46-47 (Методичка)

тельной, то нулевое решение системы уравнений (2.3.4) может быть как устойчивым (асимптотически устойчивым), так и неустойчивым, т.е. в этом случае из устойчивости решений системы первого прибли­жения нельзя делать вывод об устойчивости тривиального решения полной системы уравнений.

О тметим, что если вектор-функция f(t,х) такова, что f(t,0) = 0

и , то она удовлетворяет условию (2.3.5).

Исследование устойчивости методом функций Ляпунова. Пусть v(x) = v(x₁ ,..., х _n ) — скалярная функция переменной х = (x₁ , x₂ , ..., х_n), определенная и непрерывно-дифференцируе­мая в шаре

и такая, что v ( 0) = 0 .

Функция v(x) называется положительно определенной в шаре J_h , если при всех х  J_h , исключая точку х = 0, имеет место неравен­ство v (х) > 0 . Если же выполняется неравенство v (х) < 0, то функ­ция v(х) называется отрицательно определенной. В обоих этих слу­чаях функцию v(х) назовем знакоопределенной.

Если функция v (х) принимает в шаре J_h как положительные, так и отрицательные значения, то ее называют знакопеременнной в J_h.

Рассмотрим системы дифференциальных уравнений

(2.3.6)

в предположении, что функция f(х) определена, непрерывна в шаре J_h при h>0, удовлетворяет условию Липшица в J_h и f(0) = 0. По­следнее означает, что х = 0 является решением системы (2.3.6).

Пусть x=x(t) — некоторое решение системы уравнений (2.3.6). Вдоль этого решения функция v = v(x(t)) как функция переменной t непрерывно дифференцируема и ее производная

Теорема 2.3.5 (Теорема Ляпунова об устойчивости). Если для си­стемы уравнений (2.3.6) существует знакоопределенная в области J_h

функция v (х) , производная которой по времени , составленная в

силу уравнений (2.3.6), является знакопостоянной функцией и имеет знак, противоположный знаку функции v(x) , или тождественно об­ращается в нуль, то нулевое решение х = 0 системы уравнений (2.3.6) устойчиво в смысле Ляпунова.

Т еорема 2.3.6 (Теорема Ляпунова об асимптотической устойчиво­сти). Если для системы уравнений (2.3.6) существует знакоопределен-

ная в области J_h функция v (х) , производная по времени которой,

составленная в силу уравнений (2.3.6), является также знакоопреде­ленной функцией и имеет знак, противоположный знаку функции v(х), то нулевое решение системы уравнений (2.3.6) асимптотически устойчиво.

Т еорема 2.3.7 (Теорема Ляпунова о неустойчивости). Если для си­стемы уравнений (2.3.6) существует функция v(x) такая, что произ­водная ее по времени, составленная в силу системы (2.3.6), является знакоопределенной, а сама функция v(x) в любой окрестности точки х = 0 не является знакопостоянной и имеет знак, противоположный знаку , то нулевое решение системы уравнений (2.3.6) неустойчи­во.

Предположим, что функция f(х) в системе (2.3.6) определена во

всем пространстве Rⁿ. Нулевое решение системы уравнений (2.3.6) называется устойчивым в целом, если оно устойчиво в смысле Ляпу­нова и если для любого другого решения x(t) этой системы

Функция v (х), определенная для всех х  Rⁿ , называется беско­нечно большой, если для любого положительного числа а существует такое положительное число r, что v(x)>a для всех*, лежащих вне

сферы <х , х> = r².

Теорема 2.3.8. (Теорема Барбашина — Красовского). Если суще­ствует положительно определенная бесконечно большая функция v(x) такая, что производная ее по времени, составленная в силу сис­темы (2.3.6), является отрицательно постоянной, причем равенство

возможно на множестве, не содержащем целых траекторий,

кроме точки х = 0 , то нулевое решение системы уравнений (2.3.6) ус­тойчиво в целом.

46

47