36-37 (Методичка)
Описание файла
Файл "36-37" внутри архива находится в следующих папках: metoda, Text. Документ из архива "Методичка", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ (высшая математика)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "36-37"
Текст из документа "36-37"
тода — Ритца и Галеркина. Подробнее о проекционных методах можно прочитать, например, в [2, 5, 8, 9].
В качестве основных примеров рассматриваемых здесь краевых задач будем использовать те же два типа краевых задач, что и в разд. 2.2.2 (см. (2.2.15), (2.2.14) и (2.2.3) при 1=1=0.
Классическими примерами наборов базисных функций в случае краевых условий v (0) =, v(l) = (без ограничения общности можно считать, что а = 0, 0=0=1) являются наборы:
Эти кусочно-линейные сплайн-функции ni (х) (i = 1 ,2, . . . ,п — 1 , n = 2 , 3 ,...,) называются функциями-крышками. Очевидно, что
ni (0)= ni (l)=0
где (или любая гладкая функция 0(х), удовлет-
воряющая краевым условиям 0 (0) = , 0 (l) = ).
В случае краевых условий более общего вида (2.2.14) гладкая функция 0 (x) выбирается с единственным условием, чтобы она удовлетворяла этим краевым условиям. Функции i (x) , i = 1 , 2,... в этом случае должны удовлетворять однородным краевым условиям (2.2.14) (т.е. при ==1). В качестве таких функций могут быть выбраны бесконечные последовательности линейно независимых тригонометрических полиномов или обычных полиномов. Такие полиномы надо подбирать, что является недостатком проекционных методов.
Вычисления при реализации метода Ритца или Галеркина существенно упрощаются, если в качестве базисных функций использовать сплайн-функции. В этом случае проекционные методы носят название проекционно-разностных методов, поскольку они «наследуют» ряд (привлекательных) свойств конечно-разностного метода.
Сплайн-функции на отрезке [ а , b] — это кусочно-полиномиаль-
г.
н ые функции из некоторого класса С k [а,b]. Мы ограничимся рассмотрением наиболее простых кусочно-линейных сплайн-функций. Как и в разд. 2.2.3, будем считать, что задано некоторое nN или , а значит, определены узлы хi = а + h i ( i = 0 , 1 , . . . , п ) за-
данного отрезка [ а , b ]. Тогда в качестве базисных функций можно взять набор
Будем искать приближенное решение и (х) линейной краевой за-
дачи
(2.2.31)
v" + p(x)v' + q(x)v = f(x), 0xl,
v(0)=, v(l)=
(2.2.32)
Здесь 0, 1 ,…, N — выбранные базисные функции; с1 , . . . ,с N — некоторые постоянные, которые определяются ниже. Очевидно при этом, что u(0) =, u(l) = .
Определим невязку r(х) приближенного решения и (х ) :
В методе Галеркина коэффициенты с1 , . . . ,с N в формуле (2.2.32) выбираются из условия, чтобы невязка r(х) была ортогональна базисным функциям 1 ,…, N, т.е.
(2.2.34)
Подставляя в равенство (2.2.34) выражение (2.2.33) для невязки
r(х), имеем
36
37