(Tp  1) x (t )  g (t ) .В качестве примера рассмотрим схему с заданным сопротивлением R и емкостью C(рис. 5,б). В начальный момент времени емкость не заряжена.Rg (t )1Tp  1UCx (t ) U ".iаU "/.U "/. (t )tT  RCбРис.

524U ". (t )вТребуется составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение выходного напряжения при условии подачи на вход постоянного напряжения единичнойвеличины.Запишем уравнение второго закона Кирхгофа, соотношение, связывающее ток инапряжение на емкости, и начальные условия:U вых  iR  U вх ,i CdU вых,dtU вых (t 0 )  U вых (0)  0 .Отсюда следуетRCdU вых (t )dtU вых (0)  0 . U вых (t )  U вх (t ) ,Используя обозначения T  RC , x  U "/.

, g  U ". , получаем уравнение апериодического звена. Если g (t )  U ". (t )  1 (t ) , то решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет видx (t )  U вых (t )  1  etT,t  0.На рис. 5, в изображены входной и выходной (заметим, что он непериодический) сигналы.6. Колебательное звено (рис. 6,а) описывается уравнениемT2d 2 x (t )dt2dx (t ) x (t )  g (t ),dt 2T(11)где T  0 – постоянная времени;  – коэффициент демпфирования,   1 .Для примера рассмотрим схему с известными параметрами R, L, C (рис.

6,б). Вначальный момент времени ток в цепи отсутствует, а емкость не заряжена. Требуется составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение выходного напряжения.UU ". (t )RL1g (t )1T 2 p 2  2  Tp  1Cx (t ) U ".U "/. (t )U "/.tiабвРис. 625Запишем уравнение второго закона Кирхгофа, соотношение, связывающее ток инапряжение на емкости, и начальные условия:diL iR  U вых  U вх , U вых (0)  0,dtd U выхi C, i (0)  0 .dtОтсюда получаемLCd 2U вых (t )dt 2 RCdU вых (t )dt U вых (t )  U вх (t ).R C, U "/.

 x , U ".  g .График типовой реакции2 Lрассматриваемой схемы на единичное ступенчатое входное напряжение при комплексных корнях характеристического уравненияс отрицательной вещественной частью инулевых начальных условиях изображен на рис.

6,в.Здесь T  LC ,  7. Неустойчивое апериодическое звено (рис. 7,а) описывается уравнениемTd x (t ) x (t )  g (t ),dtгде T  0 – число, называемое постоянной времени.8. Неустойчивое колебательное звено (рис. 7,б) описывается уравнениемT2d 2 x (t )dt 2 2Td x (t ) x (t )  g (t ),dtгде T  0 – постоянная времени;  – коэффициент демпфирования.9. Дифференцирующее звено первого порядка (рис. 7,в) описывается уравнениемx (t )  Td g (t ) g (t ),dtгде Т – постоянная времени.10. Дифференцирующее звено второго порядка (рис. 7,г) описывается уравнениемx (t )  T 2g1T p 1xgd 2 g (t )dt 212 2Tx2T p  2Tp  1gd g (t ) g (t ).dtTp  1xgT 2 p 2  2Tp  1xРис. 7З а м е ч а н и е. Первые четыре звена называются элементарными, так как они немогут быть представлены через другие звенья.262.

Связь структурной схемы с дифференциальным уравнениемА. Построение структурной схемы по дифференциальному уравнению. Структурныесхемы строятся с помощью элементарных, типовых звеньев и сумматоров, описывающихпреобразование сигналов. Они служат одним из языков описания систем управления. Поструктурным схемам, как правило, находится эквивалентный оператор системыуправления, а затем решаются различные задачи анализа.АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНОЙ СХЕМЫ1. Выразить член со старшей производной из дифференциального уравнения системы и представить полученное соотношение с помощью сумматора, дифференцирующих и усилительных звеньев.2. Все низшие производные получить как сигналы на соответствующих выходахпоследовательно соединенных интегрирующих звеньев.3. Начальные условия представить как постоянные во времени воздействия, приложенные на выходах интегрирующих звеньев.Пример 1.

Построить структурную схему системы, описываемой дифференциальным уравнением4 x  3x  x  2 gс начальными условиями x (0)  x 0 , x (0)  x 0 . Выразим из уравнения член со старшей производной:4 x  2 g  3x  x .Изобразим схему получения сигнала 4 x (рис. . С помощью усилительного звена скоэффициентом усиления 1/4 получим сигнал x . Построим теперь прямую цепь схемы,последовательно преобразовывая сигнал x интегрирующими звеньями. Добавляя на выходах интегрирующих звеньев соответствующие начальные условия, получаем частьпрямой цепи схемы, в которой присутствуют выходной сигнал x и его производные x , x .Изображаем сумматор, выходным сигналом которого служит 4 x . На этом сумматоренужно реализовать равенство 4 x  2 g  3x  x .x 0gpg22 g 4x14x1pxx01px3Рис.27Для этого добавляем к прямой цепи соединение дифференцирующего и усилительного звеньев, которые из входного сигнала g позволяют получить нужный сигнал 2 g навходе сумматора.

Сигналы x и 3x подаем на сумматор с соответствующим знаком, используя обратные связи. Таким образом, получаем структурную схему (рис.), соответствующую заданному дифференциальному уравнению.Пример 2. Построить структурную схему системы, описываемой дифференциальным уравнением5 x  t x  t 2 x  g  2 gс начальными условиями x (0)  x0 , x (0)  x0 , x(0)  x0 . Выразим из уравнения член со старшей производной:5 x  g  2 g  t x  t 2 x .Согласно алгоритму получим структурную схему системы (рис. ).x0gp25 xgx15x 0x1px0x1p1px2gtt2Рис.Пример 3.

Построить структурную схему системы, описываемой дифференциальным уравнениемx  x  x  g . Выразим из уравнения член со старшей производной:x  g  x  xи с помощью алгоритма получим схему (рис. ).x0xg1px 0x1pРис.28xx01px3. Составление дифференциального уравнения по структурной схеме. Для записи дифференциального уравнения следует обозначить на схеме все промежуточныесигналы, записать уравнения для каждого звена и для каждого сумматора и из полученной системы дифференциальных и алгебраических уравнений исключить промежуточные переменные кроме входного и выходного сигналов.Пример 4. Составить дифференциальное уравнение по структурной схеме, изображенной на рис.(2)g(1)1pxРис. Составим уравнения элементов схемы:1) x 1;p2)   g  x .Отсюдаx1(g  x) ,ppx  g x,( p  1) x  g .Дифференциальное уравнение системы имеет видx (t )  x (t )  g (t ) ,что совпадает с уравнением апериодического звена при T  1 , т.е.

система, состоящая изинтегрирующего звена, замкнутого отрицательной обратной связью, является апериодическим звеном.Пример 5. Составить дифференциальное уравнение по структурной схеме, представленной на рис. .g(3) (1)3p (p  1)( 2)yx2Рис. Составим уравнения элементов схемы:291) x 3 ;p ( p  1)2) y  2 x ;3)   g  y .Отсюда( p 2  p) x  3 ( g  y )  3 ( g  2 x )  3 g  6 x .Переходя от операторной формы записи дифференциального уравнения к обычной,получаемx  x  6 x  3 g .4.