28-29 (Методичка)
Описание файла
Файл "28-29" внутри архива находится в следующих папках: metoda, Text. Документ из архива "Методичка", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ (высшая математика)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "28-29"
Текст из документа "28-29"
П осле подстановки в ДУ (2.2.15) при x=xi (1in-1) этих приближенных значений v'(xi) и v"(xi) получим приближенную систему линейных алгебраических уравнений относительно v(xi) (1in-l):
В место этой приближенной системы уравнений рассмотрим соответствующую точную систему линейных алгебраических уравнений относительно новых неизвестных vi (i = l,...,n-l):
(2.2.16)
Таким образом, ДУ (2.2.15) заменено на систему разностных уравнений (2.2.16). Систему (2.2.16) перепишем в виде
(2.2.18)
Заменим теперь производную v'(x) в граничных узлах x0 и хn отношениями
Тогда после подстановки этих приближенных значений в краевые условия (2.2.14) получим приближенные уравнения
28
Последние два приближенных уравнения относительно неизвест-ных v(x0), v(x1), v(xn-1), v(xn) заменим на два точных уравнения относительно неизвестных v0 , v1 , vn-1 , vn :
(2.2.19)
В результате мы заменили краевую задачу (2.2.15), (2.2.14) на систему линейных алгебраических уравнений (2.2.17), (2.2.19), состоящую из (n + 1 )-го уравнения относительно (n +1 )-й неизвестных величин v0,,v1,..., vn. Эту систему можно записать в виде
Av = g ,
где v = (v0 , v1 , . . . , vn)r — искомый вектор-столбец , g = (g0, g1,…, gn)r — вектор-столбец правых частей, А — матрица коэффициентов. При этом матрица А является трехдиагональной — ненулевыми ее элементами являются только те, которые лежат на главной диагонали, диагонали выше нее и диагонали ниже нее. Для решения такой системы имеется специальный метод, который называется методом прогонки. Этот метод является более коротким и простым, чем универсальные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (метод исключения, метод Крамера, метод итераций и т.д.).
а
Алгоритм метода прогонки состоит из двух частей. Первая часть — прямой ход прогонки — заключается в вычислении вспомогательных коэффициентов сi, di , i = 0 , 1 , 2 , . . . , п - 1 , по формулам
(2.2.20)
Вторая часть — обратный ход прогонки — заключается в вычислении искомых величин v0,,v1,..., vn по рекуррентным формулам
29