§ 5 . Вынужденные колебания (С.Н. Козлов, А.В. Зотеев - Колебания и волны. Волновая оптика)

§5. Вынужденные колебанияДля баллистического гальванометра начальная скоростьрамки также пропорциональна импульсу силы, действовавшей нарамку в течение времени ∆t. Так как сила, действующая на рамку,пропорциональна протекающему по рамке току, то F∆t ∼ I∆t ∼ ∆q.В этом случае максимальное отклонение рамки от положенияравновесия пропорционально полному заряду ∆q, протекшемучерез рамку за время ∆t.В заключение сделаем несколько замечаний о спецификезатухающих колебаний в системе связанных осцилляторов. Вопервых, необходимо иметь в виду, что представление онормальных модах колебаний в случае затухающих колебанийимеет смысл только в условиях малого затухания. Во-вторых,необходимо учитывать, что затухание может быть неодинаковымдля разных мод, поскольку, например, пружины в случаемеханическихколебанийиликонденсаторы–вслучаеэлектрических “работают” для различных нормальных колебанийпо-разному.

Наконец, очевидно, что небольшое затухание никакне может повлиять на фундаментальные свойства нормальныхколебаний – соответствие между числом нормальных мод иколичеством колебательных степеней свободы.§5. Вынужденные колебанияВынужденныеколебания–этоколебания,которыепроисходят под действием внешней периодической силы. Здесьмы ограничимся рассмотрением случая, когда “вынуждающая”сила изменяется со временем по гармоническому закону:F(t) = F0cos Ωt .(1.43)В случае, когда на осциллятор действует любая инаяпериодическая сила, зависимость F(t) может быть представлена26Колебания и волны. Волновая оптикав виде разложения по гармоническим функциям вида (1.43), такчто приведённое далее рассмотрение носит достаточно общийхарактер.Совершенно ясно, что, как только на систему начнётдействовать посторонняя сила, система будет выведена изположения равновесия и, следовательно, в ней неминуемо будутвозбуждаться собственные колебания с частотой ωс.

Кроме того,системабудетвынуждена“подчиняться”внешнейсиле,действующей в общем случае с иной частотой Ω. Поэтому наначальномэтапеколебаниясистемыбудутсложными,состоящими из двух колебательных процессов с разнымичастотами.Однаковсистемесзатуханиемсобственныеколебания, как это было выяснено в предыдущем параграфе,прекратятся по истечению времени порядка τA = 1/β. После этогоосциллятор будет совершать только вынужденные колебания счастотой вынуждающей силы Ω. Этот режим мы будем называтьрежимомустановившихсявынужденныхколебанийивдальнейшем только этот режим и будем рассматривать.Вэтомописывающемслучаевдифференциальномколебательныйпроцесс,вуравнении,правойчастипоявляется дополнительное слагаемое – вынуждающая сила:mξ&& = −rξ& − kξ + F0 cos Ω t .(1.44)Это уравнение удобнее привести к видуξ&& + 2βξ& + ω 02ξ = f 0 cos Ω t ,где f0 = F0/m , β = r/2m , ω20(1.45)= k/m.27§5.

Вынужденные колебанияАналогичное уравнение справедливо и для электрическогоконтура,представленногонарис.1.11,вкоторомрольвынуждающего воздействия играет внешняя ЭДС U(t) = U0cos Ωt.LI0ΩLRI0R~ U 0cos ΩtРис.1.11Учитывая, что сумма напряженийCI0I0/ΩCнаконденсаторе,катушкеиндуктивности и резисторе равна врассматриваемом случае внешнейЭДС, получим уравнение (1.45), вкотором f0 = U0/L, β = R/2L, ω 02 =1/LC, а вместо смещения ξ будетфигурировать заряд на конденсаторе q.Поскольку установившиеся колебания происходят с частотойвынуждающей силы Ω, решение уравнения (1.45) будем искать вξ = A cos (Ωt − α).виде:(1.46)Дифференцируя (1.46), получаемξ& = − AΩ sin( Ω t − α ) = AΩ cos( Ω t − α + π / 2) ,(1.47)ξ&& = − A Ω 2cos( Ω t − α ) = AΩ 2cos( Ω t − α + π ) .(1.48)Для решения уравнения (1.45) воспользуемся методомвекторных диаграмм – заменим гармонические функции (1.46) –(1.48) векторами, вращающимися против часовой стрелки сугловой скоростью Ω.

