l18 (Лекции)

9.5. Операторный метод расчета переходных процессов в линейныхэлектрических цепяхОператорныйХэвисайдом,метод,существенновведенныйупростилвэлектротехникурасчетанглийскимпереходныхинженеромпроцессов.Согласнооператорному методу вместо описания процессов уравнениями во временной областииспользуется их описание уравнениями в операторной области (области изображенийЛапласа).Каждой функции времениf (t ) , называемой оригиналом, ставится всоответствие операторное изображение F ( p) , где p - некоторое комплексное число.Операции интегрирования и дифференцирования во временной области оригиналовзаменяются чисто алгебраическими операциями над их изображениями в операторнойобласти.

Система дифференциальных уравнений для оригиналов переходит в системуалгебраических уравнений для оригиналов. После решения в операторной области поформальным правилам переходят к решению рассматриваемых переходных процессов вовременной области. Для существования изображения F ( p) функцияf (t ) должнаудовлетворять условиям Дирихле и, кроме того, возрастать не быстрее, чем некотораяэкспоненциальная функция, т.е. f (t )  Ae t , где А и α – положительные числа.Связь оригиналов и изображенийПусть f (t ) - некоторая функция. Интеграл Лапласа для этой функции определяетсявыражениемe ptf (t )dt , где p - некоторое комплексное число.

Полученную при0интегрировании функцию комплексного переменногоF ( p)   e pt f (t )dt называют0изображениемфункцииf (t ) .Некоторыесвойстваизображенийиоригиналовпредставлены в Таблице 9.2.Таблица 9.2№Оригинал f (t )1Линейность f1 (t )  f 2 (t )2ДифференцированиеИзображение F ( p)F1 ( p)  F2 ( p)pF ( p)  f (0)оригинала f (t )Интегрирование оригинала3t f (t )dtF ( p)p04Сдвиг оригинала f (t  a)e ap F ( p)Замечание.

Соответствие изображения и оригинала принято обозначать в видеF ( p)f (t ) .В Таблице 9.3 приведены примеры некоторых изображений.Таблица 9.3№Оригинал f (t )Изображение F ( p)1АAp2AetAp3AetAp4t1p25tet16 p  sin t2 p  2 27cos tp p  2 29.6. Законы Кирхгофа в операторной форме. Операторные схемы замещения.Операторный закон Ома.Первый закон Кирхгофа о равенстве нулю алгебраической суммы токов в узле воператорной области имеет вид:Ik( p)  0 .Второй закон Кирхгофа о равенстве алгебраической суммы ЭДС алгебраическойсумме напряжений для контура в операторной форме:Uk( p)   Ek ( p) .В Таблице 9.4 представлены уравнения для резистора, конденсатора и катушки вовременной и операторной области и соответствующие операторные схемы замещенияэлементов электрической цепи.Таблица 9.4Временная областьu(t )  Ri(t )u (t )  Ldidti (t )  CdudtОператорная областьU ( p)  RI ( p)U ( p)  pLI ( p)  Li(0)U ( p) 1u (0)I ( p) pCp9.7.

Расчет переходных процессов операторным методомРекомендуется следующая методика расчета операторным методом:1. Рассчитывается режим в цепи предшествующий коммутации, в результатенаходятся значения напряжений емкостных элементов и токов индуктивных элементовдля момента t = 0–.2. По известной топологии цепи, ее параметрам, найденным значениям токов iL(0–) инапряжений uC(0+), c помощью соответствующих схем замещений элементов цепи вовременной и операторной областях (Таблица 5.4) составляется операторная схемазамещения цепи. При этом операторные изображения Е(р) и J(р)функций e(t)J(t)источников находятся по таблице соответствия временных и операторных функций.3.

По операторной схеме с использованием известных методов расчета цепейнаходятся операторные токи и напряжения искомых переменных.4.По найденным изображениям находятся оригиналы – переходные токи инапряжения во временной области.Пример 9.3.

