40-41 (Методичка)
Описание файла
Файл "40-41" внутри архива находится в следующих папках: metoda, Text. Документ из архива "Методичка", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ (высшая математика)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "40-41"
Текст из документа "40-41"
разд. 2.2.3. Следовательно, для ее решения применим метод Ньютона (см. разд. 2.2.3).
Отметим еще, что в случае линейной краевой задачи (2.2.31) при
у словии, что р , q С2 [ 0 , l ] , метод Галеркина с указанными кусочно-линейными базисными функциями дает погрешность ,
где v (x) — точное решение задачи (2.2.31),
вида = О (h2). В случае нелинейной краевой задачи (2.2.38) вопрос о погрешности сложнее. Тем не менее, если функции а(х) и g(x, v) достаточно «хорошие», то при тех же кусочно-линейных базисных функциях = О ( h ) .
М етод Ритца (вариационный метод) по существу является частным случаем метода Галеркина. Он применим к потенциальным краевым задачам. К таким задачам относятся задачи вида
(2.2.41)
или задачи вида
(2.2.42)
Для применимости метода Ритца к задаче (2.2.41) достаточно условий pC1[0,l], p(x)>0 при всех х [0,1], q(x) С[0,1], q(х) 0 при всех х [0,l], fС0[0,l]. Для задачи (2.2.42) ограничимся случаем g(x ,v) g(v) . Тогда метод Ритца применим, если а С1[0,l], а(х)>0 при всех х [0,l],g С 1 (R) и g — неубывающая функция на R .
Основная идея метода Ритца состоит в том, что решение соответствующей краевой задачи совпадает с функцией, на которой достигает минимума потенциал данной задачи. В случае задачи (2.2.41) потенциал является функционалом
. (2.2.43)
Потенциал задачи (2.2.42) совпадает с функционалом
(2.2.44)
где G ( ) — какая-либо первообразная функция g ( ) . Оба функционала E1(v) и E2(v) определены на множестве дифференцируемых функций, обращающихся в нуль в точках х = 0 и х = l .
Д ля приближенного нахождения минимума функционала Е1(v) или Е2( v) выбирают набор базисных функций 1(х ), 2(х) , . . . (таких же, как и в методе Галеркина; здесь 0(х)0) и приближенную точку минимума и(х) ищут в виде
Т огда E1(u) = F1(c), E2(u) = F2(c), где F1(с) и F2(c) , с = (с1,...,сN) — функции от N вещественных переменных с1,...,сN.
В методе Ритца вектор с ищется из условия, .
При сделанных выше предположениях эти минимумы существуют, единственны и совпадают с решениями систем алгебраических уравнений
grad f1 (с) = 0 или grad F2 (c)=0
В свою очередь последние две системы уравнений, как оказывается, совпадают с системами уравнений (2.2.36), (2.2.37) и (2.2.39), (2.2.40) соответственно.
Замечание об оценке погрешности приближенного решения в методе Галеркина, очевидно, относится к той же оценке и в методе Ритца.
Отметим еще, что вычисление интегралов в формулах (2.2.37), (2.2.40), (2.2.43) (2.2,44) делают методы Галеркина и Ритца более трудоемкими, чем метод конечных разностей. Однако, если использовать стандартные программы на ЭВМ численного интегрирования или системы символьных вычислений, указанная трудность будет относительно небольшой.
Пример 5. Решить приближенно методом Ритца краевую задачу
40
41