30-31 (Методичка)
Описание файла
Файл "30-31" внутри архива находится в следующих папках: metoda, Text. Документ из архива "Методичка", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ (высшая математика)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "30-31"
Текст из документа "30-31"
В случае, когда vC4[a,b] (для чего достаточно, чтобы р, qC2[a,b]), приближенное решение vt (0in), полученное по указанной выше схеме, отличается от точного v(xi) (0in) на О (h), а в случае 1=1=0 на O(h2) (см., например [2, гл. 9, § 1]). Точнее, существует такая постоянная С (не зависящая от h), что
(2.2.22)
При этом постоянная С зависит, в частности, от и ее оценка в общем случае весьма затруднительна.
Пример 3. Определить методом конечных разностей приближенное решение краевой задачи
используя для решения получающейся при этом системы линейных алгебраических уравнений метод прогонки. Расчет провести с шагом h = 0,1 . Дать оценку погрешности приближенного решения.
Решение. Выберем n = 10, т.е. h = 0,1. Система (2.2.17), (2.2.19) в данном случае будет иметь вид
, где (см. (2.2.18))
ч
Таблица 1
i | ci | di | vi | v(xi) |
0 | -0,909 | 0 | 1,050 | 1 |
1 | -0,899 | -0,004 | 1,154 | 1,110 |
2 | -0,889 | -0,012 | 1,280 | 1,241 |
3 | -0,878 | -0,023 | 1,428 | 1,394 |
4 | -0,868 | -0,039 | 1,603 | 1,574 |
5 | -0,856 | -0,058 | 1,808 | 1,784 |
6 | -0,845 | -0,081 | 2,054 | 2,033 |
7 | - 0.833 | -0,109 | 2,350 | 2,332 |
8 | -0,822 | -0,142 | 2,712 | 2,696 |
9 | -0,810 | -0,180 | 3,157 | 3,148 |
10 | — | — | 3,718 | 3,718 |
В последнем столбце дано точное решение v(x)=x + ex при х = xi (0i10).
Оценка (2.2.22) в данном случае определяет погрешность приближенного решения как О ( h ) . Приведенные в табл. 1 результаты согласуются с этой оценкой.
С помощью таблицы значений vi и v(xi) (0i10) нетрудно построить графики этих функций.
Второй тип краевых задач, для которых мы кратко рассмотрим применение метода конечных разностей, относится к нелинейным краевым задачам вида
(2.2.23)
Пользуясь теперь формулами (2.2.20), (2.2.21) (здесь vn = v10 = 3,718), найдем сначала коэффициенты сi, di (0i9), а затем и vi (0i10). Соответствующие результаты вычислений представлены в табл. 1.
(подробнее см. [5, разд. 4.4]). При этом будем считать, что:
30
31