§ 5 . Вынужденные колебания (1120475), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Вынужденные колебания&q&тудой UC0 = I0/ΩC, катушке UL0 =UL0 = I0ΩLI0ΩL и резисторе I0R (индексыU0“0” здесь означают амплитудныеUL0 – UC0значенияϕq&I0qUR0 = I0RUC 0 = I0/ΩCвеличин).Извышесказанногоясно,что сила тока в общем случаенеРис. 1.13соответствующихсовпадаетприложеннымпофазеснапряжением(так же, как в механических колебательных системах смещение искорость осциллятора не совпадают по фазе с вынуждающимвоздействием). Поэтому теряет смысл запись соотношения междумгновенными значениями силы тока и напряжения (аналогичнаязакону Ома для постоянного тока) – это соотношение изменяетсясо временем.

Интерес представляет только соотношение междуих амплитудными (или действующими) значениями, которое неменяется со временем.ОтношениеZ=U0  Uд =I 0  I д (1.66)называется полным сопротивлением цепи (или ее участка), аравенствоI0 =U0 U ;  Iд = д ZZ (1.67)получило название закона Ома для переменного тока.Используя рис.1.13, получаем связь между амплитудой токавцепииамплитудойвнешнего«последовательного» контура (рис.1.11)34напряжениядляКолебания и волны. Волновая оптикаU0I0 =1 R 2 +  ΩL −ΩC 2.(1.68)Полное сопротивление переменному току цепи, состоящейиз последовательно соединённых индуктивности, ёмкости исопротивления, равно21 Z = R +  ΩL − .ΩC2Величина X =  ΩL −(1.69)1  называется реактивным сопротиΩC влением, тогда как R называется омическим сопротивлением.С помощью векторной диаграммы (рис.1.13) также можнонайти и фазовый сдвиг между напряжением и током в цепи:ΩL−tgϕ =1ΩCR.(1.70)Подчеркнём, что ϕ – величина отставания по фазе тока вцепи от напряжения.

В «индуктивных» цепях (ΩL > 1/ΩC)значение ϕ положительно, в «ёмкостных» (ΩL < 1/ΩC) –отрицательно.Весьма важным с практической точки зрения является вопросо зависимости от частоты внешнего воздействия величинымощности,затрачиваемойколебаний.Длянаэлектрическихподдержаниеконтуровэтавынужденныхзависимостьопределяет их резонансные свойства. Для осцилляторов типамолекул или их ансамблей зависимость такого типа отражает видполос поглощения, связанных с возбуждением колебаний тогоили иного типа под действием, например, инфракрасногоизлучения (в ИК-спектроскопии) или электромагнитных волн35§5. Вынужденные колебаниясантиметровогодиапазона(ЭПР-спектроскопия),короткихрадиоволн (ЯМР-спектроскопия).Как следует из формулы (1.62), частотная зависимостьпоглощаемой мощности такова:1Ω2P(t ) = F0 Aп Ω ∼.22 2222(Ω − ω 0 ) + 4β Ω(1.71)Поскольку (Ω 2 − ω 02 ) = (Ω − ω0 ) (ω 0 / Ω + 1) Ω 2 ≈ (Ω − ω0 ) ⋅ 4Ω 2 ,2222легко видеть, что характер зависимости средней поглощаемоймощности от частоты может быть приближённо отображёнфункциейβ2P(t ) ∼ R(Ω) = 2.(Ω − ω 02 )2 + β 2(1.72)В спектроскопии функция R(Ω) называется “лоренцевской” функциейформы линии.

Она обладает следующими свойствами: R(Ω) = 1при Ω = ω 0 ; R(Ω) = 1/2 при Ω − ω 0 = β ; R(Ω)= 0,1 при Ω − ω 0 = 3β .Отсюда очевидно, что ширина функции R(ω) на полувысоте ∆Ω(т.н. “полуширина”)∆Ω ≈ 2β = 1/τW.(1.73)Используя (1.39,а), получаем “пятое” определение добротности:Q = ωсτ W ≈ Ω pτ W =Ωp∆Ω.(1.74)Так как при выводе (1.72) были сделаны упрощающиепредположения, необходимо указать диапазон частот, в которомформула (1.72) “работает”.

Нетрудно убедиться, что это диапазонограничен весьма нежестким условием:Ω − ω 0 ≤ nβ ,36где n <<2πγ= 2πN e = 2Q .(1.75)Колебания и волны. Волновая оптикаДля иллюстрации подведём некоторые итоги вышесказанному в графической форме – cм. pиc.1.14.АAр∆ΩАр / 2аA р /QАпА м пли т уда п о гло щ енияАр / 2бАдА м плит уда дисперсииΩвπαгπ / 20π / 2ϕд0- π / 2<P>ΩΩp2β< P >ре20ΩpΩРис.1.1437§5. Вынужденные колебанияПоясним теперь происхождение термина «амплитуда дисперсии».Заметим, что это амплитуда колебаний, совпадающих по фазе свынуждающейсилой.Вчастности,прираспространенииэлектромагнитных волн в диэлектрике происходят периодическиесмещенияэлектронныхоболочекватомахподдействиемэлектрического поля волны.

Амплитуда дисперсии в этом случае –это амплитуда колебаний электронных оболочек, происходящих вфазе с электрическим полем волны. А ведь такое смещениеэлектронных оболочек – это поляризация диэлектрика, котораяопределяетвеличинуегодиэлектрическойпроницаемостии,следовательно, скорости распространения электромагнитных волн.Поэтому зависимость амплитуды дисперсии от частоты (см.рис.1.14,в) отражает характер дисперсии волн – т.е.

зависимостьскорости их распространения от длины волны.Более подробноэтот вопрос будет обсуждаться в § 3 главы 6.В заключительной части этого параграфа остановимся краткона особенностях вынужденных колебаний в системе связанныхосцилляторов. Ясно, что в системе с N степенями свободы приповышении частоты внешней силы будут поочередно наблюдатьсярезонансыдлявсехNнормальныхмод.Соответствующиерезонансные кривые будут тем шире, чем меньше добротность дляданной моды колебаний (эти добротности могут быть разными!). Накаждой резонансной частоте будут возбуждаться нормальныеколебаниятолькоодноготипа.Сувеличениемзатуханиярезонансные кривые, соответствующие разным нормальным модам,начнут перекрываться. В этих условиях теряет смысл выделениеотдельных нормальных мод, как независимых колебательныхдвижений системы, не обменивающихся энергией; использованиепредставлений о нормальных колебаниях становится некорректным.38.

Характеристики

Список файлов книги