Длина каждого вектора равна амплитудесоответствующего колебания, а полярный угол – его фазе. Дляопределения амплитуды вынужденных колебаний А и фазовогосдвига α теперь достаточно провести сложение векторов,соответствующихгармоническимфункциямвлевойчастиуравнения (1.45). Направим вектор, соответствующий функцииω02 ⋅ξ(t) по горизонтали вправо.

На рисунке 1.12 представленытакже векторы, соответствующие функциям 2β ξ&(t ) и ξ&&(t ) . Как28Колебания и волны. Волновая оптикаследует из (1.47) и (1.48), они опережают по фазе ξ(t) на π/2 и π,соответственно.В итоге получим векторную диаграмму, показанную нарис.1.12. Результат сложения2β ⋅ ξ&трёх векторов, соответствующихтрём членам в левой части2β Ω⋅ AΩϕξ&&уравнения (1.45), должен бытьравнымвектору,соответ-ствующему правой части.

ДлинаΩ2⋅Aэтого вектора равна f0, угол α –Of0ξα(ω02 − Ω2 )⋅Aω02⋅AРис. 1.12сдвиг по фазе между силой исмещением в соотношении (1.46). По теореме Пифагора имеемA2[(ω02 – Ω2)2 + 4β 2 Ω2] = f02 .(1.49)Отсюда получаем амплитуду колебаний, и из рис.1.12 – фазу:A(Ω) =(ωf020tgα =−Ω)2 2+ 4β Ω22;(1.50)2β Ω.ω02 − Ω 2(1.51)Введём понятия «амплитуда поглощения» и «амплитудадисперсии» следующим образом:Ап = A sinα, Ад = A cosα .(1.52)Смысл этих терминов станет понятным позднее.Рассмотрим сначала области низких (Ω << ω 0 ) и высоких(Ω >> ω 0 ) частот вынуждающего воздействия.

При Ω << ω 0 , каклегко видеть из соотношений (1.50) – (1.52):при Ω → 0 α ≈ 0, sinα ≈ tgα ≈ 2β Ω/ω02A ≈ f0/ω02,Aп ≈ 2β f0Ω /ω04 → 0,иAд ≈ А.(1.53)Таким образом, на низких частотах смещение успеваетследовать за силой без отставания по фазе; механический29§5. Вынужденные колебанияосциллятор ведёт себя практически так же, как под действиемпостоянной силы: в частности, при действии максимальной силыF0A=пружинарастягиваетсяF0 / m F0= .k /mkнамаксимальнуюСоответственно,ввеличинуэлектрическомконтуреамплитуда заряда на конденсаторе на низких частотах q0 = СU0,т.е.

все внешнее напряжение падает целиком на конденсаторе.На высоких частотах (Ω >> ω 0 ) амплитуда A стремится к нулюпри Ω → ∞, а сдвиг фаз между силой и смещением при этомприближается к π (tgα ≈ –2 β/Ω). Амплитуды поглощения идисперсии также асимптотически стремятся к нулю (Aп ≈ 2βf0/Ω3 ,Aд ≈ – f 0/Ω2 → 0). В этих условиях осциллятор вообще не успеваетследовать за внешней силой, отсюда – малая амплитуда иотставание по фазе на π.Найдёмтеперьусловия,прикоторыхдостигаетсямаксимальная амплитуда колебаний (т.е. наблюдается «резонанссмещения»).

Дифференцируя подкоренное выражение в (1.50) иприравнивая производную нулю, получаем частоту, на которойнаблюдается резонанс:Ω p = ω02 − 2 β 2 = ωс2 − β 2 .(1. 54)Подставляя (1.54) в (1.50) и (1.51), получаем амплитудусмещения и тангенс угла сдвига фаз между смещением и силойпри резонансе:Ap =2 βω ctgα р =30f0Ωрβ;(1.55).(1.56)Колебания и волны.

