32-33 (Методичка)
Описание файла
Файл "32-33" внутри архива находится в следующих папках: metoda, Text. Документ из архива "Методичка", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ (высшая математика)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "32-33"
Текст из документа "32-33"
, (2.2.28)
(2.2.29)
К роме узлов xi=a+hi, где h = (b - а )/n — заданный шаг, введем еще вспомогательные узлы . Положими заменим правые производные центральными разностями
а дифференциальное выражение (a v' )' — на разностное выражение вида
Если теперь для левой части ДУ (2.2.23) воспользоваться последней разностной аппроксимацией, то соответствующая ДУ (2.2.23) система разностных уравнений будет иметь вид
К раевые условия (2.2.23) дают краевые соотношения
(2.2.26)
Система уравнений (2.2.25), (2.2.26) является нелинейной системой из (n+1)-го алгебраического (конечного) уравнения относительно (n+1)-й неизвестных величин v0 , v1 ,. . . ,vn. Эта система имеет вид
Av + H(v) = 0, (2.2.27)
где v = (v1 ,. . . ,vn-1 ) т ,
Система нелинейных уравнений (2.2.27) может быть решена методом Ньютона (методом касательных).
Пусть H'(v) — матрица Якоби отображения H(v). Тогда k-я итерация метода Ньютона ( k= 1 , 2 , . . . ) состоит из двух шагов:
Шаг 1. Решить относительно уk систему линейных алгебраических уравнений
[А + Н'(vk)]уk = - [Avk + H(vk)] ,
где - известный на k-м шаге вектор.
Шаг 2. Положить vk+1 = vk + yk.
В качестве начального приближения можно брать вектор v0 = 0 .
З аданные выше условия (2.2.24) на функции а и g гарантируют, что система нелинейных уравнений (2.2.27) — (2.2.29) имеет единственное решение, а применение метода Ньютона для ее приближенного решения эффективно (см. [5, разд. 4.4]). Кроме того, из формулы (2.2.29) следует, что
, т.е. матрица Якоби Н'(v) яв-
ляется диагональной. Следовательно, матрица A+H'(vk) — трехди-агональная, а значит, на шаге 1 каждой итерации метода Ньютона для решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений можно использовать удобный метод прогонки.
32
33