42-43 (Методичка)

используя базисные сплайн-функции вида (2.2.30) при h = 0,1, 0,01 и 0,001.

Решение. Пусть , ₁(x),…, _n-1(x) — сплайн-функции

вида (2.2.30). Тогда, очевидно, _i(x) _j(x)= _I'(x) _j'(x)= 0 при всех |i -j| > 1 и всех х  [0,1], кроме x = x_i (i = 1,..., n - 1). Отсюда в уравнениях (2.2.39), (2.2.40) для данного случая

(2.2.45)

при фиксированном i ненулевыми коэффициентами, кроме с_i , будут только с_i-1 и с_i+1 .

Положив с₀ = с_n = 0 и проведя непосредственные вычисления, из (2.2.45) получим

о пределенное при всех t>t₀, называется устойчивым (в смысле Ля­пунова), если для любого >0 существует такое  = ()>0, что для всякого решения х = х(t) той же системы уравнений, начальное зна­чение которого удовлетворяет неравенству

(2.3.2)

при всех tt₀ выполняется неравенство

Решение x = (t) системы дифференциальных уравнений (2.3.10) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и су­ществует такое ₀>0, что для всякого решения x=x(t) той же сис­темы, начальное значение которого удовлетворяет неравенству

с праведливо предельное равенство

. Вычисляя

c₁ ,…, c_n-1 из этих уравнений и полагая u(x) = c₁ ₁(x)+…+c_n-1 _n-1(x), получаем искомое приближенное решение.

2.3. Устойчивость решений дифференциальных уравнений

Решение х = (t) системы дифференциальных уравнений

( 2.3.1)

Е сли решение х = (t) не является устойчивым, то его называют не­устойчивым. Таким образом, для неустойчивости решения х = (t) до­статочно, чтобы существовало положительное число ₀ и при любом как угодно малом >0 нашлось хотя бы одно решение х=х(t) удов­летворяющее при t = t₀ неравенству (2.3.2), для которого при некото­ром t₁>t₀ выполнялось. бы равенство

Вопрос исследования устойчивости некоторого решения х = (t) системы уравнений (2.3.1) сводится к исследованию устойчивости ну­левого решения у(t)  0 другой системы, получаемой из (2.3.1) с по­мощью замены х =у + (t).

Устойчивость или неустойчивость решений линейной однородной системы

(2.3.3)

с непрерывной, ограниченной при t  t₀ матрицей A (t) определяется поведением при матриацанта X(t,t_Q) или, что то же, нор­мальной фундаментальной матрицы (X(t₀ ,t₀)=E) этой системы.

Теорема 2.3.1. Для устойчивости решения х = (t) линейной си­стемы уравнения (2.3.3) необходимо и достаточно, чтобы матриацант

42

43