На вход последовательно соединенных R и L подается напряжение, законизменения которого u(t )  U 0et , U0 = 100 В, α = 500 1/с. Параметры элементов цепиR = 5 Ом, L = 0,02 Гн. Найти ток после коммутации.Решение:ПользуясьТаблицей9.3,Таблицей9.4составимэквивалентнуюоператорную схему цепи после коммутации:Так как i(0 )  i(0 )  i(0)  0 , то I ( p) U0U ( p), где β = R/L = 250R  pL L( p  )( p  )1/с.

Воспользуемся справочной таблицей: i(t ) U0[et  et ]=20(e250t  e500t ) A.L(  )Пример 9.4. Составить операторную схему для расчета переходного процесса в цепипосле коммутации. Найти операторное изображение U C1 ( p) .Решение: Пользуясь Таблицей 9.3, Таблицей 9.4 составим эквивалентнуюоператорную схему цепи после коммутации, начальные условия: uC1(0+) = uC1(0–) = 50 B,uC2(0+) = uC2(0–) = 0.Применим формулу двух узлов для нахождения искомого изображения:u (0)1 E pC1 C1[ E  pC1R1uC1 (0)](1  pC2 R2 )R1 pp50( p 2  950 p  19 104 )U C1 ( p ) 11p[(1  pC1R1 )(1  pC2 R2 )  pC2 R1 ] p( p 2  1150 p  19 104 ) pC1 R1R2  1/ pC2Рассмотренные примеры показывают, насколько формально проще использоватьоператорный метод в сравнении с классическим в цепях небольшой размерности.Рассмотренная в первом примере задача вообще не решается классическим методом, таккак очень сложно определить установившийся ток при экспоненциальном воздействии.Кроме того, при использовании операторного метода «некорректность» коммутации непроявляется, задача с некорректно поставленными начальными условиями (см.

параграф5.1) решается по обычному алгоритму. Однако,применение операторного методастановится не таким элементарным в части перехода от изображений к оригиналам.9.8. Переход от изображения к оригиналу. Теорема разложения.Для перехода от изображения искомой функции F(p) к ее оригиналу f(t) можноиспользовать следующие три способа:1.

Непосредственное нахождение f(t) по таблице соответствия оригиналов иизображений.2. Представление рациональной дроби изображенияF ( p) F1 ( p) am p m  am1 p m1  ...  a1 p  a0.F2 ( p)bn p n  bn1 p n 1  ...  b1 p  b0в случае n > m и различия всех корней pj, j = 1,2,…n полинома F2(p)F ( p) AnA1A2 ...

,p  p1 p  p2p  pnкоэффициенты.f (t )  A1ep1t A2eПриp2tэтомгдеAj –искомаятакфункцияназываемыеоригиналв виденеопределенныебудетиметьвид ...  Ane n .p t3. Использование теоремы разложения. Находим корни полинома F2 ( p)  0 .Если все корни pj полинома F2(p) вещественные различные, то оригинал изображенияF(p) имеет вид:F1 ( p j ) p j te , гдеj 1 F2( p j )nf (t )  F2( p) dF2 ( p).dpЕсли при этом один из корней F2(p), равен нулю, т.е. F2(p) = рF3(p) (дляопределенности первый р1 = 0), то f (t ) F1 (0) n 1 F1 ( p j ) p j te .F3 (0) j 2 p j  F3( p j )Если F2(p) имеет n/2 пар комплексно-сопряженных корней (здесь n - четное число),n/2 F (p ) p tто f (t )   2 Re  1 j e j .j 1 F2( p j )При наличии нулевого корня, т.е.

F2(p) = рF3(p),f (t )  F (p )p tF1 (0) n /2  2 Re  1 j e j  .F3 (0) j 2 p j  F2( p j )В случае если корни полинома кратные (равные), формула разложения усложняется.В таком случае решение можно получить, сводя полученное изображение к табличным.Пример 9.5. Даны операторные изображения тока I(p). Определить закон изменения i(t).а) I ( p) p4;p( p  10 p  34)2Решение: I ( p) F ( p)p4 1.

