Chizhov_lektsiya_3 (МСС Лекции + задания 80 + 24(зач 2009-2010) + 18 (контр Дядичева))

3. Интегральные характеристики полей.3.1. Линия поля.Кроме дифференциальных характеристик поля используются интегральные характеристики,применение которых делает описание более наглядным. Одной из наиболее удобных характеристиквекторного поля является линия поля. Линией векторного поля A называется непрерывная линия,касательная к которой в любой ее точке совпадает с вектором поля в этой точке. Пусть линия поля задана в параметрическом виде уравнением r  r  s  , где s - параметр, например, длина дуги. r  s Касательный вектор dr ds пропорционален вектору поля, т.е.s r  s dr ds   Asили в проекциях на орты декартовой системы dx   Ax , dy   Ay , dz   Az .Это условие можно записать так:dx dy dz.Ax Ay AzДля поля скорости уравнение линии, называемой линией тока, имеет вид:dx dy dz.vx v y v zПри использовании ортогональных криволинейных координат q i дифференциалы этихкоординат порождают перемещения в физическом пространстве dri  Hi dq , поэтомудифференциальные уравнения для линий вектора A  A1 e1  A2 e2  A3 e3 имеют видH 1 dq1 H 2 dq2 H 3 dq3.A1A2A3Пример 1.Найти линии тока жидкости, обтекающей шар радиуса R, если поле скоростей всферических координатах имеет вид:R3 1 R3 v  v0  1  3  cos   er  v0  1 sin   e .3 r 2 r Уравнение линий токаdr vr dr 3  R3 cos  ddr rdимеет вид:и 2 3rvr  2 R 3 sin vrvдопускает разделение переменных:d  sin  dq q 3  2r 2.

Здесь q  .3q q 1sin RРазобьем левую часть на сумму дробей32dq q 3  2dqdqdq dq d  q  1 3q dq 3dq 2 32  3.  3q q3  1qq qqq1q  q 3  1q1После интегрирования получаем явное выражениедля линий токаq3  1r 3  R3sin 2   C илиsin 2   CR 2 , С –qrбезразмерная константа интегрирования.При r  R, q  1 и линии тока вблизи поверхностишара q  1 A.sin 2 Ван-Дайк. Альбом теченийШар, движущийся в трубе при Re=0,10;относительное движение.Шар свободно падает с постоянной скоростьювдоль оси трубы, имеющей вдвое больший диаметр инаполненной глицерином. Камера движется с той жескоростью, что и шар, чтобы заснять структуруотносительного течения. Мелкие магниевые опилкиосвещены тонким световым ножом, который создаеттень от шара. [Coutanceau, 1968]При r  R, q  1 .

Линии тока на большом удалении q C.sin 15Замечание. 1 Поле вектора вихря во всех точках потока равно нулю   rotv  0 . В силу осевой22    rv 1   vr  симметрии потока достаточно определить только 3 : 3   0.r sin   rsin  r  Следовательно, поле скорости потенциально, т.е. v  f . Потенциал набегающего однородного потока f 0   v0  r   v0r cos . Потенциал возмущения скорости имеетаналогичный вид, т.е.

также пропорционален вектору p , коллинеарному вектору скорости pr  p p ~ v0 , но быстро спадает по мере удаления от шара: f 1  3  2 cos  .rrОдинаковая угловая зависимость обеих функции обеспечивает выполнение условиянепроницаемости на поверхности шара одновременно для всех значений угловойfpпеременной. Учитывая, что поле скоростей возмущения vr(1)  1   3 cos  ,rrf2p11v(1)   3 sin  , а поле скорости невозмущенного потока vr(0)  v0 cos ,r r(0)v  v0 sin  , условие непроницаемости vr(0)  R   vr(1)  R   0 определяет параметр р:p  v0 R3 и задает скорость возмущения:R32 R3(1),cosvvsin  .0r3r3(Константу можно выбрать так, чтобы обратить в ноль не радиальную скорость, акасательную. Подобный выбор проводится при решении задачи электростатики о поле1проводящего шара, помещенного в однородное внешнее поле: E  0 при p   v0 R 3 ).2На первый взгляд зависимость функции f 1  r  от радиальной координаты, достаточно1произвольна f 1  r ,   F  r  cos и не ограничивается зависимостью F ~ 2 .

Однако дляrнесжимаемой среды divv  0 , и выбор оказывается очень узким. Условию несжимаемостиCудовлетворяют только две функции F0  C0 r и F1  21 . Первая функция описываетrпотенциал однородного потока, движущегося вдоль оси Oz, а вторая – потенциал диполя,обеспечивающий быстрое убывание возмущения на бесконечности.R3Таким образом, выбранный потенциал f  r ,   v0 r cos   v0 3 cos  являетсяrединственным, удовлетворяющим одновременно трем условиям: Условию однородности потока на бесконечности v  r  R   v0vr(1)   v0Условию непроницаемости на поверхности шара vr  R   0 Условию несжимаемости divv  0Последнее условие может быть записано в виде уравненияdiv  gradf   f  0для потенциала скорости f: v  gradf .Вместе с граничными условиями это уравнение определяет краевую задачу, решениекоторой единственно.Потенциальное течение несжимаемой жидкости при заданных граничных условияхможет быть определено путем решения краевой задачи для уравнения f  0 .16 1 Поле скоростей определяет и линии вектора вихря   rotv , удовлетворяющие2dydxdzуравнениям.xyz3.2.

