26-27 (Методичка)

г де

Для граничных узлов х₀ = а и х_n = b, чтобы не выходить за пре­делы отрезка [а,b], можно положить

Р ешение и(х) уравнения Lu+u = cos x теперь определяется по формуле (2.2.8). Вычисляя интеграл в этой формуле, где функция G(x, ,) определяется формулой (2.2.13) при  = - 1 , получаем

2.2.3. Метод конечных разностей

Рассматриваемый метод позволяет решать приближенно как ли­нейные, так и нелинейные краевые задачи. Метод конечных разностей является самым распространенным и универсальным подходом к ре­шению краевых задач. Здесь предлагается введение в этот метод. Бо­лее подробному и глубокому изложению метода конечных разностей посвящена специальная литература по численным методам (например, [2, 5, 7, 8]).

Существо метода конечных разностей решения краевых задач для ДУ (или систем ДУ) состоит в следующем. Пусть требуется найти решение v (х) (двухточечной) краевой задачи на отрезке [ а , b ]. За­дадим некоторое nN и определим шаг h = (b-a)/n и узлы x_i = a+hi,i = 0 ,1,...,n . Вместо функции v(x),a<x<b , будем искать ее значения v(x_i) узлах x_i

(0<i<n). Заменим производную v' (x_i) во внутренних узлах x_i ( 1  i  п-1), например, разностным отношением

вторую производную v'' ( 1in-l) — разностным отношением

Если теперь в ДУ и в краевые условия, определяющие данную краевую задачу, подставить в точках x_i вместо производных v'(x_i), v " (x_i) и т.д. их приближения разностными отношениями, то получит­ся система приближенных алгебраических (конечных) уравнений от­носительно неизвестных v(x_i) (0in). Решая точно эту систему, найдем числа v₀ , v₁ , . . . , v _n. Эти числа v_i и будут приближениями значений v (x_i) , 0in .

Вопрос о том, насколько хороши эти приближения, зависит как от исходной краевой задачи, так и от способов аппроксимации производ­ных v' (x_i) , v" (x_i) и т. д. разностными отношениями (см., например, [2, 5, 7, 8]).

Рассмотрим применение метода конечных разностей на примере двух типов краевых задач.

Сначала рассмотрим линейные краевые задачи вида

(2.2.14)

г де а , b , с , fC[a,b] , a(x)0 при всех x[a ,b] . Данное в краевой задаче ДУ эквивалентно ДУ

(2.2.15)

где р(х)=b(x)/a(x), q(x)=c(x)/a(x), f(x)=F(x)/a(x),axb.

Обозначим p_i=p(x_i), q_t = (x_t) , f_i-=f(x_i) , где х₍ (0in ) — узлы на отрезке [а,b], построенные выше. Заменим v'(x_i) и v"( x_i) во внутренних узлах следующими разностными отношениями:

- 2v(x_t)

и т.д.

26

27