Применим теорему разложения:p( p  10 p  34) pF3 ( p)2F3(p) = p 2 + 10 p + 34, корниF3(p) = 0, p 1,2 = –5 ± j3 1/с.i (t )  F (p ) ptF1 (0)F (p ) ptF ( p ) p t F (0) 1 1 e1  1 2 e2  1 2 Re  1 1 e 1  ,F3 (0) p1 F3( p1 )p2 F3( p2 )F3 (0) p1 F3( p1 )F3( p)  2 p  10,F3( p1 )  10  j 6  10  j 6  6e j 90 ,F1 (0) 4 0,118,F3 (0) 34F1 ( p1 )5  j 3  41  j 3 0, 09e  j130,6 ,p1 F3( p1 ) (5  j 3) j 6 (5  j 3) j 6i (t )  0,118  2 Re[0, 09e  j130,6 e( 5 j 3) t ]  0,118  0,18e 5t Re[e j (3t 130,6 ) ]  0,118  0,18e 5t cos(3t  130, 6 )  0,118  0,18e 5t sin(3t  40, 6 ).б) I ( p) 0, 792 p  875.p  2400 p  1, 44 1062Решение: I ( p) F ( p)0, 792 p  875 1.6p  2400 p  1, 44 10F2 ( p)2Корни F2(p) = p 2 + 2400 p + 1,44·106 = 0 , корниI ( p) p1 = p2 = –1200 1/с (кратные).0, 792 p875.

Воспользуемся справочной таблицей2( p  1200) ( p  1200)2i(t )  0,792(1  1200t )e1200t  875te1200t  (0,792  75, 4t )e1200t .Пример 9.6. Определить uC1 (t ) переходного процесса примера 9.4.Решение: Операторное изображение напряжения на конденсаторе:u (0)1 E pC1 C1[ E  pC1 R1uC1 (0)](1  pC2 R2 )R1 ppU C1 ( p ) 11p[(1pCR)(1pCR)pCR]112221 pC1 R1R2  1/ pC2F ( p)50( p 2  950 p  19 104 ) 1.24p( p  1150 p  19 10 ) pF3 ( p)Корни полинома F2(p)= pF3(p) = 0; p1 = 0.Определим ненулевые корни: F3(p) = p2 + 1150 p + 19∙104 = 0, корни вещественныеразличные: p2= – 200 с–1, p3 = – 950 с–1.Определяем оригинал uC1(t), применяя теорему разложения. При наличии нулевогокорня:uC1 (t ) F (p ) p tF1 (0)F (p ) p t 1 2 e 2  1 3 e 3.F3 (0) p2 F3( p2 )p3 F3( p3 )F1 (0)  50 19 104 F3 (0)  19 104F1 (0) 50F3 (0)F1 ( p2 )  50[(200) 2  350(200)  19 104 ]  50  4 104 p2 F3( p2 )  (200)[2(200)  1150]  15 104F1 ( p2 )200 104 13,3.p2 F3( p2 )15 104F1 ( p3 )  50[(950) 2  950(950)  19 10 4 ]  9,5 105 p3 F3( p3 )  (950)[2(950)  1150]  7,15 1056F1 ( p3 )9,5 10 13,3.p3 F3( p3 ) 7,15 105После подстановки: uC1 (t )  50  13,3e200t  13,3e950t B.9.9.

Переходные процессы при «некорректных» коммутацияхВ реальных электрических цепях изменения, к примеру параметров элементов,происходят в течение весьма малых, но конечных промежутков времени t . При расчетепереходных процессов, замене реальных электрических цепей схемами замещенияфизическая картина упрощается. При использовании классического метода расчетаполагают, что изменение параметров участков электрических цепей происходитмгновенно, т.е.