34-35 (Методичка)

Вопрос об оценке погрешности полученного таким образом при­ближенного решения v_i (0in ) для нелинейных краевых задач ви­да (2.2.23) является в общем случае слишком сложным.

Пример 4. Решить методом конечных разностей нелинейную кра­евую задачу

Решение. Данная краевая задача является частным случаем крае­вой задачи вида (2.2.23), где а(х) 1 , g (х ,) = 3+ 10+x² и эти функции, очевидно, удовлетворяют условиям (2.2.24). Таким образом, можно применить предложенную выше схему решения краевой задачи вида (2.2.23).

М атрица А и вектор-функция Н(v) в данном случае определяют­ся формулами

(2.2.30)

В приведенной ниже табл. 2 даны результаты решения методом Ньютона системы (2.2.27), (2.2.30) при п = 10, 100 и 1000 (h = 0,1; 0,01 и 0,001). Значения этих решений даны в узлах 0,1, 0,2, ..., 0,9.

Таблица 2

Окончание табл. 2

Во всех случаях ( n = 10 , 10 , 1000) в качестве начального прибли-

жения для метода Ньютона брался вектор v⁰ = 0 , а итерации прекра-

щались, когда все координаты вектора поправки у^k (см. выше шаг 1 k-й итерации) становились меньше по абсолютной величине, чем 10^-6.

Используя табл. 2 значений приближенных решений данной кра­евой задачи, нетрудно построить их графики.

2.2.4. Проекционные методы

К проекционным методам относятся методы Ритца, Галеркина, наименьших квадратов и их модификации. В настоящее время эти методы стали эффективным средством построения приближенных ре­шений линейных и нелинейных краевых задач для ДУ и уравнений с частными производными.

В основе проекционных методов лежит идея аппроксимации иско­мого решения краевой задачи конечной линейной комбинацией задан­ных базисных функций. Точнее, искомое решение, лежащее в беско­нечномерном функциональном пространстве (например, в С ^п [а, b]) аппроксимируется решением вспомогательной задачи. Эта вспомога­тельная задача получается «проектированием» исходной задачи на ко­нечномерное подпространство, определяемое базисными функциями. При этом в качестве базисных функций обычно выбираются наиболее простые и удобные — полиномы, тригонометрические функции, сплайн-функции и т.д.

В отличие от метода конечных разностей, основанного на локаль­ных (дифференциальных) приближенных отношениях, в проекцион­ных методах приближенное решение строится на основе глобальных (интегральных) отношений.

Из-за ограниченности объема данных методических указаний рас­смотрим кратко два наиболее часто используемых проекционных ме-

34

35