44-45 (Методичка)
Описание файла
Файл "44-45" внутри архива находится в следующих папках: metoda, Text. Документ из архива "Методичка", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ (высшая математика)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "44-45"
Текст из документа "44-45"
X(t,t0) этой системы был ограничен при t>t0; для асимптотической устойчивости — чтобы этот матриацант удовлетворял условию
, а для неустойчивости — чтобы этот матриацант был неограниченным.
Поскольку матриацант X(t,t0) не зависит от начального значения x(t0), решения линейной системы все одновременно или устойчивы, или неустойчивы. Исходя из этого линейную систему (2.3.3) называют обычно устойчивой, асимптотически устойчивой или неустойчивой в зависимости от того, являются ли ее решения устойчивыми, асимптотически устойчивыми или неустойчивыми.
Если в системе уравнений (2.3.3) матрица A (t) =A не зависит от t, т.е. постоянная, то условия устойчивости ее решений определяются собственными числами матрицы А.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2.3.2. Решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами тогда и только тогда являются:
-
устойчивыми, когда действительные части собственных чисел
матрицы системы неположительные, причем числам с нулевой дейст-
вительной частью соответствуют одномерные клетки Жордана в жор-
дановой форме матрицы, т.е. таким числам соответствуют простые
элементарные делители; -
асимптотически устойчивыми, когда действительные части
собственных чисел матрицы системы отрицательны; -
неустойчивыми, когда хотя бы одному собственному числу с
нулевой действительной частью соответствует неодномерная клетка
Жордана (такому числу соответствует непростой элементарный дели-
тель) либо когда среди собственных чисел матрицы системы имеется
хотя бы одно число с положительной действительной частью.
Условия, при которых действительные части собственных чисел матрицы А отрицательны, т.е. при которых решения линейной системы дифференциальных уравнений асимптотически устойчивые, выражает следующая теорема.
Теорема 2.3.3 (Теорема Рауса—Гурвица). Действительные части всех корней уравнения
отрицательны тогда и только тогда, когда положительны все главные диагональные миноры матрицы Гурвица
.
Критерий устойчивости по первому приближению. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(2.3.4)
в которой А — постоянная матрица, f(t,x) — непрерывная по t и х (t t0, //x|| h) функция, удовлетворяющая условию
р авномерно по t t0. Система уравнений с постоянными коэффициентами
называется системой первого приближения для системы (2.3.4).
Теорема 2.3.4. Если действительные части всех собственных чисел матрицы А отрицательны, а функция f (х,t) удовлетворяет равенству (2.3.5), то нулевое решение системы уравнений (2.3.4) асимптотически устойчиво. Если же среди собственных чисел матрицы имеется хотя бы одно число с положительной действительной частью, а функция f(t,x) удовлетворяет условию (2.3.5), то нулевое решение уравнения (2.3.4) неустойчиво.
Если же среди собственных чисел матрицы А имеется хотя бы одно число с нулевой действительной частью, а остальные — с отрица-
44
45