Условие «вмороженности» векторного поля в веществоНаглядное представление о линиях поля получается для поля скоростей пристационарном движении сплошной среды, когда эти линии являются траекториямидвижения частиц. Для других полей, линии которых не связаны с траекториями движениявыделенных частиц, экспериментальные исследования весьма затруднительны. Найдемусловия, при которых линии произвольного вектора поля быть жестко связаны с движениемвыделенных частиц.  Если линии изменяющегося векторного поля A  A  r , t  все время проходят через одни ите же частицы движущейся среды, то такие линии называются «вмороженными» в вещество.Так как касательная в каждой точке линии поля указывает направление вектора поля, топо определению линии поля, касательный вектор  r в каждой ее точке сонаправлен свектором поля в данной точкеr  A .Вектор, соединяющий две близкие точки линии, в пределе совпадает с касательнымвектором  r : r2  r1   r .Если положение частицы среды, находящейся в момент времени t точке r1 , задается  радиус-вектором r  r  t  , то v  r .

Следовательно, скорости двух соседних частиц среды1111на линии поля связаны соотношением: r2  r1   r .Так как r  A , то v2 v1 A. Для поля скоростей v(r , t ) скорости частиц среды в двух соседних точках пространства r1 и r2  r1   r , разделенных интервалом  r , связаны соотношением:    v  r1   r , t   v  r1 , t    r  v ,а поскольку r  A , то поле скоростей частиц среды, остающихся при своем движении налинии поля, удовлетворяют условию «вмороженности»:  d A  A  v .dtПример 2. Шар радиуса R, вращающийся в неограниченной вязкой жидкости с угловой3 скоростью  , создает вокруг себя поле скоростей v   R r   r  .

Определить полевектора вихря в жидкости. Являются ли линии вектора вихря вмороженными в вещество?    Проверим выполнение условия v      v в сферических координатах2 1R3Rv  r ,   v0   sin  e ,   3  cos  er  sin  e  ,r 2r    1  1  er e e.rr r sin    R4 R3 sin   ,    3  cos  v    4r r2r  r Дифференцирование показывает, что условие вмороженности не выполняется.173.3.

Трубка тока.Если линии векторного поля A проходят через замкнутый контур L, то образуемая имитрубка называется трубкой этого поля. Особую роль играет трубкавекторного поля скорости v - трубка тока. Поскольку векторскорости на границе трубки тока касателен к ней, то в случаестационарного течения все частицы жидкости будут оставаться внутриэтой трубки. Трубка тока называется элементарной, если вектор поляv в любой точке поверхности S, натянутой на конур L, одинаков.Представление о трубке тока позволяет ввести нагляднуюинтерпретацию для потоков векторных величин, обусловленныхдвижением материальных частиц среды.3.4.

Потоки физических величин.Потоком вектора поля A через элементарную поверхность d называется величина  d A  A  d . Особую роль играет поле скорости v , поток которого d v   v  d связывается с переносом физических величин. Рассмотрим движение жидкости вэлементарной трубке тока за время dt . Частицы сплошной среды, находящиеся в момент времени на контуре L, охватывающем трубку тока, за это время перемещаются на dr  vdt . Тогда величина d v  dt   vdt  d    dr  d   dV - это объем жидкости, прошедшей черезконтрольную поверхность.Частицы в выделенном материальном элементарном объеме характеризуются наборомфизических величин, скалярных, векторных или тензорных, которые они переносят приперемещении этого объема.Перенос потоком частиц массы через сечение d трубки тока описывается выражением dM   dV    v  d  dt  d M dt .Аналогично описывается перенос и любых других скалярных экстенсивных величин –электрического заряда, кинетической энергии и т.д.Характеристика переноса скалярной величины Q через выбранную поверхностьназывается током: dQ  IQ dt .

В частности, перенос массы через элементарную площадку определяется плотностью потока массы d M    v  d  . Вводя вектор плотности токавеличины Q - jQ   v , установим связь между плотностью потока и плотностью тока:dQdQ  jQ  d . Здесь  - плотность экстенсивной величины.dVВектор плотности потока массы определяется отсюда соотношением j   v или в тензорных обозначениях jk   vk , где vk   v  nk  - проекции вектора на декартовы орты.Аналогично вычисляется и поток векторной экстенсивной величины, например, импульсэлементарного объема dP  dm  v   vdV  pdV , где p   v   vi ni - плотность импульса.Заменяя   p   v , введем тензорную величину pik  pivk , характеризующую переносплотности импульса p  pi ni через площадку d  d k nk : di  pik d k , где pik   vi vk .Аналогичным образом вводятся величины, характеризующие плотности потокаэкстенсивных тензорных величин любого ранга (второго и более высокого).Для произвольной физической величины, заданной векторным полем A , элементарный поток через площадку d d A  A  d не связывается с процессами переноса. 1Примером является вектор вихря   rot v , линии которого заданы уравнениями2dx dy dz.xyz18 1Поскольку div   divrot v  0 , поток вектора вихря через любую замкнутую поверхность2 равен нулю:    dS  0 .