Волновая оптикаВ условиях очень малого затухания (β << ω 0 ) справедливыследующие приблизительные выражения:Ap ≅f02 βω 0tgα р =(1.55,а);ω0π; αр ≈ .β2(1.56,а)Из соотношений (1.53) и (1.55,а) следует, что отношениеамплитуды колебаний при резонансе к амплитуде на низкойчастоте с высокой степеньюточности равнодобротности(“четвёртое” определение добротности):АрAω →0ω 02=≈ ω 0τ W ≈ Q .2 βω с(1.57)Для электрического контура величина добротности равнаотношениюамплитудынапряжениянаконденсатореприрезонансе к амплитуде внешнего напряжения:U C( p0) q0( p )Q=≅.U 0 CU 0(1.58)Из (1.52) видно, что при резонансе амплитуда дисперсииблизка к нулю, а амплитуда поглощения приблизительно равнаполной амплитуде.Поскольку для электрических цепей важно знать частоту, прикоторой достигается максимальная амплитуда тока в цепи (а токв электрическом контуре – аналог скорости для механическогоосциллятора),найдемусловиемаксимальнойскорости(«резонанса скорости»).

Учитывая, что амплитуда скорости, всоответствии с (1.47), равна Аυ = ΩА, получаем из (1.50):Aυ (Ω ) =(Ωf02−ω)2 20Ω + 4β22.(1.59)31§5. Вынужденные колебанияОтсюда видно, что резонанс скорости (или тока в цепи,состоящейизпоследовательносоединённыхкатушкииндуктивности, конденсатора и резистора) наблюдается причастоте Ω υp = ω0 .Обсудимвнешнимтеперьвопросисточникомнезатухающихонаколебаний.Помощности,затрачиваемойподдержаниевынужденныхопределению,мгновеннаявеличина мощности есть произведение действующей силы наскорость телаP(t ) = F (t ) ⋅ ξ&(t ) .(1.60)Подставляя в (1.61) соотношения (1.44) и (1.47), имеем:P (t) = F0cos(Ωt)⋅ ΩAcos(Ωt − α + π/2) == 1 F0⋅ΩA[cos(2Ωt − α + π/2) + cos(α − π/2)].

(1.61)2Из (1.61) следует, что мгновенная мощность, затрачиваемаявнешней силой на поддержание вынужденных колебаний счастотой Ω, изменяется со временем с удвоенной частотой 2Ω.Средняя по времени величина затрачиваемой на поддержаниеколебаний мощности равнаTP (t ) =111P(t )dt = F0 AΩ ⋅ cos(α − π / 2) = F0 Aп Ω .∫T 022Таким образом, величинаP(t )(1.62)оказывается пропорцио-нальной амплитуде поглощения Ап – отсюда и происхождениеэтого термина.Дляэлектрическойцеписоотношение(1.62)легкотрансформировать к виду1T11P = ∫ I (t )U (t )dt = q0U 0Ω ⋅ cosϕ = U 0 I 0 ⋅ cosϕ .2T02(1.63)В выражении (1.63) вместо угла α введен угол ϕ = α − π/2,32Колебания и волны. Волновая оптикаравный сдвигу фаз между током и напряжением (см. рис.1.12).Отметим, что при ϕ > 0 ток отстаёт по фазе от напряжения.Поскольку U0⋅cosϕ = UR0 = I0R (см. рис.

12), тоP =1 2I0 R .2(1.64)Отсюда видно, что протекание по цепи с сопротивлением Rпеременного тока вызывает в ней такое же тепловое действие,что и постоянного тока величиной I =1I 0 = Iд. Эта величина2называется «действующим» (или «эффективным») значениемсилы переменного тока. По аналогии вводится и действующеезначение напряжения U д =1U 0 *).

Т.о. выражение для средней2мощности (1.63) может быть записано в виде:P = Iд⋅Uд⋅cosϕ.(1.65)Множитель cosϕ иногда называют «коэффициентом мощности»,потому что, как мы видим, именно сдвиг фаз между током инапряжениемопределяетвеличинувыделяемойвцепимощности при прочих равных условиях.В частности, для идеальных (без потерь) конденсатора икатушки индуктивности выделяющаяся мощность при любых I и Uравна нулю, так как равен нулю коэффициент мощности (сдвигфаз между током и напряжением ϕ = π/2, см. рис.12 и 13).Для цепи, состоящей из последовательно соединенныхконденсатора, катушки индуктивности и резистора (см. рис.1.11),вместо рис.1.12 удобнее изобразить векторную диаграмму, накоторой представлены напряжения на конденсаторе с ампли*)Далее под обозначениями U и I без индекса мы будем понимать именно действующие значенияпеременного тока и напряжения.33§5.